Bài 2. Các phép biến đổi lượng giác

Bài \(2\). Các phép biến đổi lượng giác trang \(16\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Cho \(\cos{a} = \displaystyle \frac{3}{5}\) với \(0 < a < \displaystyle \frac{\pi}{2}\).
Tính \(\sin{\left(a + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}; \cos{\left(a \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\); \(\tan{\left(a + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\).

Trả lời:

Do \(0 < a < \displaystyle \frac{\pi}{2}\) nên \(\sin{a} > 0\).

Ta có: \(\sin^{a} + \cos^2{a} = 1\)

\(\Rightarrow \sin{a} = \sqrt{1 \ – \ \cos^2{a}} = \sqrt{1 \ – \ \left(\displaystyle \frac{3}{5}\right)^2} \)

\(= \sqrt{\displaystyle \frac{16}{25}} = \displaystyle \frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow \tan{a} = \displaystyle \frac{\sin{a}}{\cos{a}} = \displaystyle \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} = \displaystyle \frac{4}{3}\)

Áp dụng công thức cộng ta có:

\(\sin{\left(a + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} = \sin{a} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} + \cos{a} \sin{\displaystyle \frac{\pi}{6}}\)

\(= \displaystyle \frac{4}{5}. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{3}{5}. \displaystyle \frac{1}{2} = \displaystyle \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}\)

\(\cos{\left(a \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} = \cos{a} \cos{\displaystyle \frac{\pi}{3}} + \sin{a} \sin{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\)

\(= \displaystyle \frac{3}{5}. \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{4}{5}. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} = \displaystyle \frac{3 + 4\sqrt{3}}{10}\)

\(\tan{\left(a + \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\tan{a} + \tan{\frac{\pi}{4}}}{1 \ – \ \tan{a} \tan{\frac{\pi}{4}}}\)

\(= \displaystyle \frac{\frac{4}{3} + 1}{1 \ – \ \frac{4}{3}. 1} = \ – \ 7\).

\(\)

Bài \(2\). Tính:
\(A = \sin{(a \ – \ 17^o)} \cos{(a + 13^o)} \ – \ \sin{(a + 13^o)} \cos{(a \ – \ 17^o)}\);
\(B = \cos{\left(b + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{6} \ – \ b\right)} \ – \ \sin{\left(b + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{6} \ – \ b\right)}\).

Trả lời:

Ta có:

\(A = \sin{(a \ – \ 17^o)} \cos{(a + 13^o)} \ – \ \sin{(a + 13^o)} \cos{(a \ – \ 17^o)}\)

\(= \sin{[(a \ – \ 17^o) \ – \ (a + 13^o)]}\)

\(= \sin{(\ – \ 30^o)} = \ – \ \sin30^o = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(B = \cos{\left(b + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{6} \ – \ b\right)} \ – \ \sin{\left(b + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{6} \ – \ b\right)}\)

\(= \cos{\left[\left(b + \frac{\pi}{3}\right) + \left(\frac{\pi}{6} \ – \ b\right)\right]}\)

\(= \cos{\displaystyle \frac{\pi}{2}} = 0\)

\(\)

Bài \(3\). Cho \(tan{(a + b)} = 3, \tan{(a \ – \ b)} = 2\). Tính \(\tan{2a}, \tan{2b}\).

Trả lời:

Ta có: \(\tan{2a} = \tan{[(a + b) + (a \ – \ b)]}\)

\(= \displaystyle \frac{\tan{(a + b)} + tan{(a \ – \ b)}}{1 \ – \ \tan{(a + b)} tan{(a \ – \ b)}}\)

\(= \displaystyle \frac{3 + 2}{1 \ – \ 3. 2} = \displaystyle \frac{5}{\ – \ 5} = \ – \ 1\)

\(\tan{2b} = \tan{[(a + b) \ – \ (a \ – \ b)]}\)

\(= \displaystyle \frac{\tan{(a + b)} \ – \ \tan{(a \ – \ b)}}{1 + \tan{(a + b)} \tan{(a \ – \ b)}}\)

\(= \displaystyle \frac{3 \ – \ 2}{1 + 3. 2} = \displaystyle \frac{1}{7}\)

\(\)

Bài \(4\). Cho \(\sin{a} = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\). Tính: \(\cos{2a}, \cos{4a}\).

Trả lời:

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

\(\cos{2a} = 1 \ – \ 2\sin^2{a} = 1 \ – \ 2. \left(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2\)

\(= 1 \ – \ 2. \displaystyle \frac{4}{5} = \ – \ \displaystyle \frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow \cos{4a} = 2 \cos^2{2a} \ – \ 1 = 2. \left(\ – \ \displaystyle \frac{3}{5}\right)^2 \ – \ 1\)

\(= 2. \displaystyle \frac{9}{25} \ – \ 1 = \ – \ \displaystyle \frac{7}{25}\)

\(\)

Bài \(5\). Cho \(\sin{a} + \cos{a} = 1\). Tính \(\sin{2a}\).

Trả lời:

Ta có: \(\sin{a} + \cos{a} = 1\)

\(\Rightarrow (\sin{a} + \cos{a})^2 = 1^2\)

\(\Rightarrow \sin^{a} + \cos^2{a} + 2 \sin{a} \cos{a} = 1\)

\(\Rightarrow \sin{2a} + 1 = 1\)

\(\Rightarrow \sin{2a} = 1\)

Vậy với \(\sin{a} + \cos{a} = 1\) thì \(\sin{2a} = 0\)

\(\)

Bài \(6\). Cho \(\cos{2a} = \displaystyle \frac{1}{3}\), với \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Tính: \(\sin{a}, \cos{a}, \tan{a}\).

Trả lời:

Do \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\cos{\alpha} < 0, \sin{\alpha} > 0\)

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

\(\sin^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1 \ – \ \cos{2\alpha}}{2} = \displaystyle \frac{1 \ – \ \frac{1}{3}}{2} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \sin{\alpha} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\) (Do \(\sin{\alpha} > 0\))

\(\Rightarrow \cos^2{\alpha} = 1 \ – \ \sin^2{\alpha} = 1 \ – \ \displaystyle \frac{1}{3} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}\) (Do \(\cos{\alpha} < 0\))

Suy ra: \(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\ – \ \sqrt{6}}{3}} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Vậy \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}, \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}; \tan{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\)

Bài \(7\). Cho \(\cos{2x} = \displaystyle \frac{1}{4}\). Tính: \(A = \cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} \cos{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\); \(B = \sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} \cos{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\).

Trả lời:

Ta có:

\(A = \cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} \cos{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2}. \left[\cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{6} + x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} + \cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{6} \ – \ x + \displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}\right]\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2}. \left(\cos{2x} + \cos{\displaystyle \frac{\pi}{3}}\right)\)

\(= \displaystyle \frac{1}{2} \left(\displaystyle \frac{1}{4} + \displaystyle \frac{1}{2}\right)\)

\(= \displaystyle \frac{3}{8}\).

\(B = \sin{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} \cos{\left(x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{2} \left[\cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{3} + x \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} \ – \ \cos{\left(x + \displaystyle \frac{\pi}{3} \ – \ x + \displaystyle \frac{\pi}{3}\right)}\right]\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. \left(\cos{2x} \ – \ \cos{\displaystyle \frac{2\pi}{3}}\right)\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. \left(\displaystyle \frac{1}{4} \ – \ \left(\ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\right)\right)\)

\(= \ – \ \displaystyle \frac{3}{8}\)

\(\)

Bài \(8\). Rút gọn biểu thức: \(A = \displaystyle \frac{\sin{x} + \sin{2x} + \sin{3x}}{\cos{x} + \cos{2x} + \cos{3x}}\).

Trả lời:

Ta có: \(A = \displaystyle \frac{\sin{x} + \sin{2x} + \sin{3x}}{\cos{x} + \cos{2x} + \cos{3x}}\)

\(= \displaystyle \frac{(\sin{3x} + \sin{x}) + \sin{2x}}{(\cos{3x} + \cos{x}) + \cos{2x}}\)

\(= \displaystyle \frac{2 \sin{\frac{3x + x}{2}} \cos{\frac{3x \ – \ x}{2}} + \sin{2x}}{2 \cos{\frac{3x + x}{2}} \cos{\frac{3x \ – \ x}{2}} + \cos{2x}}\)

\(= \displaystyle \frac{2\sin{2x}\cos{x} + \sin{2x}}{2\cos{2x} \cos{x} + \cos{2x}}\)

\(= \displaystyle \frac{\sin{2x} (2 \cos{x} + 1)}{\cos{2x} (2\cos{x} + 1)}\)

\(= \displaystyle \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}\)

\(= \tan{2x}\)

\(\)

Bài \(9\). Một sợi cáp \(R\) được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất \(14 m\). Một sợi cáp \(S\) khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất \(12 m\). Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột \(15 m\). (Hình \(18\)).

\(a)\) Tính \(\tan{\alpha}\), ở đó \(\alpha\) là góc giữa hai sợi cáp trên.
\(b)\) Tìm góc \(\alpha\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Trả lời:

Xét tam giác \(AOH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\tan{\widehat{AOH}} = \tan{\beta} = \displaystyle \frac{AH}{OH} = \displaystyle \frac{14}{15}\)

Đặt \(\widehat{BOH} = \gamma\)

\(\Rightarrow \tan{\gamma} = \displaystyle \frac{BH}{OH} = \displaystyle \frac{12}{15} = \displaystyle \frac{4}{5}\)

Ta có: \(\tan{\alpha} = \tan{(\beta \ – \ \gamma)}\)

\(= \displaystyle \frac{\tan{\beta} \ – \ \tan{\gamma}}{1 + \tan{\beta} \tan{\gamma}}\)

\(= \displaystyle \frac{\frac{14}{15} \ – \ \frac{4}{5}}{1 + \frac{14}{15}. \frac{4}{5}} = \displaystyle \frac{\frac{2}{15}}{\frac{131}{75}} = \displaystyle \frac{10}{131}\)

Vậy \(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{10}{131}\)

\(b)\) Có \(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{10}{131}\)

\(\Rightarrow \alpha \approx 4^o\)

\(\)

Bài \(10\). Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là \(HK = 20 m\). Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí \(C\). Gọi \(A, B\) lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình \(19\)). Tính số đo góc \(ACB\) (phạm vị camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là \(CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m\) (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).