Bài \(18\). Luỹ thừa với số mũ thực trang \(4\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(6.1\). Tính:
\(a)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{5}\right)^{\ – \ 2}\);
\(b)\) \((4)^{\frac{3}{2}}\);
\(c)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{8}\right)^{\ – \ \frac{2}{3}}\);
\(d)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{16}\right)^{\ – \ 0,75}\).
Trả lời:
\(a)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{5}\right)^{\ – \ 2} = \displaystyle \frac{1}{(\frac{1}{5})^2} = \displaystyle \frac{1}{\frac{1}{25}} = 25\)
\(b)\) \((4)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 8\)
\(c)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{8}\right)^{\ – \ \frac{2}{3}} = \left(\displaystyle \frac{1}{2^3}\right)^{\ – \ \frac{2}{3}} = (2^{\ – \ 3})^{\ – \ \frac{2}{3}} = 2^2 = 4\)
\(d)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{16}\right)^{\ – \ 0,75} = \left(\displaystyle \frac{1}{4^2}\right)^{\ – \ \frac{3}{4}} = (4^{\ – \ 2})^{\ – \ \frac{3}{4}} = 4^{\frac{3}{2}} = \sqrt{4^3} = \sqrt{64} = 6\)
\(\)
Bài \(6.2\). Thực hiện phép tính:
\(a)\) \(27^{\frac{2}{3}} + 81^{\ – \ 0,75} \ – \ 25^{0,5}\);
\(b)\) \(4^{2 \ – \ 3\sqrt{7}}. 8^{2\sqrt{7}}\).
Trả lời:
\(a)\) \(27^{\frac{2}{3}} + 81^{\ – \ 0,75} \ – \ 25^{0,5}\)
\(= (3^3)^{\frac{2}{3}} + (3^4)^{\ – \ \frac{3}{4}} \ – \ (5^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(= 3^2 + 3^{\ – \ 3} \ – \ 5 = 9 + \displaystyle \frac{1}{27} \ – \ 5 = \displaystyle \frac{109}{27}\)
\(b)\) \(4^{2 \ – \ 3\sqrt{7}}. 8^{2\sqrt{7}}\)
\(= 2^{2. (2 \ – \ 3\sqrt{7})} . 2^{3. 2\sqrt{7}} = 2^{4 \ – \ 6\sqrt{7}}. 2^{6\sqrt{7}}\)
\(= 2^4 = 16\).
\(\)
Bài \(6.3\). Rút gọn các biểu thức sau:
\(a)\) \(A = \displaystyle \frac{x^5y^{\ – \ 2}}{x^3y} (x, y \neq 0)\);
\(b)\) \(B = \displaystyle \frac{x^2y^{\ – \ 3}}{(x^{\ – \ 1}y^4)^{\ – \ 3}} (x, y \neq 0)\).
Trả lời:
\(a)\) \(A = \displaystyle \frac{x^5y^{\ – \ 2}}{x^3y}\)
\(= \displaystyle \frac{x^5}{x^3}. \displaystyle \frac{y^{\ – \ 2}}{y} = x^2y^{\ – \ 3}\).
\(b)\) \(B = \displaystyle \frac{x^2y^{\ – \ 3}}{(x^{\ – \ 1}y^4)^{\ – \ 3}}\)
\(= \displaystyle \frac{x^2y^{\ – \ 3}}{x^3. y^{\ – \ 12}} = \displaystyle \frac{x^2}{x^3}. \displaystyle \frac{y^{\ – \ 3}}{y^{\ – \ 12}}\)
\(= \displaystyle \frac{y^9}{x}\)
\(\)
Bài \(6.4\). Cho \(x, y\) là các số thực dương. Rút gọn các biểu thực sau:
\(a)\) \(A = \displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt{6}x + \sqrt{6} y}\);
\(b)\) \(B = \left(\displaystyle \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3} \ – \ 1}}\right)^{\sqrt{3} + 1}. \displaystyle \frac{x^{\ – \ \sqrt{3} \ – \ 1}}{y^{\ – \ 2}}\).
Trả lời:
\(a)\) \(A = \displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}} \sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}} \sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}\)
\(= \displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}. y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{3}}. x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}}\)
\(= \displaystyle \frac{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}. (y^{\frac{1}{6}} + x^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{6}}}\)
\(= (xy)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{xy}\)
\(b)\) \(B = \left(\displaystyle \frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3} \ – \ 1}}\right)^{\sqrt{3} + 1}. \displaystyle \frac{x^{\ – \ \sqrt{3} \ – \ 1}}{y^{\ – \ 2}}\)
\(= \displaystyle \frac{x^{\sqrt{3}. (\sqrt{3} + 1)}}{y^{(\sqrt{3} \ – \ 1). (\sqrt{3} + 1)}}. \displaystyle \frac{x^{\ – \ (\sqrt{3} + 1)}}{y^{\ – \ 2}}\)
\(= \displaystyle \frac{x^{3 + \sqrt{3}}}{y^2}. \displaystyle \frac{y^2}{x^{\sqrt{3} + 1}}\)
\(= \displaystyle \frac{x^{3 + \sqrt{3}}}{x^{\sqrt{3} + 1}} = x^2\)
\(\)
Bài \(6.5\). Chứng minh rằng:
\(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \ – \ \sqrt{4 \ – \ 2\sqrt{3}} = 2\).
Trả lời:
Ta có: \(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} \ – \ \sqrt{4 \ – \ 2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{3}^2 + 2 \sqrt{3} + 1} \ – \ \sqrt{\sqrt{3}^2 \ – \ 2\sqrt{3} + 1}\)
\(= \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} \ – \ \sqrt{(\sqrt{3} \ – \ 1)^2}\)
\(= (\sqrt{3} + 1 \ – \ (\sqrt{3} \ – \ 1) = 1 + 1 = 2\) (đpcm)
\(\)
Bài \(6.6\). Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh:
\(a)\) \(5^{6\sqrt{3}}\) và \(5^{3\sqrt{6}}\);
\(b)\) \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\ – \ \frac{4}{3}}\) và \(\sqrt{2}. 2^{\frac{2}{3}}\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(6\sqrt{3} = 2. 3\sqrt{3}\)
\(3\sqrt{6} = \sqrt{2}. 3. \sqrt{3}\)
Ta thấy \(2 > \sqrt{2} \Rightarrow 6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}\)
Suy ra \(5^{6\sqrt{3}} > 5 ^{3\sqrt{6}}\)
\(b)\) Ta có: \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\ – \ \frac{4}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}\)
\(\sqrt{2}. 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2}}. 2^{\frac{4}{3}} = 2^{\frac{7}{6}}\)
Mà \(\displaystyle \frac{4}{3} = \displaystyle \frac{8}{6} > \displaystyle \frac{7}{6}\)
Suy ra \(2^{\frac{4}{3}} > 2^{\frac{7}{6}}\)
Vậy \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\ – \ \frac{4}{3}} > \sqrt{2}. 2^{\frac{2}{3}}\)
\(\)
Bài \(6.7\). Nếu một khoản tiền gốc \(P\) được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm \(r\) (\(r\) được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi \(n\) lần trong một năm, thì tổng số tiền \(A\) nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau \(N\) kì gửi cho bởi công thức sau:
\(A = P.\left(1 + \displaystyle \frac{r}{n}\right)^N\).
Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền \(120\) triệu đồng theo kì hạn \(6\) tháng với lãi suất không đổi là \(5 \%\) một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau \(2\) năm là bao nhiêu?
Trả lời:
Bác An gửi tiết kiệm theo kì hạn \(6\) tháng nên sẽ tính lãi \(2\) lần trong \(1\) năm và sau \(2\) năm tương ứng với \(4\) kì.
Vậy số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) bác An thu được sau \(2\) năm là:
\(A = 120. \left(1 + \displaystyle \frac{5\%}{2}\right)^4 = 132,457647\) triệu đồng.
\(\)
Bài \(6.8\). Năm \(2021\), dân số của một quốc gia ở châu Á là \(19\) triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau \(30\) năm nữa. Khi đó dân số \(A\) (triệu người) của quốc gia đó sau \(t\) năm kể từ năm \(2021\) được ước tính bằng công thức \(A = 19. 2^{\frac{t}{30}}\). Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau \(20\) năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).
Trả lời:
Sau \(20\) năm nữa, dân số của quốc gia này sẽ là:
\(A = 19. 2^{\frac{20}{30}} = 30,16062\) (triệu người)
Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương V
Xem bài giải tiếp theo: Bài 19 – Lôgarit
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.