Bài 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Chương 8 – Bài 2. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác trang 70 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. a) Tam giác AFE và MNG ở Hình 14 có đồng dạng với nhau không? Vì sao?

b) Biết tam giác AFE có chu vi bằng 15 cm. Tính chu vi tam giác MNG.

Giải

a) Tam giác AFE và tam giác MNG có:

\(\displaystyle\frac{AF}{MN}=\displaystyle\frac{b}{3b}=\displaystyle\frac{1}{3};\) \(\displaystyle\frac{FE}{NG}=\displaystyle\frac{a}{3a}=\displaystyle\frac{1}{3};\) \(\displaystyle\frac{AE}{MG}=\displaystyle\frac{c}{3c}=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AF}{MN}=\displaystyle\frac{FE}{NG}=\displaystyle\frac{AE}{MG}.\)

Vậy ∆AFE ∽ ∆MNG.

b) Tam giác AFE đồng dạng với tam giác MNG theo tỉ số \(\displaystyle\frac{1}{3}\) nên tỉ số chu vi của hai tam giác đó cũng bằng \(\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Chu vi tam giác MNG là: \(15 . 3 = 45\) (cm).

\(\)

2. Tam giác ABC có độ dài AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 9 cm. Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC và có chu vi bằng 66,5 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác A’B’C’.

Giải

Chu vi tam giác ABC: \(AB + AC + BC = 4 + 6 + 9 = 19.\)

Tỉ số chu vi của hai tam giác ABC và A’B’C’ là: \(k = \displaystyle\frac{19}{66,5}=\displaystyle\frac{2}{7}.\)

Vì ∆ABC ∽ ∆A’B’C’ nên \(\displaystyle\frac{AB}{A’B’}=\displaystyle\frac{AC}{A’C’}=\displaystyle\frac{BC}{B’C’}=\displaystyle\frac{2}{7}.\)

Vậy \(A’B’ = 14,\) \(A’C’ = 21, B’C’ = \displaystyle\frac{63}{2}.\)

\(\)

3. Một công viên có hai đường chạy bộ hình tam giác đồng dạng như Hình 15. Kích thước của con đường bên trong lần lượt là 300 m, 350 m và 550 m. Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là 660 m. Nam chạy bốn vòng trên con đường bên trong, Hùng chạy hai vòng trên con đường bên ngoài. So sánh quãng đường chạy được của hai bạn.

Giải

Cạnh ngắn nhất của con đường bên ngoài là \(600\) m tương ứng với cạnh ngắn nhất của con đường bên trong là \(300\) m.

Do đó, con đường bên trong đồng dạng với con đường bên ngoài theo tỉ số \(k=\displaystyle\frac{300}{600}=\displaystyle\frac{1}{2}\) nên tỉ số độ dài \(2\) con đường cũng bằng \(\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Độ dài con đường bên trong là: \(300 + 350 + 550 = 1200\) (m)

Độ dài con đường bên ngoài: \(2 . 1200 = 2400\) (m).

Độ dài quãng đường Nam chạy: \(4 . 1200 = 4800\) (m).

Độ dài quãng đường Hùng chạy: \(2 . 2400 = 4800\) (m).

Vậy quãng đường chạy được của hai bạn bằng nhau.

\(\)

4. Xét xem cặp tam giác nào trong các Hình 16a, 16b đồng dạng?

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{DE}{AB}=\displaystyle\frac{6}{12}=\displaystyle\frac{1}{2};\) \(\displaystyle\frac{DF}{AC}=\displaystyle\frac{9}{18}=\displaystyle\frac{1}{2}.\)

Tam giác DEF và tam giác ABC có:

\(\displaystyle\frac{DE}{AB}=\displaystyle\frac{DF}{AC}\) (chứng minh trên),

\(\widehat{D}=\widehat{A}=120^o\).

Vậy ∆DEF ∽ ∆ABC (c.g.c).

b) Ta có: \(\displaystyle\frac{CE}{NP} = \displaystyle\frac{4}{8} = \displaystyle\frac{1}{2};\) \(\displaystyle\frac{DE}{MP} = \displaystyle\frac{5}{10} = \displaystyle\frac{1}{2}.\)

Góc tạo bởi cạnh MP và NP là \(\widehat P\) và góc tạo bởi cạnh DE và CE là \(\widehat E.\)

Ta thấy hai góc này không bằng nhau nên chúng không đồng dạng.

\(\)

5. Trong Hình 17, cho biết DE = 6 cm, EF= 7,8 cm, NP = 13 cm, NM = 10 cm, \(\widehat{E}=\widehat{N}\) và \(\widehat{P}=42^o.\) Tính \(\widehat{F}.\)

Giải

Ta có: \(\displaystyle\frac{DE}{MN}=\displaystyle\frac{6}{10}=\displaystyle\frac{3}{5};\) \(\displaystyle\frac{EF}{NP}=\displaystyle\frac{7,8}{13}=\displaystyle\frac{3}{5}.\)

Tam giác DEF và tam giác MNP có:

\(\displaystyle\frac{DE}{MN}=\displaystyle\frac{EF}{NP}\) (chứng minh trên),

\(\widehat{E}=\widehat{N}\) (giả thiết).

Vậy ∆DEF ∽ ∆MNP (c.g.c).

Suy ra \(\widehat{E}=\widehat{P}=42^o.\)

\(\)

6. a) Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Trên cạnh AB, lấy điểm E sao cho AE = 10 cm. Trên cạnh AC, lấy điểm F sao cho AF = 8 cm (Hình 18a). Tính độ dài đoạn thẳng EF.

b) Trong Hình 18b, cho biết FD = FC, BC = 9 dm, DE = 12 dm, AC = 15 dm, MD = 20 dm. Chứng minh rằng ∆ABC ∽ ∆MED.

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{AB}{AF}=\displaystyle\frac{12}{8}=\displaystyle\frac{3}{2};\) \(\displaystyle\frac{AC}{AE}=\displaystyle\frac{15}{10}=\displaystyle\frac{3}{2}.\)

Tam giác ABC và tam giác AFE có:

\(\displaystyle\frac{AB}{AF}=\displaystyle\frac{AC}{AE}\) (chứng minh trên),

\(\widehat{A}\) là góc chung.

Do đó ∆ABC ∽ ∆AFE (c.g.c).

Suy ra \(\displaystyle\frac{CB}{EF}=\displaystyle\frac{3}{2}\) hay \(\displaystyle\frac{18}{EF}=\displaystyle\frac{3}{2}\)

Vậy \(EF=\displaystyle\frac{18.2}{3}=12.\)

b) Ta có: \(\displaystyle\frac{AC}{MD} = \displaystyle\frac{15}{20} = \displaystyle\frac{3}{4};\) \(\displaystyle\frac{BC}{DE} = \displaystyle\frac{9}{12} = \displaystyle\frac{3}{4}.\)

Tam giác ABC và tam giác MED ta có:

\(\displaystyle\frac{AC}{MD} = \displaystyle\frac{BC}{DE}\) (chứng minh trên);

\(\widehat{C} = \widehat{D}\) (∆FDC cân tại F).

Vậy ∆ABC ∽ ∆MED (c.g.c).

\(\)

7. Trong Hình 19, cho biết MN // BC, MB // AC.

a) Chứng minh ∆BNM ∽ ∆ABC.

b) Tính \(\widehat{C}.\)

Giải

Tam giác BNM và tam giác ABC có:

MN // BC nên \(\widehat{MNB} = \widehat{ABC}\) (so le trong);

MB // AC nên \(\widehat{MBN} = \widehat{BAC}\) (so le trong).

Do đó ∆BNM ∽ ∆ABC (g.g).

b) Vì ∆BNM ∽ ∆ABC nên \(\widehat M = \widehat C = 48^o\) (hai góc tương ứng).

\(\)

8. a) Trong Hình 20a, cho biết \(\widehat{N}=\widehat{E},\) \(\widehat{M}=\widehat{D},\) MP = 18 m, DF = 24 m, EF = 32 m, NP = a + 3 (m). Tìm a.

b) Cho ABCD là hình thang (AB // CD) (Hình 20b).

Chứng minh rằng ∆AMB ∽ ∆CMD. Tìm x, y.

Giải

a) Tam giác MNP và tam giác DEF có:

\(\widehat M = \widehat D\) (giả thiết);

\(\widehat N = \widehat E\) (giả thiết).

Do đó ∆MNP ∽ ∆DEF (g.g).

Suy ra \(\displaystyle\frac{MP}{DF} = \displaystyle\frac{NP}{EF}\) \(\Rightarrow \displaystyle\frac{18}{24} = \displaystyle\frac{a+3}{32}\)

\(\Rightarrow a +3= \displaystyle\frac{18.32}{24} = 24\)

\(\Rightarrow a = 24-3 = 21.\)

b) Vì ABCD là hình thang nên AB // CD.

Vì AB // CD nên \(\widehat{ABM} = \widehat{MDC};\) \(\widehat{BAM} = \widehat{MCD}\) (cặp góc so le trong).

Tam giác AMB và tam giác CMD có:

\(\widehat{ABM} = \widehat{MDC}\) (chứng minh trên)

\(\widehat{BAM} = \widehat{MCD}\) (chứng minh trên)

Do đó ∆AMB ∽ ∆CMD (g.g).

Ta có: \(\displaystyle\frac{AM}{CM} = \displaystyle\frac{BM}{DM} = \displaystyle\frac{AB}{CD}\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{6}{15} = \displaystyle\frac{y}{10} = \displaystyle\frac{8}{x}.\)

Vậy \(y = \displaystyle\frac{10.6}{15} = 4;\) \(x = \displaystyle\frac{8.15}{6} = 20.\)

\(\)

9. a) Trong Hình 21a, cho biết \(\widehat{HOP}=\widehat{HPE},\) \(\widehat{HPO}=\widehat{HEP},\) OH = 6 cm và HE = 4 cm. Tính độ dài đoạn thẳng HP.

b) Trong Hình 21b, cho biết \(\widehat{AME}=\widehat{AFM}.\) Chứng minh rằng \(AM^{2}=AE.AF.\)

Giải

a) Tam giác OPH và tam giác PEH có:

\(\widehat{HOP} = \widehat{HPE}\) (giả thiết);

\(\widehat{OPH} = \widehat{PEH}\) (giả thiết).

Do đó ∆OPH ∽ ∆PEH (g.g).

Suy ra \(\displaystyle\frac{PH}{EH} = \displaystyle\frac{OH}{PH} \Rightarrow PH^2 = OH.EH\)

\(\Rightarrow PH^2 = 4.6= 24 \Rightarrow PH = \sqrt {24} = 2\sqrt 6.\)

b) Tam giác AME và tam giác AFM có:

\(\widehat{AME} = \widehat{AFM}\) (giả thiết);

\(\widehat A\) là góc chung.

Do đó ∆AME ∽ ∆AFM (g.g).

Suy ra \(\displaystyle\frac{AM}{AF} = \displaystyle\frac{AE}{AM}.\)

Vậy \(AM^2 = AF.AE\).

\(\)

10. Đường đi và khoảng cách từ nhà anh Thanh (điểm M) đến công ty (điểm N) được thể hiện trong Hình 22. Hãy tìm con đường ngắn nhất để đi từ nhà của anh Thanh đến công ty.