Bài 16. Giới hạn của hàm số

Bài \(16\). Giới hạn của hàm số trang \(111\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(5.7\). Cho hai hàm số \(f(x) = \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 1}{x \ – \ 1}\) và \(g(x) = x + 1\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(a)\) \(f(x) = g(x)\);
\(b)\) \(\lim \limits_{x \to 1} f(x) = \lim \limits_{x \to 1} g(x)\).

Trả lời:

Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x \ – \ \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 1\)

Biểu thức \(g(x)\) có nghĩa với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Điều kiện xác định của hai hàm số khác nhau nên khẳng định \(a)\) sai.

Ta có:

\(\lim \limits_{x \to 1} f(x) = \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 1}{x \ – \ 1} = \lim \limits_{x \to 1} (x + 1)\)

\( = 1 + 1 = 2\)

\(\lim \limits_{x \to 1} g(x) = \lim \limits_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2\)

Vậy \(\lim \limits_{x \to 1} f(x) = \lim \limits_{x \to 1} g(x)\) nên khẳng định \(b)\) đúng.

\(\)

Bài \(5.8\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(x + 2)^2 \ – \ 4}{x}\).
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 9} \ – \ 3}{x^2}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(x + 2)^2 \ – \ 4}{x} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{[(x + 2) \ – \ 2] [(x + 2) + 2]}{x}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x. (x + 4)}{x} = \lim \limits_{x \to 0} (x + 4) = 4\)

\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 9} \ – \ 3}{x^2} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x^2 + 9} \ – \ 3)(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}{x^2 (\sqrt{x^2 + 9} + 3)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(x^2 + 9) \ – \ 9}{x^2(\sqrt{x^2 + 9} + 3)} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{0 + 9} + 3} = \displaystyle \frac{1}{6}\)

\(\)

Bài \(5.9\). Cho hàm số \(H(t) = \left\{ \begin{matrix} 0 \text{ nếu } t < 0\\1 \text{ nếu } t \geq 0 \end{matrix} \right.\) (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/ mở của dòng điện tại thời điểm \(t = 0\).
Tính \(\lim \limits_{t \to 0^+} H(t)\) và \(\lim \limits_{t \to 0^-} H(t)\).

Trả lời:

Với dãy số \((t_n)\) bất kì sao cho \(t_n < 0\) và \(t_n \to 0\) ta có \(H(t_n) = 0\)

Suy ra \(\lim \limits_{t \to 0^-} H(t) = \lim \limits_{n \to +\infty} H(t_n) = \lim \limits_{n \to +\infty} 0 = 0\)

Với dãy số \((t_n)\) bất kì sao cho \(t_n > 0\) và \(t_n \to 0\) ta có \(H(t_n) = 1\)

Suy ra \(\lim \limits_{t \to 0^+} H(t) = \lim \limits_{n \to +\infty} H(t_n) = \lim \limits_{n \to +\infty} 1 = 1\)

\(\)

Bài \(5.10\). Tính các giới hạn một bên:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x \ – \ 2}{x \ – \ 1}\);
\(b)\) \(\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 \ – \ x + 1}{4 \ – \ x}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\lim \limits_{x \to 1^+} (x \ – \ 1) = 0\) và \(x \ – \ 1 > 0\) với mọi \(x > 1\)

\(\lim \limits_{x \to 1^+} (x \ – \ 2) = \ – \ 1 < 0\)

Suy ra \(\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x \ – \ 2}{x \ – \ 1} = \ – \ \infty\)

\(b)\) Ta có: \(\lim \limits_{x \to 4^-} (4 \ – \ x) = 0\) và \(4 \ – \ x > 0\) với mọi \(x < 4\)

\(\lim \limits_{x \to 4^-} (x^2 \ – \ x + 1) = 4^2 \ – \ 4 + 1 = 13 > 0\)

Suy ra \(\displaystyle \lim_{x \to 4^-} \frac{x^2 \ – \ x + 4}{4 \ – \ x} = + \infty\)

\(\)

Bài \(5.11\). Cho hàm số \(g(x) = \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 5x + 6}{|x \ – \ 2|}\).
Tìm \(\lim \limits_{x \to 2^+} g(x)\) và \(\lim \limits_{x \to 2^-} g(x)\).

Trả lời:

Ta có: \(g(x) = \displaystyle \frac{x^2 \ – \ 5x + 6}{|x \ – \ 2|} = \displaystyle \frac{(x \ – \ 2)(x \ – \ 3)}{|x \ – \ 2|}\)

\(= \begin{equation} \left[ \begin{array}{II} \displaystyle \frac{(x \ – \ 2)(x \ – \ 3)}{x \ – \ 2} \text{ nếu } x \ – \ 2 > 0\\ \displaystyle \frac{(x \ – \ 2)(x \ – \ 3)}{2 \ – \ x} \text{ nếu } x \ – \ 2 < 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(= \begin{equation} \left[\begin{array}{II} x \ – \ 3 \text{ nếu } x > 2 \\ 3 \ – \ x \text{ nếu } x < 2 \end{array} \right. \end{equation}\)

Suy ra:

\(\lim \limits_{x \to 2^+} g(x) = \lim \limits_{x \to 2^+} (x \ – \ 3) = 2 \ – \ 3 = \ – \ 1\).

\(\lim \limits_{x \to 2^-} g(x) = \lim \limits_{x \to 2^-} (3 \ – \ x) = 3 \ – \ 2 = 1\)

\(\)

Bài \(5.12\). Tính các giới hạn sau:
\(a)\) \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1 \ – \ 2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\);
\(b)\) \(\lim \limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 2} \ – \ x)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có:

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1 \ – \ 2x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(\frac{1}{x} \ – \ 2\right)}{x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x} \ – \ 2}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{\sqrt{1}} = \ – \ 2\)

\(b)\) \(\lim \limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x + 2} \ – \ x)\)

\( = \lim \limits_{x \to +\infty} \displaystyle \frac{(\sqrt{x^2 + x + 2} \ – \ x)(\sqrt{x^2 + x + 2} + x)}{\sqrt{x^2 + x + 2} + x}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + x + 2} + x}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} + 1}\)

\(= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\)

Bài \(5.13\). Cho hàm số \(f(x) = \displaystyle \frac{2}{(x \ – \ 1)(x \ – \ 2)}\).
Tìm \(\lim \limits_{x \to 2^+} f(x)\) và \(\lim \limits_{x \to 2^-} f(x)\).

Trả lời:

Ta có: \(\lim \limits_{x \to 2^+} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{2}{(x \ – \ 1)(x \ – \ 2)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x \ – \ 1}. \displaystyle \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x \ – \ 2} = \displaystyle \frac{2}{2 \ – \ 1}. (+\infty)\)

\(= 2. (+\infty) = +\infty \)

\(\lim \limits_{x \to 2^-} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{2}{(x \ – \ 1)(x \ – \ 2)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{2}{x \ – \ 1}. \displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{x \ – \ 2}\)

\(= \displaystyle \frac {2}{2 \ – \ 1}. (\ – \ \infty)\)

\(= 2. (\ – \ \infty) = \ – \ \infty\)

Bài 16. Giới hạn của hàm số Bài 16. Giới hạn của hàm số Bài 16. Giới hạn của hàm số

Xem bài giải trước: Bài 15 – Giới hạn của dãy số
Xem bài giải tiếp theo: Bài 17 – Hàm số liên tục
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech