Chương 7 – Bài 2: Đường trung bình của tam giác trang 45 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo.
1. Cho tam giác nhọn ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Gọi E là trung điểm của BC và I là giao điểm của AE với MN. Chứng minh I là trung điểm của MN.
Giải
a) Xét ∆ABC, ta có: MA = MB và NA = NC, nên MN là đường trung bình của ∆ABC.
Suy ra MN // BC do đó tứ giác BMNC là hình thang.
b) Xét ∆ABE, ta có MA = MB và MI // BE nên IA = IE.
Suy ra MI là đường trung bình của ∆ABE, suy ra MI = \(\displaystyle\frac{BE}{2}.\)
Tương tự, ta có IN = \(\displaystyle\frac{BE}{2}.\)
Ta lại có BE = EC, suy ra MI = IN.
Vậy I là trung điểm của MN.
\(\)
2. Cho tam giác nhọn ABC, kẻ trung tuyển AM (M ∈ BC). Gọi I là trung điểm của AM, đường thẳng CI cắt AB tại E. Từ M kẻ đường thẳng song song với CE cắt AB tại F. Chứng minh:
a) EF = FB;
b) AE = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)AB;
c) CE = 4EI.
Giải
a) Xét ∆BCE, ta có MB = MC và MF // CE nên EF = FB.
b) Xét ∆AMF, ta có IA = IM và EI // MF nên EA = EF.
Suy ra EA = EF = FB.
Vậy AE = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)AB.
c) Xét ∆BCE, ta có MB = MC và EF = FB, nên MF là đường trung bình của ∆BCE.
Suy ra CE = 2MF.
Tương tự, EI là là đường trung bình của ∆AMF nên MF = 2EI.
Suy ra CE = 4EI.
\(\)
3. Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến EM và CN cắt nhau tại G (M ∈ AC, N ∈ AB). Gọi D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC. Chứng minh:
a) MN // DE;
b) ND // ME.
Giải
a) Xét ∆ABC, ta có MA = MC và NA = NB nên MN là đường trung bình của ∆ABC.
Suy ra MN // BC (1)
Xét ∆BCG, ta có BD = DG và CE = EG nên DE là đường trung bình của ∆BCG.
Suy ra DE // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN // DE.
b) Xét ∆ABG có NA = NB và DG = DB nên ND là đường trung bình của ∆ABG.
Suy ra ND // AG (3)
Xét ∆ACG có MA = MC và EG = EC nên ME là đường trung bình của ∆ACG.
Suy ra ME // AG (4)
Từ (3) và (4) suy ra ND // ME.
\(\)
4. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD, AC. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
Giải
Xét ∆ABD, ta có MA = MD và PD = PB, nên MP là đường trung bình của ∆ABD.
Suy ra MP //AB mà AB // CD nên MP // CD.
Xét ∆ADC, ta có MA = MD và QA = QC nên MQ là đường trung bình của ∆ADC.
Suy ra MQ // CD.
Xét ∆BCD, ta có PB = PD và NB = NC nên BN là đường trung bình của ∆BCD.
Suy ra PN // CD.
Qua điểm M ∉ CD có: MP // CD và MQ // CD, suy ra M, P, Q thẳng hàng.
Qua điểm P ∉ CD có: MP // CD và PN // CD, suy ra M, P, N thẳng hàng.
Vậy bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.
\(\)
5. Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC.
a) Chứng minh tứ giác AMNB là hình thang.
b) Gọi I là giao điểm của AN và BM. Trên tia đối của tia NA lấy điểm E sao cho NE = NI. Trên tia đối của tia MB lấy điểm F sao cho ME = MI. Chứng minh EF // AB.
Giải
a) Xét ∆ABC, ta có MA = MC và NB = NC, nên MN là đường trung bình của ∆ABC.
Suy ra MN // AB, suy ra tứ giác AMNB là hình thang.
b) Xét ∆IEF, ta có NE = NI và MF = MI nên MN là đường trung bình của ∆IEF.
Suy ra MN // EF.
Mà MN // AB, suy ra EF // AB.
\(\)
6. Cho tam giác OPQ cân tại O có I là trung điểm của PQ. Kẻ IM // QO (M ∈ OP), IN // PO (N ∈ QO). Chứng minh:
a) Tam giác IMN cân tại I;
b) OI là đường trưng trực của MN.
Giải
a) Xét ∆OPQ, ta có IP = IQ và IM // QO nên MO = MP.
Xét ∆OPQ, ta có IP = IQ và MO = MP nên IM là đường trung bình của ∆OPQ.
Suy ra IM = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)QO.
Tương tự, IN là đường trung bình của ∆OPQ, suy ra IN = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)PO.
Mà QO = PO (∆OPQ cân tại O), suy ra IM = IN.
Suy ra tam giác IMN cân tại I.
b) Gọi K là giao điểm của IO và MN.
Xét ∆OPQ, ta có MO = MP và NO = NQ nên MN là đường trung bình của ∆OPQ.
Suy ra MN // PQ (1)
∆OPQ cân tại O có OI là đường trung tuyến, suy ra OI cũng là đường cao của ∆OPQ.
Suy ra OI ⊥ PQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN ⊥ OI tại K hay MN ⊥ IK.
Mà ∆IMN cân tại I nên IK cũng là đường trung trực của MN hay OI là đường trung trực của MN.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
