Bài \(17\). Hàm số liên tục trang \(119\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(5.14\). Cho \(f(x)\) và \(g(x)\) là các hàm số liên tục tại \(x = 1\). Biết \(f(1) = 2\) và \(\lim \limits_{x \to 1} [2f(x) \ – \ g(x)] = 3\). Tính \(g(1)\).
Trả lời:
Vì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\) nên hàm số \(2f(x)\) cũng liên tục tại \(x = 1\).
Lại có hàm số \(g(x)\) cũng liên tục tại \(x = 1\) nên suy ra hàm số \(y = 2f(x) \ – \ g(x)\) liên tục tại \(x = 1\)
\(\Rightarrow \lim \limits_{x \to 1} [2f(x) \ – \ g(x)] = 2 f(1) \ – \ g(1)\)
Do \(\lim \limits_{x \to 1} [2 f(x) \ – \ g(x)] = 3\) và \(f(1) = 2\) nên ta có:
\(3 = 2. 2 \ – \ g(1)\)
\(\Rightarrow g(1) = 1\)
Vậy \(g(1) = 1\)
\(\)
Bài \(5.15\). Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
\(a)\) \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x^2 + 5x + 6}\).
\(b)\) \(f(x) = \left\{ \begin{matrix} 1 + x^2 \text{ nếu } x < 1\\ 4 \ – \ x \text{ nếu } x \geq 1 \end{matrix} \right.\).
Trả lời:
\(a)\) Biểu thức \(f(x) = \displaystyle \frac{x}{x^2 + 5x + 6}\) có nghĩa khi \(x^2 + 5x + 6 \neq 0\)
\(\Leftrightarrow (x + 2). (x + 3) \neq 0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x \neq \ – \ 2 \\ x \neq \ – \ 3 \end{matrix} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(D = \mathbb{R} \setminus \{\ – \ 3; \ – \ 2\}\)
\( = (\ – \ \infty; \ – \ 3) \cap (\ – \ 3; \ – \ 2) \cap (\ – \ 2; +\infty)\)
Do \(f(x)\) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 3), (\ – \ 3; \ – \ 2)\) và \((\ – \ 2; +\infty)\).
\(b)\) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathbb{R}\).
\(+)\) Nếu \(x < 1\) thì \(f(x) = 1 + x^2\) là hàm đa thức nên có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((\ – \ \infty; 1)\).
\(+)\) Nếu \(x > 1\) thì \(f(x) = 4 \ – \ x\) là hàm đa thức nên có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục trên \((1; +\infty)\)
Ta có:
\(\lim \limits_{x \to 1^+} f(x) = 4 \ – \ x = 4 \ – \ 1 = 3\);
\(\lim \limits_{x \to 1^-} f(x) = 1 + x^2 = 1 + 1^2 = 2\)
Ta thấy \(\lim \limits_{x \to 1^+} \neq \lim \limits_{x \to 1^-}\).
Do đó không tồn tại giới hạn của hàm số \(f(x)\) tại \(x = 1\).
Khi đó hàm số không liên tục tại \(x = 1\)
Vậy hàm số liên tục trên các khoảng \((\ – \ \infty; 1), (1; + \infty)\) và gián đoạn tại \(x = 1\)
\(\)
Bài \(5.16\). Tìm giá trị của tham số \(m\) để hàm số
\(f(x) = \begin{equation} \left\{ \begin{array}{II} \sin{x} \text{ nếu } x \geq 0\\ \ – \ x + m \text{ nếu } x < 0 \end{array} \right.\end{equation}\)
liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trả lời:
Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(\mathbb{R}\).
Khi \(x > 0\) thì \(f(x) = \sin{x}\) là hàm số liên tục trên \((0; + \infty)\)
Khi \(x < 0\) thì \(f(x) = \ – \ x + m\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \((\ – \ \infty; 0)\).
Do đó, để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì \(f(x)\) phải liên tục tại \(x = 0\)
\(\Leftrightarrow \lim \limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\)
\(\Leftrightarrow \lim \limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim \limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0)\)
Ta có: \(\lim \limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim \limits_{x \to 0^-} (\ – \ x + m) = m\)
\(\lim \limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim \limits_{x \to 0^+} \sin{x} = \sin{0} = 0\)
\(f(0) = \sin0 = 0\)
\(\Rightarrow \lim \limits_{x \to 0^-} = \lim \limits_{x \to 0^+} = f(0)\)
\(\Leftrightarrow m = 0\)
Vậy \(m = 0\) thõa mãn yêu cầu.
\(\)
Bài \(5.17\). Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
\(a)\) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
\(b)\) Xét tính liên tục của hàm số ở câu \(a)\).
Trả lời:
Gọi \(x (km, x > 0)\) là quãng đường khách di chuyển và \(y\) (đồng) là số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển \(x\).
Với \(x \leq 0,5\) thì \(y = 10000\).
Với \(0,5 < x \leq 30\) thì \(y = 10000 + 13500(x \ – \ 0,5) = 13500x + 3250\)
Với \(x > 30\) thì \(y = 10000 + 13500. 29,5 + 11000(x \ – \ 30)\)
\( = 11000x + 78250\)
Vậy công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển là:
\(y = \begin{equation} \left \{\begin{array}{II}10000 \text{ nếu } 0 < x \leq 0,5 \\ 13500x + 3250 \text{ nếu } 0,5 < x \leq 30 \\ 11000x + 78250 \text{ nếu } x > 30 \end{array} \right.\end{equation}\).
\(b)\) Với \(0 < x < 0,5\) thì \(y = 10000\) là hàm hằng nên liên tục trên \((0; 0,5)\).
Với \(0,5 < x < 30\) thì \(y = 13500x + 3250\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \((0,5; 30)\).
Với \(x > 30\) thì \(y = 11000x + 78250\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \((30; +\infty)\)
Vậy ta xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0,5\) và \(x = 30\)
\(+)\) Tại \(x = 0,5\):
\(y(0,5) = 10000\)
\(\lim \limits_{x \to 0,5^-} y = \lim \limits_{x \to 0,5^-} 10000 = 10000\)
\(\lim \limits_{x \to 0,5^+} y = \lim \limits_{x \to 0,5^+} (13500x + 3250)\)
\( = 13500. 0,5 + 3250 = 10000\)
Nhận thấy \(\lim \limits_{x \to 0,5^-} y = \lim \limits_{x \to 0,5^+} y = y(0,5)\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0,5\)
\(+)\) Tại \(x = 30\):
\(y(30) = 13500. 30 + 3250 = 408250\)
\(\lim \limits_{x \to 30^-} y = \lim \limits_{x \to 30^-} (13500x + 3250)\)
\( = 13500. 30 + 3250 = 408250\)
\(\lim \limits_{x \to 30^+} y = \lim \limits_{x \to 30^+} (11000x + 78250)\)
\( = 11000. 30 + 78250 = 408250\)
Nhận thấy \(\lim \limits_{x \to 30^-} y = \lim \limits_{x \to 30^+} = y(30)\) nên hàm sô liên tục tại \(x = 30\)
Vậy hàm số ở câu \(a)\) liên tục trên \((0; +\infty)\)
\(\)
Bài 17. Hàm số liên tục Bài 17. Hàm số liên tục Bài 17. Hàm số liên tục
Xem bài giải trước: Bài 16 – Giới hạn của hàm số
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương V
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.