Bài 2. Cấp số cộng

Bài \(2\). Cấp số cộng trang \(49\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao?
\(a)\) \(10; \ – \ 2; \ – \ 14; \ – \ 26; \ – \ 38\);
\(b)\) \(\displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{5}{4}; 2; \displaystyle \frac{11}{4}; \displaystyle \frac{7}{2}\);
\(c)\) \(\sqrt{1}; \sqrt{2}; \sqrt{3}; \sqrt{4}; \sqrt{5}\);
\(d)\) \(1; 4; 7; 10; 13\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\ – \ 2 \ – \ 10 = \ – \ 14 \ – \ (\ – \ 2) = \ – \ 26 \ – \ (\ – \ 14)\)

\(= \ – \ 38 \ – \ (\ – \ 26) = \ – \ 12\)

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 10\) và công sai \(d = \ – \ 12\).

\(b)\) Ta có: \(\displaystyle \frac{5}{4} \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} = 2 \ – \ \displaystyle \frac{5}{4} = \displaystyle \frac{11}{4} \ – \ 2\)

\(= \displaystyle \frac{7}{2} \ – \ \displaystyle \frac{11}{4} = \displaystyle \frac{3}{4}\)

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = \displaystyle \frac{1}{2}\) và công sai \(d = \displaystyle \frac{3}{4}\).

\(c)\) Ta có: \(\sqrt{2} \ – \ \sqrt{1} \neq \sqrt{3} \ – \ \sqrt{2} \neq \sqrt{4} \ – \ \sqrt{3} \neq \sqrt{5} \ – \ \sqrt{4}\)

Vậy dãy số trên không là cấp số cộng.

\(d)\) Ta có: \(4 \ – \ 1 = 7 \ – \ 4 = 10 \ – \ 7 = 13 \ – \ 10 = 3\)

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai \(d = 3\)

\(\)

Bài \(2\). Trong các dãy số \((u_n)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\).
\(a)\) \(u_n = 3 \ – \ 2n\);
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{3n + 7}{5}\);
\(c)\) \(u_n = 3^n\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_{n + 1} = 3 \ – \ 2 (n + 1) = 1 \ – \ 2n\)

Xét \(u_{n + 1} \ – \ u_n = 1 \ – \ 2n \ – \ (3 \ – \ 2n) = \ – \ 2\)

Suy ra đây là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 1\) và công sai \(d = \ – \ 2\).

\(b)\) Ta có: \(u_{n + 1} = \displaystyle \frac{3(n + 1) + 7}{5} = \displaystyle \frac{3n + 10}{5}\)

Xét \(u_{n + 1} \ – \ u_n = \displaystyle \frac{3n + 10}{5} \ – \ \displaystyle \frac{3n + 7}{5} = \displaystyle \frac{3}{5}\)

Suy ra dãy số trên là cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 2\) và công sai \(d = \displaystyle \frac{3}{5}\).

\(c)\) Ta có: \(u_{n + 1} = 3^{n + 1} = 3. 3^n\)

Xét \(u_{n + 1} \ – \ u_n = 3. 3^n \ – \ 3^n = 2. 3^n\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

Vậy dãy số trên không là cấp số cộng.

\(\)

Bài \(3\). Cho cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1 = \ – \ 3\), công sai \(d = 5\).
\(a)\) Viết công thức của số hạng tổng quát \(u_n\).
\(b)\) Số \(492\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
\(c)\) Số \(300\) có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Trả lời:

\(a)\) Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \((u_n)\) là:

\(u_n = \ – \ 3 + (n \ – \ 1). 5 = 5n \ – \ 8\)

\(b)\) Xét \(u_n = 492\)

\(\Rightarrow 5n \ – \ 8 = 492\)

\(\Rightarrow n = 100\)

Vậy số \(492\) là số hạng thứ \(100\) của cấp số cộng trên.

\(c)\) Xét \(u_n = 300\)

\(\Rightarrow 5n \ – \ 8 = 300\)

\(\Rightarrow n = 61,6 \notin \mathbb{N^*}\)

Vậy không tồn tại số hạng có giá trị \(300\) trong cấp số cộng trên.

\(\)

Bài \(4\). Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 4, u_2 = 1\). Tính \(u_{10}\).

Trả lời:

Công sai của cấp số cộng là:

\(d = u_2 \ – \ u_1 = 1 \ – \ 4 = \ – \ 3\)

Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
\(u_n = 4 + (n \ – \ 1). (\ – \ 3) = 7 \ – \ 3n\)

Suy ra \(u_{10} = 7 \ – \ 3. 10 = \ – \ 23\).

\(\)

Bài \(5\). Cho cấp số cộng \((u_n)\) với \(u_1 = \displaystyle \frac{1}{3}\) và \(u_1 + u_2 + u_3 = \ – \ 1\).
\(a)\) Tìm công sai \(d\) và viết công thức của số hạng tổng quát \(u_n\).
\(b)\) Số \(\ – \ 67\) là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
\(c)\) Số \(7\) có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_1 + u_2 + u_3 = \ – \ 1\)

\(\Leftrightarrow u_1 + u_1 + d + u_1 + 2d = \ – \ 1\)

\(\Leftrightarrow 3u_1 + 3d = \ – \ 1\).

Mà \(u_1 = \displaystyle \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow d = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\)

Khi đó ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \((u_n)\) là:

\(u_n = \displaystyle \frac{1}{3} \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}. (n \ – \ 1) = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}n + 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\).

\(b)\) Xét \(u_n = \ – \ 67\)

\(\Rightarrow \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} n + 1 = \ – \ 67\)

\(\Rightarrow n = 102\)

Vậy số \(\ – \ 67\) là số hạng thứ \(102\) của cấp số cộng.

\(c)\) Xét \(u_n = 7\)

\(\Rightarrow \ – \ \displaystyle \frac{2}{3} n + 1 = 7\)

\(\Rightarrow n = \ – \ 9 \notin \mathbb{N^*}\)

Vậy số \(7\) không phải là số hạng của cấp số cộng đã cho.

\(\)

Bài \(6\). Tính tổng \(100\) số hạng đầu của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = 0,3n + 5\) với mọi \(n \geq 1\).

Trả lời:

Ta có: \(u_{n + 1} = 0,3 (n + 1) + 5 = 0,3n + 5,3\)

Xét \(u_{n + 1} \ – \ u_n = 0,3n + 5,3 \ – \ 0,3 n \ – \ 5 = 0,3\)

Do đó \((u_n)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \(u_1 = 5,3\) và công sai \(d = 0,3\)

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

\(u_n = 5,3 + (n \ – \ 1). 0,3 = 0,3n + 5\)

Suy ra \(u_{100} = 0,3. 100 + 5 = 35\)

Vậy tổng của \(100\) số hạng đầu của cấp số cộng là:

\(S_{100} = \displaystyle \frac{(5,3 + 35). 100}{2} = 2015\).

\(\)

Bài \(7\). Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ \(n\) tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức
\(x_n = 75 + 5(n \ – \ 1)\).
\(a)\) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm \(3\) tuổi là bao nhiêu centimét?
\(b)\) Dãy số \((x_n)\) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?

Trả lời:

\(a)\) Chiều cao năm \(3\) tuổi của đứa trẻ phát triển bình thường là:

\(x_3 = 75 + 5. ( 3 \ – \ 1) = 85\) (cm)

\(b)\) Ta có \(x_{n + 1} = 75 + 5(n \ – \ 1 + 1) \ – \ 75 \ – \ [5(n \ – \ 1)]\)

\(= 5\)

Vậy \((x_n)\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \(x_1 = 75\) và công sai \(d = 5\)

Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên \(5\) cm.

\(\)

Bài \(8\). Khi kí kết hợp đồng lao động với người nước ngoài, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau:
Phương án \(1\): Năm thứ nhất, tiền lương là \(120\) triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng \(18\) triệu.
Phương án \(2\): Quý thứ nhất, tiền lương là \(24\) triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng \(1,8\) triệu.
Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:
\(a)\) Kí hợp đồng lao động \(3\) năm?
\(b)\) Kí hợp đồng lao động \(10\) năm?

Trả lời:

Theo phương án \(1\):

Gọi \((u_n)\) là tiền lương của người lao động qua mỗi năm. Dãy số \((u_n)\) lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1 = 120\) và công sai \(d = 18\).

Khi đó ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \((u_n)\) là:

\(u_n = 120 + (n \ – \ 1). 18\) (triệu đồng)

Theo phương án \(2\):

Gọi \((v_n)\) là tiền lương của người lao động qua mỗi quý. Dãy số \((v_n)\) lập thành cấp số cộng có số hạng đầu \(v_1 = 24\) và công sai \(d = 1,8\).

Khi đó ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng \((v_n)\) là:

\(v_n = 24 + (n \ – \ 1). 1,8\) (triệu đồng)

\(a)\) Kí hợp đồng lao động \(3\) năm tương đương với \(12\) quý:

\(+)\) Theo phương án \(1\):

\(u_3 = 120 + (3 \ – \ 1). 18 = 156\) (triệu đồng)

Khi đó tổng số tiền lương người lao động nhận được sau \(3\) năm là:

\(S_3 = \displaystyle \frac{3. (120 + 156)}{2} = 414\) (triệu đồng)

\(+)\) Theo phương án \(2\):

\(v_{12} = 24 + (12 \ – \ 1). 1,8 = 43,8\)

Tổng số tiền lương người lao động nhận được sau \(3\) năm tương đương \(12\) quý là:

\(S_{12} = \displaystyle \frac{12. (24 + 43,8)}{2} = 406,8\) (triệu đồng)

Vậy khi được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên và kí hợp đồng lao động \(3\) năm thì nên chọn kí theo phương án \(1\).

\(b)\) Kí hợp đồng lao động \(10\) năm tương đương với \(40\) quý:

\(+)\) Theo phương án \(1\):

\(u_{10} = 120 + (10 \ – \ 1). 18 = 282\) (triệu đồng)

Khi đó tổng số tiền lương người lao động nhận được sau \(10\) năm là:

\(S_{10} = \displaystyle \frac{10. (120 + 282)}{2} = 2010\) (triệu đồng)

\(+)\) Theo phương án \(2\):

\(v_{40} = 24 + (40 \ – \ 1). 1,8 = 94,2\)

Tổng số tiền lương người lao động nhận được sau \(10\) năm tương đương \(12\) quý là:

\(S_{40} = \displaystyle \frac{40. (24 + 94,2)}{2} = 2364\) (triệu đồng)

Vậy khi được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên và kí hợp đồng lao động \(10\) năm thì nên chọn kí theo phương án \(2\).

Bài 2. Cấp số cộng Bài 2. Cấp số cộng Bài 2. Cấp số cộng Bài 2. Cấp số cộng Bài 2. Cấp số cộng

Xem bài giải trước: Bài 1 – Dãy số
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Cấp số nhân
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech