Bài 2. Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Bài \(2\). Giá trị lượng giác của một góc lượng giác trang \(13\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
\(a)\) \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{3}{5} \text{ và } \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{5}\);
\(b)\) \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{3} \text{ và } \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{2}\);
\(c)\) \(\tan{\alpha} = 3 \text{ và } \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{3}\).

Trả lời:

\(a)\) Với \(\ – \ 1 \leq \sin{\alpha} = \displaystyle \frac{3}{5} \leq 1; \ – \ 1 \leq \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{5} \leq 1\) ta có:

\(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = \left(\displaystyle \frac{3}{5}\right)^2 + \left(\ – \ \displaystyle \frac{4}{5}\right)^2 = \displaystyle \frac{9}{25} + \displaystyle \frac{16}{25}\)

\( = 1\)

Vậy \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{3}{5} \text{ và } \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{5}\) có thể đồng thời xảy ra.

\(b)\) Với \(\ – \ 1 \leq \sin{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{3} \leq 1 \text{ và } \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{2}\) ta có:

\(1 + \cot^2{\alpha} = 1 + \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \displaystyle \frac{1}{4} = \displaystyle \frac{5}{4}\).

\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2{\alpha}} = \displaystyle \frac{1}{\left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2} = \displaystyle \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{9}} = 9\)

Ta thấy \(1 + \cot^2{\alpha} \neq \displaystyle \frac{1}{\sin^2{\alpha}}\)

Vậy \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{3} \text{ và } \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{2}\) không đồng thời xảy ra.

\(c)\) Ta có: \(\tan{\alpha} . \cot{\alpha} = 3. \displaystyle \frac{1}{3} = 1\) thỏa mãn.

Vậy \(\tan{\alpha} = 3 \text{ và } \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{3}\) đồng thời xảy ra.

\(\)

Bài \(2\). Cho \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{12}{13} \text{ và } \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{5}{13}\). Tính \(\sin{\left(\ – \ \displaystyle \frac{15\pi}{2} \ – \ \alpha \right)}\ – \ \cos(13\pi + \alpha)\).

Trả lời:

Ta có:

\(\sin{\left(\ – \ \displaystyle \frac{15\pi}{2} \ – \ \alpha \right)} \ – \ \cos{(13\pi + \alpha)}\)

\(= \sin{\left(\ – \ \displaystyle \frac{16\pi}{2} + \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha \right)} \ – \ \cos{12\pi + \pi + \alpha}\)

\(= \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha\right)} \ – \ \cos{\pi + \alpha}\)

\(= \cos{\alpha} + \cos{\alpha} = 2\cos{\alpha}\)

\(= 2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{5}{13}\right) = \ – \ \displaystyle \frac{10}{13}\)

\(\)

Bài \(3\). Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\), nếu:
\(a)\) \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{5}{13} \text{ và } \displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\);
\(b)\) \(\cos{\alpha} = \displaystyle \frac{2}{5} \text{ và } 0 < \alpha < 90^o\);
\(c)\) \(\tan{\alpha} = \sqrt{3} \text{ và } \pi < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}\);
\(d)\) \(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{2} \text{ và } 270^o < \alpha < 360^o\).

Trả lời:

\(a)\) Với \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) thì \(\cos{\alpha} < 0\).

Ta có: \(\cos{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \left(\displaystyle \frac{5}{13}\right)^2} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{25}{169}} = \ – \ \sqrt{\displaystyle \frac{144}{169}}\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{12}{13}\)

Suy ra:

\(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{5}{13}}{\ – \ \displaystyle \frac{12}{13}} = \ – \ \displaystyle \frac{5}{12}\)

\(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \ – \ \displaystyle \frac{12}{5}\)

Vậy \(\cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{12}{13}, \tan{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{5}{12}, \cot{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{12}{5}\)

\(b)\) Với \(0^o < \alpha < 90^o\) thì \(\sin{\alpha} > 0\)

\(\Rightarrow \sin{\alpha} = \sqrt{1 \ – \ \left(\displaystyle \frac{2}{5}\right)^2} = \displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}\)

Suy ra:

\(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}}{\displaystyle \frac{2}{5}} = \displaystyle \frac{\sqrt{21}}{2}\)

\(\Rightarrow \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{21}}\)

Vậy \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}, \tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sqrt{21}}{2}, \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{21}}\).

\(c)\) Với \(\pi < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}\) thì \(\sin{\alpha} < 0, \cos{\alpha} < 0\).

Ta có: \(\tan{\alpha}. \cot{\alpha} = 1\)

\(\Rightarrow \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\)

Lại có: \(\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}} = 1 + \tan^2{\alpha} = 1 + (\sqrt{3})^2 = 4\)

\(\Rightarrow \cos^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\) (vì \(\cos{\alpha} < 0\))

\(\Rightarrow \sin{\alpha} = \tan{\alpha}. \cos{\alpha} = \sqrt{3}. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right) = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(\sin{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}, \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\).

\(d)\) Với \(270^o < \alpha < 360^o\) thì \(\sin{\alpha} < 0, \cos{\alpha} > 0\)

Ta có: \(\cot{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \tan{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\cot{\alpha}} = \displaystyle \frac{1}{\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}} =\ – \ 2\).

Lại có: \(\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}} = 1 + \tan^2{\alpha} = 1 + (\ – \ 2)^2 = 5\)

\(\Rightarrow \cos^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{5}\)

\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\) (vì \(\cos{\alpha} > 0\))

\(\Rightarrow \sin{\alpha} = \tan{\alpha}. \cos{\alpha} = \ – \ 2. \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\)

Vậy \(\sin{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}, \tan{\alpha} = \ – \ 2\).

\(\)

Bài \(4\). Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ \(0\) đến \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) hoặc từ \(0\) đến \(45^o\) và tính:
\(a)\) \(\cos{\displaystyle \frac{21\pi}{6}}\);
\(b)\) \(\sin{\displaystyle \frac{129\pi}{4}}\);
\(c)\) \(\tan1020^o\).

Trả lời:

\(a)\) \(\cos{\displaystyle \frac{21\pi}{6}} = \cos{\left(\displaystyle \frac{24\pi}{6} \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = \cos{\left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)

\(= \cos{\displaystyle \frac{\pi}{2}} = \sin0^o = 0\)

\(b)\) \(\sin{\displaystyle \frac{129\pi}{4}} = \sin{\left(\displaystyle \frac{128\pi}{4} + \displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} = \sin{\left(32\pi + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\)

\( = \sin{\displaystyle \frac{\pi}{4}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(c)\) \(\tan1020^o = \tan{(1080^o \ – \ 60^o)} = \tan{(3. 2. 180^o \ – \ 60^o)}\)

\(= \tan{(\ – \ 60^o)} = \ – \ \cot30^o = \ – \ \sqrt{3}\)

\(\)

Bài \(5\). Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
\(a)\) \(\sin^4{\alpha} \ – \ \cos^4{\alpha} = 1 \ – \ 2\cos^2{\alpha}\);
\(b)\) \(\tan{\alpha} + \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\sin{\alpha}. \cos{\alpha}}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\sin^4{\alpha} \ – \ \cos^4{\alpha} = (\sin^2{\alpha} \ – \ \cos^2{\alpha}). (\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha})\)

\( = (\sin^2{\alpha} \ – \ \cos^2{\alpha}). 1 = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} \ – \ 2 \cos^2{\alpha}\)

\(= 1 \ – \ 2 \cos^2{\alpha}\) (đpcm)

\(b)\) Ta có: \(\tan{\alpha} + \cot{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} + \displaystyle \frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)

\(= \displaystyle \frac{\sin^2{\alpha}}{\sin{\alpha}. \cos{\alpha}} + \displaystyle \frac{\cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}. \cos{\alpha}} = \displaystyle \frac{\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}}{\sin{\alpha}. \cos{\alpha}}\)

\( = \displaystyle \frac{1}{\sin{\alpha}. \cos{\alpha}}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(6\). Rút gọn các biểu thức sau:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha} + 1} + \displaystyle \frac{1}{\cot{\alpha} + 1}\);
\(b)\) \(\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha\right)} \ – \ \sin{(\pi + \alpha)}\);
\(c)\) \(\sin{\left(\alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} + \cos{(\ – \ \alpha + 6\pi}) \ – \ tan{(\alpha + \pi)}. \cot{(3\pi \ – \ \alpha})\)

Trả lời:

\(a)\) \(\displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha} + 1} + \displaystyle \frac{1}{\cot{\alpha} + 1}\)

\( = \displaystyle \frac{\cot{\alpha} + 1}{(\tan{\alpha} + 1)(\cot{\alpha} + 1)} + \displaystyle \frac{\tan{\alpha} + 1}{(\tan{\alpha} + 1)(\cot{\alpha} + 1)}\)

\(= \displaystyle \frac{\cot{\alpha} + 1 + \tan{\alpha} + 1}{(\tan{\alpha} + 1)(\cot{\alpha} + )}\)

\( = \displaystyle \frac{\cot{\alpha} + \tan{\alpha} + 2}{\tan{\alpha}. \cot{\alpha} + \tan{\alpha} + \cot{\alpha} + 1}\)

\( = \displaystyle \frac{\tan{\alpha} + \cot{\alpha} + 2}{1 + \tan{\alpha} + \cot{\alpha} + 1} = 1\)

\(b)\) \(\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha\right)} \ – \ \sin{(\pi + \alpha})\)

\(= \sin{\alpha} \ – \ (\ – \ \sin{\alpha}) = 2 \sin{\alpha}\)

\(c)\) \(\sin{\left(\alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \right)} + \cos{(\ – \ \alpha + 6\pi)} \ – \ \tan{(\alpha + \pi)}. \cot{(3\pi \ – \ \alpha)}\)

\(= \ – \ \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \ \alpha \right)} + \cos{(3. 2\pi \ – \ \alpha)} \ – \ \tan{(\alpha + \pi)}. \cot{(2\pi + \pi \ – \ \alpha)}\)

\(= \ – \ \cos{\alpha} + \cos{\alpha} \ – \ \tan{\alpha}. (\ – \ \cot{\alpha})\)

\(= \tan{\alpha}. \cot{\alpha} = 1\)

\(\)

Bài \(7\). Thanh \(OM\) quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục \(O\) của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình \(12\). Vị trí ban đầu của thanh là \(OA\). Hỏi độ dài bóng \(O’M’\) của \(OM\) khi thanh quay được \(3 \displaystyle \frac{1}{10}\) vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh \(OM\) là \(15\) cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Trả lời:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) lên \(Ox\). Khi đó \(OH = O’M\)

Khi thanh quay được \(3\displaystyle \frac{1}{10}\) vòng thì ta có:

\(\alpha = 3\displaystyle \frac{1}{10}. 360^o = 1116^o\)

Điểm \(M\) là điểm biểu diễn góc lượng giác \(\alpha\) nên ta có:

\(x_M = \cos{\alpha}. OM, y_M = \sin{\alpha}. OM\)

Suy ra \(OH = O’M’ = x_M = |\cos1116^o|. 15 \approx 12,1\) (cm).

Vậy độ dài bóng \(O’M’\) của thanh \(OM\) khi thanh quay được \(3\displaystyle \frac{1}{10}\) vòng là \(12,1\) cm.

\(\)

Bài \(8\). Khi xe đạp di chuyển, van \(V\) của bánh xe quay theo trục \(O\) theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là \(11\) rad/s (Hình \(13\)). Ban đầu van nằm ở vị trí \(A\). Hỏi sau một phút di chuyển khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính \(OA = 58\) cm? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.