Bài \(17\). Dấu của tam thức bậc hai trang \(19\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(6.15\). Xét dấu của tam thức bậc hai sau:
\(a)\) \(3x^2 \ – \ 4x + 1\);
\(b)\) \(x^2 + 2x + 1\);
\(c)\) \(\ – \ x^2 + 3x \ – \ 2\);
\(d)\) \(\ – \ x^2 + x \ – \ 1\).
Trả lời:
\(a)\) \(f(x) = 3x^2 \ – \ 4x + 1\) có \(\Delta’ = (\ – \ 2)^2 \ – \ 3. 1 = 1 > 0\), hệ số \(a = 3 > 0\), có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}, x_2 = 1\)
Ta có bảng xét dấu \(f(x)\) sau:
Suy ra \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{3}\right) \cup (1; + \infty)\) và \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in \left(\displaystyle \frac{1}{3}; 1\right)\).
\(b)\) \(f(x) = x^2 + 2x + 1 \text{ có } \Delta’ = 1^2 \ – \ 1. 1 = 0\) và \(a = 1 > 0\) nên \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = \ – \ 1\) và \(f(x) > 0\) với mọi \(x \neq \ – \ 1\).
\(c)\) \(f(x) = \ – \ x^2 + 3x \ – \ 2\) có \(\Delta = 3^2 \ – \ 4. ( \ – \ 1). ( \ – \ 2) = 1 > 0\) và \(a = \ – \ 1 < 0\) và có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 1, x_2 = 2\).
Ta có bảng xét dấu \(f(x)\) như sau:
Ta thấy \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in (1; 2)\) và \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in (\ – \ \infty; 1) \cup (2; + \infty)\)
\(d)\) \(f(x) = \ – \ x^2 + x \ – \ 1\) có \(\Delta = 1^2 \ – \ 4. (\ – \ 1. (\ – \ 1) = \ – \ 3 < 0\) và \(a = \ – \ 1 < 0\) nên \(f(x) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
\(\)
Bài \(6.16\). Giải các bất phương trình bậc hai:
\(a)\) \(x^2 \ – \ 1 \geq 0\);
\(b)\) \(x^2 \ – \ 2x \ – \ 1 <0\);
\(c)\) \(\ – \ 3x^2 + 12x + 1 \leq 0\);
\(d)\) \(5x^2 + x + 1 \geq 0\).
Trả lời:
\(a)\) Xét tam thức \(f(x) = x^2 \ – \ 1 \text{ có } \Delta = 0^2 \ – \ 4. 1. (\ – \ 1) = 4 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ 1 \text{ và } x_2 = 1\)
Lại có hệ số \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = (\ – \ \infty; \ – \ 1] \cup [1; + \infty)\).
\(b)\) Xét tam thức \(f(x) = x^2 \ – \ 2x \ – \ 1 \text{ có } \Delta’ = (\ – \ 1)^2 \ – \ 1. (\ – \ 1) = 2 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 1 \ – \ \sqrt{2}, x_2 = 1 + \sqrt{2}\)
Lại có hệ số \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = (1 \ – \ \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})\)
\(c)\) Xét tam thức \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 12x + 1\) có \(\Delta’ = 6^2 \ – \ (\ – \ 3). 1 = 39 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{6 \ – \ \sqrt{39}}{3}, x_2 = \displaystyle \frac{6 + \ \sqrt{39}}{3}\)
Lại có \(a = \ – \ 3 < 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{6 \ – \ \sqrt{39}}{3}\right] \cup \left[\displaystyle \frac{6 + \sqrt{39}}{3}; + \infty \right)\).
\(d)\) Tam thức \(f(x) = 5x^2 + x + 1\) có \(\Delta = 1^2 \ – \ 4. 5. 1 = \ – \ 19 < 0\) và hệ số \(a = 5 > 0\) nên \(f(x)\) luôn dương với mọi \(x\) hay \(5x^2 + x + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\mathbb{R}\)
\(\)
Bài \(6.17\). Tìm các giá trị của tham số \(m\) để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\):
\(x^2 + (m + 1)x + 2m + 3\).
Trả lời:
Xét tam thức \(f(x) = x^2 + (m + 1)x + 2m + 3\) có \(\Delta = (m + 1)^2 \ – \ 4. 1. (2m + 3) = m^2 \ – \ 6m \ – \ 11\) và có hệ số \(a = 1 > 0\)
Để \(f(x)\) luôn dương tức cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta < 0\)
\(\Leftrightarrow m^2 \ – \ 6m \ – \ 11 < 0\)
Xét tam thức \(h(m) = m^2 \ – \ 6m \ – \ 11\) có \(\Delta’ = (\ – \ 3)^2 \ – \ 1. (\ – \ 11) = 20 > 0\) nên \(h(m)\) có hai nghiệm phân biệt \(m_1 = 3 + \sqrt{20} = 3 + 2\sqrt{5}, m_2 = 3 \ – \ \sqrt{20} = 3 \ – \ 2\sqrt{5}\)
Mặt khác hệ số \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
Do đó ta thấy \(h(m) < 0\) với mọi \(m \in (3 \ – \ 2\sqrt{5}; 3 + 2\sqrt{5})\)
Vậy với mọi \(m \in (3 \ – \ 2\sqrt{5}; 3 + 2\sqrt{5})\) thì tam thức bậc hai đã cho luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
\(\)
Bài \(6.18\). Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao \(320\) m với vận tốc ban đầu \(v_0 = 20\) m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá \(100\) m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.
Trả lời:
Vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao \(320\) m nên chuyển động của vật là chuyển động nhanh dần đều.
Quãng đường vật rơi được sau \(t\) giây là:
\(f(t) = 20t + \displaystyle \frac{1}{2}. 10. t^2 = 5t^2 + 20t\)
Khi vật cách mặt đất không quá \(100\) m tức là vật đã chuyển động được quãng đường \(f(t) \geq 320 \ – \ 100 = 220\)
\(\Leftrightarrow 5t^2 + 20t \geq 220\)
\(\Leftrightarrow t^2 + 4t \ – \ 44 \geq 0\)
Xét tam thức \(f(t)\) có \(\Delta’ = 2^2 \ – \ 1. (\ – \ 44) = 48 > 0\) nên \(f(t)\) có hai nghiệm phân biệt \(t_1 = \ – \ 2 \ – \ 4\sqrt{3}, t_2 = \ – \ 2 + 4\sqrt{3}\)
Mặt khác hệ số \(a = 1 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
Lại có \(t \geq 0\) nên để \(f(t) \geq 0\) thì \(t \in [\ – \ 2 + 4\sqrt{3}; + \infty)\)
Vậy với \(t \geq \ – \ 2 + 4\sqrt{3} \approx 4,93\) hay sau ít nhất khoảng \(4,93\) giây thì vật đó cách mặt đất không quá \(100\) m.
\(\)
Bài \(6.19\). Xét đường tròn đường kính \(AB = 4\) và một điểm \(M\) di chuyển trên đoạn \(AB\), đặt \(AM = x\) \((H.6.19)\). Xét hai đường tròn đường kính \(AM\) và \(MB\). Kí hiệu \(S(x)\) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của \(x\) để diện tích \(S(x)\) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.
Trả lời:
Theo bài ra ta có: \(0 < x < 4\)
Đường tròn lớn đường kính \(AB = 4\) nên có bán kính \(R = 2\) và có diện tích là:
\(S_R = \pi. R^2 = \pi. 2^2 = 4 \pi\)
Đường tròn nhỏ đường kính \(AM = x\) nên có bán kính \(r_1 = \displaystyle \frac{x}{2}\) và có diện tích là:
\(S_1= \pi. r_1^2 = \pi. \left(\displaystyle \frac{x}{2}\right)^2 = \displaystyle \frac{x^2}{4} \pi\)
Ta có: \(MB = 4 \ – \ x\)
Suy ra đường tròn đường kính \(MB\) có bán kính \(r_2 = \displaystyle \frac{4 \ – \ x}{2}\) và có diện tích là:
\(S_2= \pi. r_2^2 = \pi. \left(\displaystyle \frac{4 \ – \ x}{2}\right)^2 = \displaystyle \frac{(4 \ – \ x)^2}{4}. \pi\)
Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ là:
\(S_t = S_1 + S_2 = \displaystyle \frac{x^2}{4} \pi + \displaystyle \frac{(4 \ – \ x)^2}{4} \pi\)
\(= \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 4x + 8}{2}. \pi\)
\(\Rightarrow\) Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là:
\(S_x = S_R \ – \ S_t = 4 \pi \ – \ \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 4x + 8}{2}. \pi\)
\(= \displaystyle \frac{\ – \ x^2 + 4x}{2}. \pi\)
Diện tích phần hình phẳng không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ nên ta có:
\(S_x \leq \displaystyle \frac{1}{2}S_t\)
\(\Leftrightarrow \displaystyle \frac{\ – \ x^2 + 4x}{2} \pi \leq \displaystyle \frac{1}{2}. \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 4x + 8}{2} \pi\)
\(\Leftrightarrow \ – \ x^2 + 4x \leq \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 4x + 8}{2}\)
\(\Leftrightarrow 3x^2 \ – \ 12x + 8 \geq 0\)
Xét tam thức \(f(x) = 3x^2 \ – \ 12x + 8\) có \(\Delta’ = (\ – \ 6)^2 \ – \ 3. 8 = 12 > 0\) nên \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \displaystyle \frac{6 \ – \ \sqrt{12}}{3} = \displaystyle \frac{6 \ – \ 2\sqrt{3}}{3}, x_2 = \displaystyle \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}\)
Mặt khác hệ số \(a = 3 > 0\) nên ta có bảng xét dấu sau:
Do đó \(f(x) \geq 0\) với mọi \(x \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{6 \ – \ 2\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\displaystyle \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}; + \infty\right)\)
Mà \(0 < x < 4\)
\(\Rightarrow x \in \left(0; \displaystyle \frac{6 \ – \ 2\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\displaystyle \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}; 4\right)\)
Vậy các giá trị \(x\) thỏa mãn yêu cầu của bài là: \(x \in \left(0; \displaystyle \frac{6 \ – \ 2\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\displaystyle \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}; 4\right)\)
Bài 17. Dấu của tam thức Bài 17. Dấu của tam thức
Xem bài giải trước: Bài 16: Hàm số bậc hai
Xem bài giải tiếp theo: Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 – NXB Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.