Bài \(2\). Công thức lượng giác trang \(17\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1.7\). Sử dụng \(15^o = 45^o \ – \ 30^o\), hãy tính các giá trị lượng giác của góc \(15^o\).
Trả lời:
\(\cos{15^o} = \cos{(45^o \ – \ 30^o)}\)
\(= \cos{45^o} \cos{30^o} + \sin{45^o} \sin{30^o}\)
\(= \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}. \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(= \displaystyle \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)
\(\sin{15^o} = \sin{(45^o \ – \ 30^o)}\)
\(= \sin{45^o} \cos{30^o} \ – \ \cos{45^o} \sin{30^o}\)
\(= \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}. \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(= \displaystyle \frac{\sqrt{6} \ – \ \sqrt{2}}{4}\)
\(\tan{15^o} = \tan{(45^o \ – \ 30^o)}\)
\(= \displaystyle \frac{\tan{45^o} \ – \ \tan{30^o}}{1 \ – \ \tan{45^o}. \tan{30^o}}\)
\(= \displaystyle \frac{1 \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 \ – \ \sqrt{3}\)
\(\cot{15^o} = \displaystyle \frac{1}{\tan{15^o}} = \displaystyle \frac{1}{2 \ – \ \sqrt{3}}\)
\(\)
Bài \(1.8\). Tính:
\(a)\) \(\cos{\left(\alpha + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\), biết \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\);
\(b)\) \(\tan{\left(\alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\), biết \(\cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}\) và \(\pi < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}\).
Trả lời:
\(a)\) Vì \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\cos{\alpha} < 0,\)
Ta có: \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\) suy ra \(\cos{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \sin^2{\alpha}}\)
\(= \ – \ \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{3}} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\alpha + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = \cos{\alpha} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} \ – \ \sin{\alpha} \sin{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}. \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ \sqrt{3} \ – \ 3\sqrt{2}}{6}\)
\(b)\) Vì \(\pi < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}\) nên \(\sin{\alpha} < 0\)
Ta có: \(\sin{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \cos^2{\alpha}} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{9}} = \ – \ \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = 2\sqrt{2}\)
Suy ra:
\(\tan{\left(\alpha \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\tan{\alpha} \ – \ \tan{\displaystyle \frac{\pi}{4}}}{1 + \tan{\alpha} \tan{\displaystyle \frac{\pi}{4}}}\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3} \ – \ 1}{1 \ – \ \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \ – \ 17 + 12 \sqrt{2}\)
\(\)
Bài \(1.9\). Tính \(\sin{2\alpha}, \cos{2\alpha}, \tan{2\alpha}\), biết:
\(a)\) \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{3}\) và \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\).
\(b)\) \(\sin{\alpha} + \cos{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{2}\) và \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{4}\).
Trả lời:
\(a)\) Vì \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\cos{\alpha} < 0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \sin^2{\alpha}} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{9}} = \ – \ \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \ – \ 2\sqrt{2}\)
\(\sin{2\alpha} = 2\sin{\alpha} \cos{\alpha} = 2. \displaystyle \frac{1}{3}. \left(\ – \ \displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ 4\sqrt{2}}{9}\)
\(\cos{2\alpha} = \cos^2{\alpha} \ – \ \sin^2{\alpha} = \displaystyle \frac{8}{9} \ – \ \displaystyle \frac{1}{9} = \displaystyle \frac{7}{9}\)
\(\tan{2\alpha} = \displaystyle \frac{2\tan{\alpha}}{1 \ – \ \tan^2{\alpha}} = \displaystyle \frac{2. 2\sqrt{2}}{1 \ – \ (2\sqrt{2})^2}\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ 4\sqrt{2}}{7}\)
\(b)\) Ta có: \(\sin{\alpha} + \cos{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{2}\).
\(\Rightarrow (\sin{\alpha} + \cos{\alpha})^2 = \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} + 2\sin{\alpha} \cos{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha} = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{4}\)
Vì \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \pi < \alpha < \displaystyle \frac{3\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{2\alpha} < 0\)
\(\Rightarrow \cos{2\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \sin^2{2\alpha}} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{9}{16}}\)
\(= \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\)
\(\tan{2\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} = \displaystyle \frac{\ – \ \displaystyle \frac{3}{4}}{\ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}\)
\(= \displaystyle \frac{3}{\sqrt{7}}\).
\(\)
Bài \(1.10\). Tính giá trị của các biểu thức sau:
\(a)\) \(A = \displaystyle \frac{\sin{\displaystyle \frac{\pi}{15}}\cos{\displaystyle \frac{\pi}{10}} + \sin{\displaystyle \frac{\pi}{10}}\cos{\displaystyle \frac{\pi}{15}}}{\cos{\displaystyle \frac{2\pi}{15}}\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} \ – \ \sin{\displaystyle \frac{2\pi}{15}}\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}}\);
\(b)\) \(B = \sin{\displaystyle \frac{\pi}{32}} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{32}} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{16}}\cos{\displaystyle \frac{\pi}{8}}\).
Trả lời:
\(a)\) \(A = \displaystyle \frac{\sin{\displaystyle \frac{\pi}{15}}\cos{\displaystyle \frac{\pi}{10}} + \sin{\displaystyle \frac{\pi}{10}}\cos{\displaystyle \frac{\pi}{15}}}{\cos{\displaystyle \frac{2\pi}{15}}\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} \ – \ \sin{\displaystyle \frac{2\pi}{15}}\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}}\)
\(= \displaystyle \frac{\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{15} + \displaystyle \frac{\pi}{10}\right)}}{\cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{15} + \displaystyle \frac{\pi}{5}\right)}} = \displaystyle \frac{\sin{\displaystyle \frac{\pi}{6}}}{\cos{\displaystyle \frac{\pi}{3}}} = 1\).
\(b)\) \(B = \sin{\displaystyle \frac{\pi}{32}} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{32}} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{16}}\cos{\displaystyle \frac{\pi}{8}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}\sin{\displaystyle \frac{\pi}{16}}. \cos{\displaystyle \frac{\pi}{16}}. \cos{\displaystyle \frac{\pi}{8}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{4} \sin{\displaystyle \frac{\pi}{8}}. \cos{\displaystyle \frac{\pi}{8}} = \displaystyle \frac{1}{8} \sin{\displaystyle \frac{\pi}{4}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{8}. \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{16}\)
\(\)
Bài \(1.11\). Chứng minh đẳng thức sau:
\(\sin{(a + b)} \sin{(a \ – \ b)} = \sin^2{a} \ – \ \sin^2{b} = \cos^2{b} \ – \ \cos^2{a}\).
Trả lời:
Ta có: \(\sin{(a + b)} \sin{(a \ – \ b)} = (\sin{a} \cos{b} + \cos{a} \sin{b}). (\sin{a} \cos{b} \ – \ \cos{b} \sin{a})\)
\(= \sin^2{a} \cos^2{b} \ – \ \cos^2{a} \sin^2{b}\)
\(= \sin^2{a} (1 \ – \ \sin^2{b}) \ – \ (1 \ – \ \sin^2{a}) \sin^2{b}\)
\(= \sin^2{a} \ – \ \sin^2{b} = (1\ – \ \cos^2{a}) \ – \ (1 \ – \ \cos^2{b})\)
\(= \cos^2{b} \ – \ \cos^2{a}\) (đpcm)
\(\)
Bài \(1.12\). Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat{B} = 75^o, \widehat{C} = 45^o\) và \(a = BC = 12\) cm.
\(a)\) Sử dụng công thức \(S = \displaystyle \frac{1}{2} ab\sin{C}\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác \(ABC\) cho bởi công thức
\(S = \displaystyle \frac{a^2 \sin{B} \sin{C}}{2 \sin{A}}\).
\(b)\) Sử dụng kết quả ở câu \(a\) và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích \(S\) của tam giác \(ABC\).
Trả lời:
\(a)\) Theo định lí sin ta có: \(\displaystyle \frac{a}{\sin{A}} = \displaystyle \frac{b}{\sin{B}}\)
\(\Rightarrow b = \displaystyle \frac{a\sin{B}}{\sin{A}}\)
Sử dụng công thức tính diện tích ta có:
\(S = \displaystyle \frac{1}{2} ab \sin{C} = \displaystyle \frac{1}{2} a. \displaystyle \frac{a\sin{B}}{\sin{A}}. \sin{C}\)
\(= \displaystyle \frac{a^2 \sin{B} \sin{C}}{2 \sin{C}}\) (đpcm)
\(b)\) Ta có: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\)
\(\Rightarrow \widehat{A} = 180^o \ – \ (\widehat{B} + \widehat{C}) = 180^o \ – \ (75^o + 45^o) = 60^o\)
Suy ra \(S = \displaystyle \frac{a^2 \sin{B} \sin{C}}{2 \sin{A}} = \displaystyle \frac{12^2. sin75^o. \sin45^o}{2 \sin60^o}\)
\(= \displaystyle \frac{144. \frac{1}{2}. \cos{(30^o \ – \ 90^o)}}{2\sin60^o}\)
\(= 36 + 12\sqrt{3} (cm^2)\)
\(\)
Bài \(1.13\). Trong vật lý, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi phương trình \(x(t) = A\cos{(\omega t + \varphi)}\), tỏng đó \(t\) là thời điểm (tính bằng giây), \(x(t)\) là li độ của vật tại thời điểm \(t\), \(A\) là biên độ dao động (\(A > 0\)) và \(\varphi \in [\ – \ \pi; \pi]\) là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:
\(x_1(t) = 2\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}t + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\) cm;
\(x_2(t) = 2\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\) cm.
Tìm dao động tổng hợp \(x(t) = x_1(t) + x_2(t)\) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Trả lời:
Ta có: \(x(t) = x_1(t) + x_2(t) = 2\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}t + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} + 2\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\)
\(= 2\left[2\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12}\right)} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{4}}\right]\)
\(= 2\sqrt{2} \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}t \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12}\right)}\)
Vậy biên độ \(A = 2\sqrt{2}\), pha ban đầu là \(\varphi = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{12}\)
\(\)
Bài 2. Công thức lượng giác Bài 2. Công thức lượng giác Bài 2. Công thức lượng giác
Xem bài giải trước: Bài 1 – Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Hàm số lượng giác
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.