Bài 2. Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài \(2\). Hai đường thẳng song song trong không gian trang \(95\) SGK Toán lớp \(11\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Quan sát phòng học của lớp và nêu lên hình ảnh của hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau?

Trả lời:

Hai đường thẳng song song:

Hai đường viền bảng đối nhau, hai mép bàn đối nhau, đường viền chân tường và đường viền trần nhà (trong cùng bức tường), hai rìa mép thước thẳng…

Hai đường thẳng cắt nhau:

Hai đường viền bảng kề nhau, hai rìa mép thước kề nhau, hai mép bàn kề nhau…

Hai đường thẳng chéo nhau:

Đường góc tường và đường chéo bàn học, …

\(\)

Bài \(2\). Quan sát Hình \(43\) và cho biết vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin gió có trong hình.

Trả lời:

Vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin gió có trong hình là hai đường thẳng song song.

\(\)

Bài \(3\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA, AB, SD\). Xác định giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau: \((SAD)\) và \((SBC)\); \((MNP)\) và \((ABCD)\).

Trả lời:

\(+)\) Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD // BC\)

Mà \(AD \subset (SAD), BC \subset (SBC)\)

\(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\).

Vì vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(S\) và song song với \(AD\) và \(BC\).

Vậy \((SAD) \cap (SBC) = d\)

\(+)\) Xét tam giác \(SAD\) có \(MP\) là đường trung bình nên \(MP // AD\)

Mà \(MP \subset (MNP), AD \subset (ABCD)\)

\(N\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((ABCD)\)

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng \((MNP)\) và \((ABCD)\) là đường thẳng đi qua \(N\) và song song với \(AD\) và \(BC\).

Qua \(N\) kẻ \(NQ // AD // BC\) (\(Q \in CD\))

Vậy \((MNP) \cap (ABCD) = NQ\)

\(\)

Bài \(4\). Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G_1, G_2\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(ABD\). Chứng minh rằng đường thẳng \(G_1G_2\) song song với đường thẳng \(CD\).

Trả lời:

Trong tam giác \((ABC)\), kẻ trung tuyến \(AM (M \in BC)\)

Do \(G_1\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên:

\(\displaystyle \frac{AG_1}{AM} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Trong tam giác \(ABD\), kẻ trung tuyến \(AN (N \in BD)\).

Do \(G_2\) là trọng tâm tam giác \(ABD\) nên:

\(\displaystyle \frac{AG_2}{AD} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

Xét tam giác \(AMN\) có \(\displaystyle \frac{AG_1}{AM} = \displaystyle \frac{AG_2}{AN} = \displaystyle \frac{2}{3}\) nên theo định lí Thales đảo ta được:

\(G_1G_2 // MN\) (\(1\))

Lại có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\) nên \(MN // CD\) (\(2\))

Từ (\(1\)) và (\(2\)) suy ra: \(G_1G_2 // CD\) (đpcm)

\(\)

Bài \(5\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\) là đáy lớn và \(AB = 2CD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SB\). Chứng minh rằng đường thẳng \(NC\) song song với đường thẳng \(MD\).

Trả lời:

Trong mặt phẳng \((SAB)\) có \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(SA, SB\)

Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

Suy ra \(MN // AB, MN = \displaystyle \frac{1}{2}AB\) (\(1\))

Lại có: \(ABCD\) là hình thang có đáy \(AB\) và \(CD\) và \(CD = 2AB\)nên \(AB // CD, AB = \displaystyle \frac{1}{2}CD\) (\(2\))

Từ (\(1\)) và (\(2\)) suy ra:

\(MN // CD, MN = CD = \displaystyle \frac{1}{2} AB\)

Do đó, tứ giác \(MNCD\) là hình bình hình.

Vậy \(MD // NC\) (đpcm)

\(\)

Bài \(6\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M, N, P, Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DA; I, J, K, L\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(SM, SN, SP, SQ\).
\(a)\) Chứng minh rằng bốn điểm \(I, J, K, L\) đồng phẳng và tứ giác \(IJKL\) là hình bình hành.
\(b)\) Chứng minh rằng \(IK // BC\).
\(c)\) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((IGKL)\) và \((SBC)\).

Trả lời:

\(a)\)

Xét tam giác \(SPQ\) có \(LK\) là đường trung bình nên \(LK // PQ, LK = \displaystyle \frac{1}{2} PQ\)

Xét tam giác \(SMN\) có \(IJ\) là đường trung bình nên \(IJ // MN, IJ = \displaystyle \frac{1}{2} MN\)

Mặt khác, \(PQ, MN\) lần lượt là đường trung bình của tam giác \(ADC\) và \(ABC\) nên ta có:

\(PQ // MN // AC \) và \(PQ = MN = \displaystyle \frac{1}{2} AC\)

Suy ra \(IJ // LK, IJ = LK\)

Qua hai đường thẳng song song \(IJ\) và \(LK\) ta xác định được duy nhất một mặt phẳng hay bốn điểm \(I, J, K, L\) đồng phẳng.

Tứ giác \(IJKL\) có \(IJ // LK, IJ = LK\) nên tứ giác \(IJKL\) là hình bình hành.

\(b)\)

Xét tam giác \(SMP\) có \(IK\) là đường trung bình nên \(IK // MP\)

Mà \(MP // AD // BC\) (tính chất đường trung bình của hình thang)

Suy ra \(IK // BC\) (đpcm)

\(c)\) Ta có: \(J \in SN, SN \subset (SBC)\) nên \(J \in (SBC)\)

Lại có \(J \in (IJKL)\).

Suy ra \(J\) là giao điểm của \((IJKL)\) và \((SBC)\)

Mặt khác \(IK \subset (IJKL), IK // BC, BC \subset (SBC)\)

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \((IJKL)\) và \((SBC)\) là đường thẳng đi qua \(J\) và song song với \(BC\), cắt \(SB, SC\) lần lượt tại \(B’, C’\).

Vậy \(B’C’\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((IJKL)\) và \((SBC)\)

\(\)

Bài \(7\). Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I, J\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CD\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(K\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(BK\) và \(AI\), \(N\) là giao điểm của \(DK\) và \(AJ\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với đường thẳng \(BD\).

Trả lời: