Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng

Chương 4 – Bài 16: Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng trang 73 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống.

Giải

4.23. Cho tam giác ABC cân tại A và các điểm E, F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho BE vuông góc với AC, CF vuông góc với AB (H.4.69). Chứng minh rằng BE = CF.

Giải

Xét tam giác AEB vuông tại E và tam giác AFC vuông tại F ta có:

\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\) (tam giác ABC cân tại A);

BC là cạnh chung;

Vậy \(\Delta AEB = \Delta AFC\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BE = CF (hai cạnh tương ứng).

\(\)

4.24. Cho tam giác ABC cân tại A và M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Chứng minh AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

Giải

Xét hai tam giác AMB và AMC ta có:

AM là cạnh chung

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

MB = MC (M là trung điểm của BC)

Vậy \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \widehat{MAB}=\widehat{MAC}\) (hai góc tương ứng).

\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác góc BAC.

Do \(\Delta AMB = \Delta AMC\) nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\) (hai góc tương ứng).

\(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\) (hai góc kề bù).

Nên \(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\displaystyle\frac{180^o}{2}=90^o.\)

hay AM ⊥ BC.

\(\)

4.25. Cho tam giác ABC và M là trung điểm của đoạn thẳng BC.

a) Giả sử AM vuông góc với BC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

b) Giả sử AM là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

Giải

a) Xét hai tam giác MAB và MAC ta có:

\(\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o\) (AM vuông góc với BC).

AM là cạnh chung

MB = MC (M là trung điểm của BC)

Vậy \(\Delta AMB = \Delta AMC\) (c.g.c)

Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác ABC cân tại A.

Do AM là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) nên \(\widehat{BAM} =\widehat{CAM}.\)

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

Xét hai tam giác AMC và DMB có:

AM = DM (theo giả thiết);

\(\widehat{AMC} =\widehat{IMB}\) (hai góc đối đỉnh);

MC = MB (theo giả thiết).

Vậy \(\Delta AMC=\Delta DMB\) (c.g.c).

\(\Rightarrow \widehat{CAM} =\widehat{BDM}\) (hai góc tương ứng)

AC = BD (2 cạnh tương ứng).

Mà \(\widehat{BAM} =\widehat{CAM}\) nên \(\widehat{BAM} =\widehat{BDM}\)

Do đó \(\widehat{BAD} =\widehat{BDA}\).

Ta có \(\widehat{BAD} =\widehat{BDA}\) nên tam giác BDA cân tại B.

\(\Rightarrow\) BD = BA (hai cạnh tương ứng).

Mà BD = AC nên AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

\(\)

4.26. Tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

Hãy giải thích các khẳng định sau:

a) Tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông;

b) Tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng \(45^o\);

c) Tam giác vuông có một góc nhọn bằng \(45^o\) là tam giác vuông cân.

Giải

a) Nếu tam giác vuông cân tại góc nhọn thì sẽ có hai góc ở đáy đều là góc vuông mà tổng ba góc của tam giác bằng \(180^o\) nên tam giác không thể có 2 góc vuông.

Vậy tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b) Theo câu a) tam giác vuông cân sẽ cân tại góc vuông do đó hai góc nhọn bằng nhau và có tổng bằng \(90^o.\)

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng \(45^o\).

c) Tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng \(45^o\), thì góc nhọn còn lại phụ với góc này bằng \(x+45^o+90^o=180^o⇒x=45^o\)

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng \(45^o\) là tam giác vuông cân.

\(\)

4.27. Trong Hình 4.70, đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng AB.