Bài \(2\). Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ trang \(60\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.
Các bài toán sau đây được xét trong mặt phẳng \(Oxy\).
Bài \(1\). Tìm các giá trị của tham số \(a, b, c\) để phương trình \(ax + by + c = 0\) có thể biểu diễn được các đường thẳng trong hình dưới đây:
Trả lời:
\(a)\) Đường thẳng đi qua hai điểm \((0; 3)\) và \((\ – \ 1,5; 0)\) nên ta có:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a. 0 + b. 3 + c = 0\\a. (\ – \ 1,5) + b. 0 + c = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}3b + c = 0\\ \ – \ 1,5a + c = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
Chọn \(c = 3 \Rightarrow b = \ – \ 1, a = 2\)
Vậy \(a = 2; b = \ – \ 1; c = 3\)
\(b)\) Đường thẳng đi qua hai điểm \((0; 1)\) và \((1; 0)\) nên ta có:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a. 1 + b. 0 + c = 0\\a. 0 + b. 1 + c = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}a + c = 0\\ b + c = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
Chọn \(c = \ – \ 1 \Rightarrow b = 1, a = 1\)
Vậy \(a = 1; b = 1; c = \ – \ 1\)
\(c)\) Đường thẳng đi qua hai điểm \((0; 3)\) và \((1; 3)\) nên ta có:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a. 0 + b. 3 + c = 0\\a. 1 + b. 3 + c = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}3b + c = 0\\ a + 3b + c = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
Chọn \(c = \ – \ 3 \Rightarrow b = 1, a = 0\)
Vậy \(a = 0; b = 1; c = \ – \ 3\)
\(d)\) Đường thẳng đi qua hai điểm \((\ – \ 2; 0)\) và \((\ – \ 2; 1\) nên ta có:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a. (\ – \ 2) + b. 0 + c = 0\\a. (\ – \ 2) + b. 1 + c = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}\ – \ 2a + c = 0\\ \ – \ 2a + b + c = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
Chọn \(c = 2 \Rightarrow b = 0, a = 1\)
Vậy \(a = 1; b = 0; c = 2\).
\(\)
Bài \(2\). Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(d\) đi qua điểm \(M(2; 2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (4; 7)\);
\(b)\) \(d\) đi qua điểm \(N(0; 1)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (\ – \ 5; 3)\);
\(c)\) \(d\) đi qua \(A(\ – \ 2; \ – \ 3)\) và có hệ số góc \(k = 3\);
\(d)\) \(d\) đi qua hai điểm \(P(1; 1)\) và \(Q(3; 4)\).
Trả lời:
\(a)\) \(d\) đi qua điểm \(M(2; 2)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (4; 7)\) nên có phương trình tham số là:
\(d: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 2 + 4t\\y = 2 + 7t \end{array} \right. \end{equation}\)
Do \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (4; 7)\) nên \(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (7; \ – \ 4)\). Khi đó \(d\) có phương trình tổng quát là:
\(d: 7. (x \ – \ 2) \ – \ 4. (y \ – \ 2) = 0\)
\(\Leftrightarrow 7x \ – \ 4y \ – \ 6 = 0\)
\(b)\) \(d\) đi qua điểm \(N(0; 1)\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (\ – \ 5; 3)\) nên \(d\) có phương trình tổng quát là:
\(d: \ – \ 5. (x \ – \ 0) + 3. (y \ – \ 1) = 0 \Leftrightarrow \ – \ 5x + 3y \ – \ 3 = 0\)
\(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (\ – \ 5; 3)\) nên \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (3; 5)\).
Khi đó \(d\) có phương trình tham số là:
\(d: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 3t\\y = 1 + 5t \end{array} \right. \end{equation}\).
\(c)\) \(d\) đi qua \(A(\ – \ 2; \ – \ 3)\) và có hệ số góc \(k = 3\) nên có phương trình tổng quát là:
\(d: y = 3. (x + 2) \ – \ 3 \Leftrightarrow 3x \ – \ y + 3 = 0\)
\(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; \ – \ 1)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u} = (1; 3)\) . Khi đó \(d\) có phương trình tham số là:
\(d: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \ – \ 2 + t\\y = \ – \ 3 + 3t \end{array} \right. \end{equation}\).
\(d)\) \(d\) đi qua hai điểm \(P(1; 1)\) và \(Q(3; 4)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{PQ} = (2; 3)\). Khi đó \(d\) có phương trình tham số là:
\(d: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 1 + 2t\\y = 1 + 3t \end{array} \right. \end{equation}\).
\(d\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (3; \ – \ 2)\) nên có phương trình tổng quát là:
\(d: 3(x \ – \ 1) \ – \ 2. (y \ – \ 1) = 0 \Leftrightarrow 3x \ – \ 2y \ – \ 1 = 0\).
\(\)
Bài \(3\). Cho tam giác \(ABC\), biết \(A(1; 4), B(0; 1)\) và \(C(4; 3)\).
\(a)\) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\).
\(b)\) Lập phương trình tham số của đường trung tuyến \(AM\).
\(c)\) Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\).
Trả lời:
\(a)\) \(\overrightarrow{BC} = (4; 2)\)
Suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (1; \ – \ 2)\)
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là:
\(1. (x \ – \ 0) \ – \ 2. (y \ – \ 1) = 0 \Leftrightarrow x \ – \ 2y + 2 = 0\)
\(b)\) \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(M(2; 2)\)
Trung tuyến \(AM\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{AM} = (1; \ – \ 2)\) nên có phương trình tham số là:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 1 + t\\y = 4 \ – \ 2t \end{array} \right. \end{equation}\).
\(c)\) Đường cao \(AH\) nên \(AH \perp BC\) nên \(AH\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{BC} = (4; 2)\)
Khi đó \(AH\) có phương trình tổng quát là:
\(4. (x \ – \ 1) + 2. (y \ – \ 4) = 0 \Leftrightarrow 2x + y \ – \ 6 = 0\)
\(\)
Bài \(4\). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(\Delta\) đi qua \(M(3; 3)\) và song song với đường thẳng \(x + 2y \ – \ 2022 = 0\);
\(b)\) \(\Delta\) đi qua \(N(2; \ – \ 1)\) và vuông góc với đường thẳng \(3x + 2y + 99 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) \(\Delta\) đi qua \(M(3; 3)\) và song song với đường thẳng \(x + 2y \ – \ 2022 = 0\) nên \(\Delta\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (1; 2)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta\) là:
\(1. (x \ – \ 3) + 2. (y \ – \ 3) = 0 \Leftrightarrow x + 2y \ – \ 9 = 0\)
\(b)\) \(\Delta\) đi qua \(N(2; \ – \ 1)\) và vuông góc với đường thẳng \(3x + 2y + 99 = 0\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n} = (2; \ – \ 3)\).
Phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:
\(2. (x \ – \ 2) \ – \ 3. (y + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x \ – \ 3y \ – \ 7 = 0\)
\(\)
Bài \(5\). Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) sau đây:
\(a)\) \(d_1: 2x + y + 9 = 0\) và \(d_2: 2x + 3y \ – \ 9 = 0\);
\(b)\) \(d_1: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 2 + t\\y = 1 \ – \ 2t \end{array} \right. \end{equation}\) và \(d_2: 2x + y + 10 = 0\);
\(c)\) \(d_1: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 1 \ – \ t\\y = 8 \ – \ 5t \end{array} \right. \end{equation}\) và \(d_2: 5x \ – \ y + 3 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) \(d_1, d_2\) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1} = (2; 1), \overrightarrow{n_2} = (2; 3)\) .
Xét \(\displaystyle \frac{2}{2} \neq \displaystyle \frac{1}{3}\) nên \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) không cùng phương hay \(d_1\) cắt \(d_2\) tại điểm \(M\).
Giải hệ phương trình \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2x + y + 9 = 0\\2x + 3y \ – \ 9 = 0 \end{array} \right. \end{equation}\) ta được \(x = \ – \ 9; y = 9\)
\(\Rightarrow M(\ – \ 9; 9)\).
Vậy hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau tại \(M(\ – \ 9; 9)\).
\(b)\) \(d_1: \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 2 + t\\y = 1 \ – \ 2t \end{array} \right. \end{equation}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_1} = (1; \ – \ 2)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_1} = (2; 1)\).
\(d_2\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n_2} = (2; 1)\)
Ta thấy hai vectơ \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) cùng phương.
Khi đó \(d_1\) và \(d_2\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Xét điểm \(M(2; 1)\) thuộc \(d_1\). Thay toạ độ \(M\) vào phương trình \(d_2\) ta thấy:
\(2. 2 + 1 + 10 = 15 \neq 0\) hay \(M \notin d_2\)
Vậy \(d_1\) song song với \(d_2\).
\(c)\) \(d_1\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1} = (\ – \ 1; \ – \ 5)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_1} = (5; \ – \ 1)\)
\(d_2\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_2} = (5; \ – \ 1)\)
Ta thấy hai vectơ \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) cùng phương.
Khi đó \(d_1\) và \(d_2\) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Xét điểm \(M(1; 8)\) thuộc \(d_1\). Thay toạ độ \(M\) vào phương trình \(d_2\) ta thấy:
\(5. 1 \ – \ 8 + 3 = 0\) hay \(M \in d_2\)
Vậy \(d_1\) trùng với \(d_2\).
\(\)
Bài \(6\). Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 1 + t\\y = 2 + 2t \end{array} \right. \end{equation}\).
Tìm giao điểm của \(d\) với đường thẳng \(\Delta: x + y \ – \ 2 = 0\).
Trả lời:
\(d\) đi qua điểm \((1; 2)\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u} = (1; 2)\) nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (2; \ – \ 1)\). Do đó phương trình tổng quát của \(d\) là:
\(2. (x \ – \ 1) \ – \ (y \ – \ 2) = 0 \Leftrightarrow 2x \ – \ y = 0\)
Giao điểm \(M\) của \(d\) và \(\Delta\) có toạ độ là nghiệm của hệ sau:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2x \ – \ y = 0\\x + y \ – \ 2 = 0 \end{array} \right. \end{equation}\)
\(\Rightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = \displaystyle \frac{2}{3}\\y = \displaystyle \frac{4}{3} \end{array} \right. \end{equation}\)
Vậy giao điểm của \(d\) với đường thẳng \(\Delta: x + y \ – \ 2 = 0\) là \(M\left(\displaystyle \frac{2}{3}; \displaystyle \frac{4}{3}\right)\).
\(\)
Bài \(7\). Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng của \(d_1\) và \(d_2\) trong các trường hợp sau:
\(a)\) \(d_1: 5x \ – \ 3y + 1 = 0\) và \(d_2: 10x \ – \ 6y \ – \ 7 = 0\);
\(b)\) \(d_1: 7x \ – \ 3y + 7 = 0\) và \(d_2: 3x + 7y \ – \ 10 = 0\);
\(c)\) \(d_1: 2x \ – \ 4y + 9 = 0\) và \(d_2: 6x \ – \ 2y \ – \ 2023 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) \(d_1\) và \(d_2\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1} = (5; \ – \ 3); \overrightarrow{n_2} = (10; \ – \ 6)\).
Ta có: \(\displaystyle \frac{5}{10} = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{\ – \ 6} = \displaystyle \frac{1}{2}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{n_1}\) và \(\overrightarrow{n_2}\) cùng phương.
Suy ra \(d_1\) và \(d_2\) song song hoặc trùng nhau.
Vậy \((d_1; d_2) = 0^o\).
\(b)\) \(d_1\) và \(d_2\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1} = (7; \ – \ 3); \overrightarrow{n_2} = (3; 7)\).
Ta có: \(\overrightarrow{n_1}. \overrightarrow{n_2} = 7. 3 + (\ – \ 3). 7 = 0\)
Suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau.
Vậy \((d_1, d_2) = 90^o\).
\(c)\) \(d_1\) và \(d_2\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow{n_1} = (2; \ – \ 4); \overrightarrow{n_2} = (6; \ – \ 2)\).
Ta có: \(\cos{(d_1, d_2)} = \displaystyle \frac{(2. 6) + (\ – \ 4). (\ – \ 2)}{\sqrt{2^2 + (\ – \ 4)^2}. \sqrt{6^2 + (\ – \ 2)^2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow (d_1, d_2) = 45^o\).
\(\)
Bài \(8\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta\) trong các trường hợp sau:
\(a)\) \(M(2; 3)\) và \(\Delta: 8x \ – \ 6y + 7 = 0\);
\(b)\) \(M(0; 1)\) và \(\Delta: 4x + 9y \ – \ 20 = 0\);
\(c)\) \(M(1; 1)\) và \(\Delta: 3y \ – \ 5 = 0\);
\(d)\) \(M(4; 9)\) và \(\Delta: x \ – \ 25 = 0\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(d(M, \Delta) = \displaystyle \frac{|8. 2 \ – \ 6. 3 + 7|}{\sqrt{8^2 + (\ – \ 6)^2}} = \displaystyle \frac{1}{2}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M(2; 3)\) đến \(\Delta: 8x \ – \ 6y + 7 = 0\) là \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
\(b)\) Ta có: \(d(M, \Delta) = \displaystyle \frac{|4. 0 + 9. 1 \ – \ 20|}{\sqrt{4^2 + 9^2}} = \displaystyle \frac{11}{\sqrt{97}}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M(0; 1)\) đến \(\Delta: 4x + y \ – \ 20 = 0\) là \(\displaystyle \frac{11}{\sqrt{97}}\).
\(c)\) Ta có: \(d(M, \Delta) = \displaystyle \frac{|1. 1 \ – \ 5|}{\sqrt{0^2 + 3^2}} = \displaystyle \frac{2}{3}\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M(1; 1)\) đến \(\Delta: 3y \ – \ 5 = 0\) là \(\displaystyle \frac{2}{3}\).
\(d)\) Ta có: \(d(M, \Delta) = \displaystyle \frac{|4 \ – \ 25|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 21\)
Vậy khoảng cách từ điểm \(M(4; 9)\) đến \(\Delta: x \ – \ 25 = 0\) là \(21\).
\(\)
Bài \(9\). Tìm \(c\) để đường thẳng \(\Delta: 4x \ – \ 3y + c = 0\) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) có tâm \(J(1; 2)\) và bán kính \(R = 3\).
Trả lời:
\(\Delta\) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) có tâm \(J(1; 2)\) nên khoảng cách từ \(J\) đến \(\Delta\) chính là bán kính đường tròn \((C)\).
\(d(J, \Delta) = \displaystyle \frac{|4. 1 \ – \ 3. 2 + c|}{\sqrt{4^2 + (\ – \ 3)^2}} = R = 3\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{|c \ – \ 2|}{5} = 3\)
\(\Leftrightarrow |c \ – \ 2| = 15\)
\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left[\begin{array}{II}c = 17\\c = \ – \ 13 \end{array} \right. \end{equation}\).
Vậy \(c = 17\) hoặc \(c = \ – \ 13\).
\(\)
Bài \(10\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
\(\Delta: 6x + 8y \ – \ 11 = 0\) và \(\Delta’: 6x + 8y \ – \ 1 = 0\).
Trả lời:
\(\Delta\) và \(\Delta’\) cùng có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n} = (6; 8)\) nên hai đường thẳng hoặc song song hoặc trùng nhau.
Xét điểm \(M\left(2; \ – \ \displaystyle \frac{1}{8}\right) \in \Delta\) ta thấy:
\(6. 2 + 8. \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{8}\right) \ – \ 1 = 10 \neq 0\) nên \(M \notin \Delta’\)
Vậy hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta’\) song song với nhau.
Khi đó \(d(\Delta, \Delta’) = d(M, \Delta’) = \displaystyle \frac{|6. 2 + 8. \displaystyle \frac{\ – \ 1}{8} \ – \ 1|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 1\)
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta’\) bằng \(1\).
\(\)
Bài \(11\). Một trạm viễn thông \(S\) có toạ độ \((5; 1)\). Một người đang ngồi trên chiếc xe khách chạy trên đoạn cao tốc có dạng một đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(12x + 5y \ – \ 20 = 0\). Tính khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông \(S\). Biết rằng mỗi đơn vị độ dài tương ứng với \(1 km\).
Trả lời:
Khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông \(S\) chính là đường vuông góc (hay khoảng cách) từ \(S\) đến đường thẳng \(\Delta\).
\(\Rightarrow d(S; \Delta) = \displaystyle \frac{|12. 5 + 5. 1 \ – \ 20|}{\sqrt{12^2 + 5^2}} = \displaystyle \frac{45}{13}\)
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa người đó và trạm viễn thông \(S\) là \(\displaystyle \frac{45}{13}\) km.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 1 – Toạ độ vectơ
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.