Bài \(2\). Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất trang \(94\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Một hộp chứa \(5\) quả bóng xanh, \(6\) quả bóng đỏ và \(2\) quả bóng vàng có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ra ngẫu nhiên từ hộp \(3\) quả bóng. Tính xác suất của các biến cố:
\(a)\) “Cả \(3\) quả bóng lấy ra đều có cùng màu”;
\(b)\) “Có ít nhất \(2\) quả bóng xanh trong \(3\) quả lấy ra”.
Trả lời:
Chọn ngẫu nhiên \(3\) quả bóng từ hộp có \(13\) quả bóng ta có \(C_{13}^3 = 286\) (cách)
\(n(\Omega) = 286\)
\(a)\) Gọi \(A\) là biến cố “\(3\) quả bóng lấy ra đều có cùng màu xanh”
\(B\) là biến cố “\(3\) quả bóng lấy ra đều có cùng màu đỏ”
\(C\) là biến cố “\(3\) quả bóng lấy ra đều có cùng màu vàng”.
Vậy \(A \cup B \cup C\) là biến cố “Cả \(3\) quả bóng lấy ra đều có cùng màu”.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp \(3\) quả bóng trong tổng số \(5\) quả bóng xanh, ta có \(C_5^3 = 10\) cách
\(\Rightarrow n(A) = 10 \Rightarrow P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{10}{286} = \displaystyle \frac{5}{143}\)
Chọn ngẫu nhiên từ hộp \(3\) quả bóng trong tổng số \(6\) quả bóng đỏ, ta có \(C_6^3 = 20\) cách
\(\Rightarrow n(B) = 20 \Rightarrow P(B) = \displaystyle \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{20}{296} = \displaystyle \frac{10}{143}\)
Chọn ngẫu nhiên từ hộp \(3\) quả bóng trong tổng số \(2\) quả bóng vàng, ta có \(0\) cách.
\(\Rightarrow n(C) = 0 \Rightarrow P(C) = 0\)
Suy ra \(P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) = \displaystyle \frac{5}{143} + \displaystyle \frac{10}{143} = \displaystyle \frac{15}{143}\)
\(d)\) Gọi \(D\) là biến cố “Có đúng \(2\) quả bóng xanh trong \(3\) quả bóng lấy ra”.
Vậy \(A \cup D\) là biến cố “Có ít nhất \(2\) quả bóng xanh trong \(3\) quả bóng lấy ra.
Để chọn được đúng \(2\) quả bóng xanh trong \(3\) quả bóng lấy ra ta thực hiện hai giai đoạn liên tiếp:
Chọn ngẫu nhiên từ hộp \(2\) quả bóng xanh trong \(5\) quả bóng xanh, có \(C_5^2 = 10\) cách.
Chọn ngẫu nhiên từ hộp \(1\) quả bóng trong \(8\) quả bóng đỏ và vàng, ta có \(C_8^1 = 8\) cách.
Suy ra số cách để chọn được đúng \(2\) quả bóng xanh trong \(3\) quả bóng lấy ra là:
\(n(D) = 10. 8 = 80\) (cách)
\(\Rightarrow P(D) = \displaystyle \frac{80}{286} = \displaystyle \frac{40}{286}\)
\(\Rightarrow P(A \cup D) = P(A) + P(D) = \displaystyle \frac{5}{143} + \displaystyle \frac{40}{143} = \displaystyle \frac{45}{143}\)
\(\)
Bài \(2\). Trên đường đi từ Hà Nội về thăm đền Hùng ở Phú Thọ, Bình, Minh và \(5\) bạn khác ngồi vào \(7\) chiếc ghế trên một xe ôtô \(7\) chỗ. Khi xe quay lại Hà Nội, mỗi bạn lại chọn ngồi ngẫu nhiên một ghế. Tính xác suất của biến cố “Có ít nhất một trong hai bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình”.
Trả lời:
Mỗi cách sắp xếp \(7\) bạn vào \(7\) chiếc ghế khác nhau là một hoán vị của \(7\) phần tử.
Số cách sắp xếp là \(7 ! = 5040\) cách
\(\Rightarrow n(\Omega) = 5040\)
Gọi \(A\) là biến cố “Bình vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình”, \(B\) là biến cố “Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình”.
Khi đó \(AB\) là biến cố “Cả Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình”; \(A \cup B\) là biến cố “Có ít nhất một trong hai bạn Bình và Minh vẫn ngồi đúng ghế cũ của mình”.
Có đúng \(1\) cách để xếp bạn Bình ngồi vào đúng ghế cũ của mình.
Số cách xếp chỗ cho \(6\) bạn còn lại là \(6 ! = 720\) cách.
\(\Rightarrow n(A) = 1. 720 = 720\) cách
\(\Rightarrow P(A) = \displaystyle \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{720}{5040} = \displaystyle \frac{1}{7}\)
Có đúng \(1\) cách để xếp bạn Minh ngồi vào đúng ghế cũ của mình.
Số cách xếp chỗ cho \(6\) bạn còn lại là \(6 ! = 720\) cách.
\(\Rightarrow n(B) = 1. 720 = 720\) cách
\(\Rightarrow P(B) = \displaystyle \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{720}{5040} = \displaystyle \frac{1}{7}\)
Có đúng \(1\) cách xếp cả Bình và Minh ngồi vào đúng ghế cũ của mình.
Số cách xếp chỗ cho \(5\) bạn còn lại là \(5 ! = 120\) cách
\(\Rightarrow n(AB) = 1. 120 = 120\) (cách)
\(\Rightarrow P(AB) = \displaystyle \frac{n(AB)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{120}{5040} = \displaystyle \frac{1}{12}\)
\(\Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) \ – \ P(AB) = \displaystyle \frac{1}{7} + \displaystyle \frac{1}{7} \ – \ \displaystyle \frac{1}{42} = \displaystyle \frac{11}{42}\)
\(\)
Bài \(3\). Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau.
\(a)\) Biết \(P(A) = 0,3\) và \(P(AB) = 0,2\). Tính xác suất của biến cố \(A \cup B\).
\(b)\) Biết \(P(B) = 0,5\) và \(P(A \cup B) = 0,7\). Tính xác suất của biến cố \(A\).
Trả lời:
\(a)\) \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
\(\Rightarrow P(AB) = P(A) P(B)\) \(\Rightarrow P(B) = \displaystyle \frac{P(AB)}{P(A)} = \displaystyle \frac{0,2}{0,3} = \displaystyle \frac{2}{3}\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \ – \ P(AB) = 0,3 + \displaystyle \frac{2}{3} \ – \ 0,2 = \displaystyle \frac{23}{30}\)
\(b)\) Có \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \(P(AB) = P(A) P(B) = 0,5. P(A)\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \ – \ P(AB) = P(A) + 0,5 \ – \ 0,5 P(A)\)
\(= 0,5 P(A) + 0,5 = 0,7\)
\(\Rightarrow P(A) = 0,4\)
\(\)
Bài \(4\). Lan gieo một đồng xu không cân đối \(3\) lần độc lập với nhau. Biết xác suất xuất hiện mặt sấp trong mỗi lần gieo đều bằng \(0,4\). Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố “Có đúng \(1\) lần gieo được mặt sấp trong \(3\) lần gieo”.
Trả lời:
Do ba lần gieo là độc lập nên ta có sơ đồ hình cây sau:
Nhìn vào sơ đồ ta thấy:
Xác suất của biến cố: “Có đúng một lần gieo được mặt sấp trong ba lần gieo” là:
\(0,144 + 0,144 + 0,144 = 0,432\)
\(\)
Bài \(5\). Một hộp chứa \(50\) tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ \(1\) đến \(50\). Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời \(2\) thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:
\(a)\) \(A\): “Tổng các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra là số chẵn”;
\(b)\) \(B\): “Tích các số ghi trên \(2\) thẻ lấy ra chia hết cho \(4\)”.
Trả lời:
Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(2\) thẻ từ hộp chứa \(50\) tấm thẻ, có \(C_{50}^2 = 1225\) cách.
\(a)\) Gọi \(C\) là biến cố “\(2\) thẻ lấy ra đánh số chẵn”, \(D\) là biến cố “\(2\) thẻ lấy ra đánh số lẻ”.
\(\Rightarrow A = C \cup D\)
Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(2\) thẻ trong số \(25\) thẻ đánh số chẵn, có \(C_{25}^2 = 300\) cách.
\(\Rightarrow n(C) = 300 \Rightarrow P(C) = \displaystyle \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{300}{1225} = \displaystyle \frac{12}{49}\)
Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(2\) thẻ trong số \(25\) thẻ đánh số lẻ, có \(C_{25}^2 = 300\) cách.
\(\Rightarrow n(D) = 300 \Rightarrow P(D) = \displaystyle \frac{n(D)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{300}{1225} = \displaystyle \frac{12}{49}\)
Do \(C\) và \(D\) là hai biến cố xung khắc nên \(P(A) = P(C) + P(D) = \displaystyle \frac{12}{49} + \displaystyle \frac{12}{49} = \displaystyle \frac{24}{49}\)
\(b)\) Gọi \(E\) là biến cố “Một thẻ đánh số chia hết cho \(4\), một thẻ là số lẻ”.
\(\Rightarrow B = C \cup E\)
Lấy ngẫu nhiên một thẻ trong tổng số \(12\) thẻ đánh số chia hết cho \(4\) có \(C_{12}^1 = 12\) cách.
Lẫy ngẫu nhiên một thẻ trong tổng số \(25\) thẻ đánh số lẻ, có \(C_{25}^1 = 25\) cách.
\(\Rightarrow n(E) = 12. 25 = 300\)
\(\Rightarrow P(E) = \displaystyle \frac{n(E)}{n(\Omega)} = \displaystyle \frac{300}{1225} = \displaystyle \frac{12}{49}\)
Vì \(C\) và \(E\) là hai biến cố xung khắc nên \(P(B) = P(C) + P(E) = \displaystyle \frac{12}{49} + \displaystyle \frac{12}{49} = \displaystyle \frac{24}{49}\)
Bài 2. Biến cố hợp và Bài 2. Biến cố hợp và Bài 2. Biến cố hợp và Bài 2. Biến c ố hợp và
Xem bài giải trước: Bài 1 – Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương IX
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Chân trời sáng tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.