Bài 2. Định lí côsin và định lí sin

Bài \(2\). Định lí côsin và định lí sin trang \(69\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). TÍnh độ dài các cạnh chưa biết trong các tam giác sau:

Trả lời:

\(a)\) Áp dụng định lí côsin ta có:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 \ – \ 2. AB. AC. \cos{\widehat{A}}\)

\(= 10^2 + 9^2 \ – \ 2. 10. 9. \cos{65^o} \approx 104,929 (cm)\)

\(\Rightarrow BC \approx 10,24 (cm)\)

\(b)\) Ta có: \(\widehat{P} = 180^o \ – \ (112^o + 34^o) = 34^o\)

\(\Rightarrow\) Tam giác \(MNP\) cân tại \(N\)

\(\Rightarrow MN = NP = 22 cm\)

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\displaystyle \frac{MP}{\sin{\widehat{N}}} = \displaystyle \frac{NP}{\sin{\widehat{N}}} = \displaystyle \frac{MN}{\sin{\widehat{P}}} = \displaystyle \frac{22}{\sin{34^o}}\)

\(\Rightarrow MP = \displaystyle \frac{22}{\sin{34^o}}. \sin{112^o} \approx 36,48 (cm)\)

Vậy \(MP \approx 36,48cm; MN = 22 cm\)

\(\)

Bài \(2\). Cho tam giác \(ABC\), biết cạnh \(a\) bằng \(75 cm\), \(\widehat{B} = 80^o, \widehat{C} = 40^o\).
\(a)\) Tính các góc, các cạnh còn lại của tam giác \(ABC\);
\(b)\) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\widehat{A} = 180^o \ – \ (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180^o \ – \ (80^o + 40^o)\)

\(= 60^o\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:

\(\displaystyle \frac{a}{\sin{\widehat{A}}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{\widehat{B}}} = \displaystyle \frac{c}{\sin{\widehat{C}}} = \displaystyle \frac{75}{\sin{60^o}}\)

\(\Rightarrow b = \displaystyle \frac{75}{\sin{60^o}}. \sin{80^o} \approx 85,29\) cm.

\(c = \displaystyle \frac{75}{\sin{60^o}}. \sin{40^o} \approx 55,67\) cm.

Vậy \(AC \approx 85,29 cm; AB \approx 55,67 cm; \widehat{A} = 60^o\).

\(b)\) Ta có: \(R = \displaystyle \frac{a}{2\sin{A}} = \displaystyle \frac{75}{2\sin{60^o}} = 25\sqrt{3} (cm) \)

Vậy \(R = 25\sqrt{3}cm\).

\(\)

Bài \(3\). Tính góc lớn nhất của tam giác \(ABC\), biết các cạnh là \(a = 8, b = 12, c = 6\).

Trả lời:

Do \(b\) là cạnh lớn nhất nên góc lớn nhất là góc \(B\).

Áp dụng định lí côsin ta có:

\(b^2 = a^2 + c^2 \ – \ 2ac. \cos{B}\)

\(\Rightarrow \cos{B} = \displaystyle \frac{a^2 + c^2 \ – \ b^2}{2ac} = \displaystyle \frac{8^2 + 6^2 \ – \ 12^2}{2. 8. 6}\)

\(\Rightarrow \cos{B} = \displaystyle \frac{\ – \ 11}{24}\)

\(\Rightarrow \widehat{B} \approx 117^o16’46”\)

Vậy góc lớn nhất của tam giác \(ABC\) là góc \(B\) bằng \(117^o16’46”\)

\(\)

Bài \(4\). Tính khoảng cách giữa hai điểm \(P\) và \(Q\) của một hồ nước (Hình \(7\)). Cho biết từ một điểm \(O\) cách hai điểm \(P\) và \(Q\) lần lượt là \(1400 m\) và \(600 m\) người quan sát nhìn thấy một góc \(76^o\).

Trả lời:

Áp dụng định lí côsin ta có:

\(PQ^2 = OP^2 + OQ^2 \ – \ 2. OP. OQ. \cos{\widehat{O}}\)

\(= 1400^2 + 600^2 \ – \ 2. 1400. 600. \cos{76^o}\)

\(\approx 1913571,215\)

\(\Rightarrow PQ = \sqrt{PQ^2} \approx 1383,32\) (m).

Vậy khoảng cách giữa hai điểm \(P\) và \(Q\) là \(PQ \approx 1383,32 m\).

\(\)

Bài \(5\). Cho tam giác giác \(ABC\) với \(BC = a, AC = b, AB = c\). Chứng minh rằng:
\(1 + \cos{A} = \displaystyle \frac{(a + b + c)(\ – \ a + b + c)}{2bc}\).

Trả lời:

Theo định lí côsin ta có:

\(a^2 = b^2 + c^2 \ – \ 2bc. \cos{A}\)

\(\Rightarrow \cos{A} = \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2bc}\)

\(\Rightarrow 1 + \cos{A} = 1 + \displaystyle \frac{b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2bc}\)

\(= \displaystyle \frac{2bc + b^2 + c^2 \ – \ a^2}{2bc} = \displaystyle \frac{(b + c)^2 \ – \ a^2}{2bc}\)

\(= \displaystyle \frac{(a + b + c)(\ – \ a + b + c)}{2bc}\) (đpcm).

\(\)

Bài \(6\). Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 24 cm, b = 26 cm, c = 30 cm\).
\(a)\) Tính diện tích tam giác \(ABC\).
\(b)\) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác \(ABC\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(p = \displaystyle \frac{a + b + c}{2} = \displaystyle \frac{24 + 26 + 30}{2} = 40\)

Áp dụng công thức Heron ta được:

\(S = \sqrt{p. (p \ – \ a). (p \ – \ b). (p \ – \ c)}\)

\(= \sqrt{40. (40 \ – \ 24). (40 \ – \ 26). (40 \ – \ 30)} = 80\sqrt{14} (cm^2)\)

\(b)\) Ta có: \(S = p. r = 40. r = 80\sqrt{14}\)

\(\Rightarrow r = 2\sqrt{14} (cm)\)

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) là \(r = 2\sqrt{14} cm\)

\(\)

Bài \(7\). Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = 10, MP = 20, \widehat{M} = 42^o\).
\(a)\) Tính diện tích tam giác \(MNP\).
\(b)\) Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MNP\). Tính diện tích tam giác \(MNP\).

Trả lời:

\(a)\) Diện tích tam giác \(MNP\) là:

\(S_{MNP} = \displaystyle \frac{1}{2}. MN. MP. \sin{\widehat{M}} = \displaystyle \frac{1}{2}. 10. 20. \sin{42^o}\)

\(\approx 67\) đvdt.

\(b)\)

Áp dụng định lí côsin ta có:

\(NP^2 = MN^2 + MP^2 \ – \ 2. MN. MP. \cos{\widehat{M}}\)

\(= 10^2 + 20^2 \ – \ 2. 10. 20. \cos{42^o} = 202,74\)

\(\Rightarrow NP = \sqrt{NP^2} \approx 14,24\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác \(MNP\), ta có:

\(R = ON = OP = \displaystyle \frac{NP}{2\sin{\widehat{M}}} \approx \displaystyle \frac{14,24}{2\sin{42^o}}\)

\(\approx 10,64\)

Tam giác \(ONP\) có \(ON = OP = 10,64; NP \approx 14,24\)

\(\Rightarrow p = \displaystyle \frac{OP + ON + NP}{2} = 17,76\)

Áp dụng công thức Heron ta tính được diện tích tam giác \(ONP\) là:

\(S = \sqrt{p. (p \ – \ a). (p \ – \ b). (p \ – \ c)}\)

\( = \sqrt{17,76. (17,76 \ – \ 10,64). (17,76 \ – \ 10,64). (17,76 \ – \ 14,24)}\)

\(\approx 56,3\) đvdt.

\(\)

Bài \(8\). Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Chứng minh các tam giác \(GBC, GAB, GAC\) có diện tích bằng nhau.

Trả lời:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\)

Kẻ \(AH \perp BC, GK \perp BC\). Suy ra \(GM = \displaystyle \frac{1}{3} AM\)

Xét hai tam giác \(GKM\) và \(AHM\) ta có:

\(\begin{equation} \left. \begin{array}{II} \widehat{AMH} \text{ chung } \\ \widehat{AHM} = \widehat{GKM} = 90^o \end{array} \right\} \end{equation} \Rightarrow \Delta{GKM} \sim \Delta{AHM} (g.g)\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{GM}{AM} = \displaystyle \frac{GK}{AH} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{S_{GBC}}{S_{ABC}} = \displaystyle \frac{\frac{1}{2}. GK. BC}{\frac{1}{2}. AH. BC} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

Hay \(S_{GBC} = \displaystyle \frac{1}{3} S_{ABC}\)

Chứng minh tương tự ta cũng được:

\(S_{GAC} = S_{GAB} = \displaystyle \frac{1}{3} S_{ABC}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(9\). Cho tam giác \(ABC\) và cho các điểm \(B’, C’\) trên cạnh \(AB\) và \(AC\).
Chứng minh \(\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{A’B’C’}} = \displaystyle \frac{AB. AC}{AB’. AC’}\).

Trả lời:

Ta có: \(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sin{\widehat{A}}\)

\(S_{AB’C’} = \displaystyle \frac{1}{2} AB’. AC’. \sin{\widehat{A}}\)

Suy ra \(\displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{AB’C’}} = \displaystyle \frac{\frac{1}{2}. AB. AC}{\frac{1}{2}. AB’. AC’}\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{S_{ABC}}{S_{AB’C’}} = \displaystyle \frac{AB. AC}{AB’. AC’}\) (đpcm)

\(\)

Bài \(10\). Tính diện tích bề mặt của một miếng bánh mì kebab hình tam giác có hai cạnh lần lượt là \(10 cm, 12cm\) và góc tạo bởi hai cạnh đó là \(35^o\).

Trả lời: