Bài 2. Giới hạn của hàm số

Bài \(2\). Giới hạn của hàm số trang \(71\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\lim\limits_{x \to \ – \ 2} (x^2 \ – \ 7x + 4)\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x \ – \ 3}{x^2 \ – \ 9}\);
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3 \ – \ \sqrt{x + 8}}{x \ – \ 1}\)

Trả lời:

\(a)\) \(\lim\limits_{x \to \ – \ 2} {(x^2 \ – \ 7x + 4)} = \lim\limits_{x \to \ – \ 2} x^2 \ – \ 7. \lim\limits_{x \to \ – \ 2} x + \lim\limits_{x \to \ – \ 2} 4\)

\(= (\ – \ 2)^2 \ – \ 7. (\ – \ 2) + 4 = 22\)

\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x \ – \ 3}{x^2 \ – \ 9} = \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x \ – \ 3}{(x \ – \ 3)(x + 3)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x + 3} = \displaystyle \frac{1}{3 + 3} = \displaystyle \frac{1}{6}\)

\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{3 \ – \ \sqrt{x + 8}}{x \ – \ 1} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(3 \ – \ \sqrt{x + 8})(3 + \sqrt{x + 8})}{(x \ – \ 1)(3 + \sqrt{x + 8})}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{9 \ – \ x \ – \ 8}{(x \ – \ 1)(3 + \sqrt{x + 8})} = \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1 \ – \ x}{(x \ – \ 1)(3 + \sqrt{x + 8})}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\ – \ 1}{3 + \sqrt{x + 8}} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{3 + \sqrt{1 + 8}} = \displaystyle \frac{\ – \ 1}{6}\)

\(\)

Bài \(2\). Cho hàm số \(f(x) = \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}\ – \ x^2 \text{ khi } x < 1\\ x \quad \text{ khi } x \geq 1 \end{array} \right.\end{equation}\)
Tìm các giới hạn \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x)\); \(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x)\); \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\) (nếu có).

Trả lời:

Ta có: \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} x = 1\)

\(\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (\ – \ x^2) = \ – \ 1\)

Do \(\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim\limits_{x \to 1^-} f(x)\) nên không tồn tại \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\).

\(\)

Bài \(3\). Tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 3}{2x}\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to – \infty} \frac{2}{3x + 1}\);
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 3}{2x} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \displaystyle \frac{3}{x}}{2} = \displaystyle \frac{4 + 0}{2} = 2\)

\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{2}{3x + 1} = \displaystyle \lim_{x \to \ – \ \infty} \frac{\displaystyle \frac{2}{x}}{3 + \displaystyle \frac{1}{x}} = \displaystyle \frac{0}{3 + 0} = 0\)

\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{1 + \displaystyle \frac{1}{x^2}}}{1 + \displaystyle \frac{1}{x}} = \displaystyle \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1\)

\(\)

Bài \(4\). Tìm các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ 1^+} \frac{1}{x + 1}\);
\(b)\) \(\lim \limits_{x \to \ – \ \infty} (1 \ – \ x^2)\);
\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{x}{3 \ – \ x}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to \ – \ 1^+} \frac{1}{x + 1} = +\infty\)

\(b)\) \(\lim \limits_{x \to \ – \ \infty} (1 \ – \ x^2) = \lim \limits_{x \to \ – \ \infty} \left[x^2\left(\displaystyle \frac{1}{x^2} \ – \ 1\right)\right]\)

\(= \lim \limits_{x \to \ – \ \infty}x^2 . \lim\limits_{x \to \ – \ \infty} \left(\displaystyle \frac{1}{x^2} \ – \ 1\right)\)

\( = (+ \infty). (0 \ – \ 1) = \ – \ \infty\)

\(c)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{x}{3 \ – \ x} = \lim\limits_{x \to 3^-}x. \displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{3 \ – \ x}\)

\(= 3.( +\infty) = +\infty\)

\(\)

Bài \(5\). Trong hồ có chứa \(6000\) lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là \(30\)gam/lít vào hồ với tốc độ \(15\)lít/phút.
\(a)\) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là \(C(t) = \displaystyle \frac{30t}{400 + t}\) (gam/lít).
\(b)\) Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu \(t \to +\infty\).

Trả lời:

\(a)\) Sau \(t\) phút, số lít nước biển được bơm vào là \(15t\) (lít)

Lượng muối có trong \(15t\) lít nước biển được bơm vào là: \(30. 15t = 450t\) (gam)

Khi đó, nồng độ muối của nước trong hồ sau \(t\) phút kể từ khi bắt đầu bơm là:

\(C(t) = \displaystyle \frac{450t}{6000 + 15t} = \displaystyle \frac{30t}{400 + t}\) (gam/lít)

\(b)\) \(\displaystyle \lim_{t \to + \infty} \frac{30t}{400 + t} = \displaystyle \lim_{t \to + \infty} \frac{30}{\displaystyle \frac{400}{t} + 1}\)

\(= \displaystyle \frac{30}{0 + 1} = 30\)

Vậy khi \(t \to + \infty\) thì nồng độ muối trong hồ sẽ bằng nồng độ muối trong nước biển lúc đầu.

\(\)

Bài \(6\). Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là \(f > 0\) không đổi. Gọi \(d\) và \(d’\) lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm \(O\) của thấu kính (Hình \(5\)). Ta có công thức: \(\displaystyle \frac{1}{d} + \displaystyle \frac{1}{d’} = \displaystyle \frac{1}{f}\) hay \(d’ = \displaystyle \frac{df}{d \ – \ f}\).
Xét hàm số \(g(d) = \displaystyle \frac{df}{d \ – \ f}\). Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.
\(a)\) \(\lim\limits_{d \to f^+} g(d)\);
\(b)\) \(\lim\limits_{d \to +\infty} g(d)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\lim\limits_{d \to f^+} g(d) = \displaystyle \lim_{d \to f^+} \frac{df}{d \ – \ f} = \lim\limits_{d \to f^+}df. \displaystyle \lim_{d \to f^+} \frac{1}{d \ – \ f}\)

\(\lim\limits_{d \to f^+}df = f.f = f^2 > 0\)

\(\displaystyle \lim_{d \to f^+} \frac{1}{d \ – \ f} = + \infty\)

Suy ra \(\displaystyle \lim_{d \to f^+} \frac{df}{d \ – \ f} = f^2. (+ \infty) = +\infty\)

Vậy khi vật tiến tới gần tiêu điểm thì ảnh càng lớn và tiến tới \(+\infty\).

\(b)\) \(\lim\limits_{d \to +\infty} g(d) = \displaystyle \lim_{d \to +\infty} \frac{df}{d \ – \ f} = \displaystyle \lim_{d \to +\infty} \frac{f}{1 \ – \ \displaystyle \frac{f}{d}}\)

\(= \displaystyle \frac{f}{1 \ – \ 0} = f\)

Vậy khi vật di chuyển ra rất xa và tiến tới \(+\infty\) thì ảnh của vật nằm trên tiêu điểm.

Bài 2. Giới hạn của hàm Bài 2. Giới hạn của hàm

Xem bài giải trước: Bài 1 – Giới hạn của dãy số
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Hàm số liên tục
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech