Bài 15. Hàm số

Bài \(15\). Hàm số trang \(4\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(6.1\). Xét hai đại lượng \(x, y\) phụ thuộc vào nhau theo các hệ thức dưới đây. Những trường hợp nào thì \(y\) là hàm số của \(x\)?
\(a)\) \(x + y = 1\);
\(b)\) \(y = x^2\);
\(c)\) \(y^2 = x\);
\(d)\) \(x^2 \ – \ y^2 = 0\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(x + y = 1 \Rightarrow y = 1 \ – \ x\)

Với mỗi giá trị của \(x\) ta xác định được chỉ một giá trị của \(y\)

Vậy \(x + y = 1\) là hàm số.

\(b)\) \(y = x^2\) là hàm số vì với mỗi \(x\), ta xác định được chỉ một giá trị \(y\).

\(c)\) \(y^2 = x\)

\(\Leftrightarrow y = \sqrt{x} \text{ hoặc } y = \ – \ \sqrt{x}\)

Với mỗi \(x\) ta có hai giá trị của \(y\).

Vậy \(y^2 = x\) không phải hàm số.

\(d)\) \(x^2 \ – \ y^2 = 0\)

\(\Leftrightarrow y = x \text{ hoặc } y = \ – \ x\)

Mỗi giá trị \(x\) có \(2\) giá trị \(y\).

Vậy \(x^2 \ – \ y^2 = 0\) không phải là hàm số.

\(\)

Bài \(6.2\). Hãy cho một ví dụ về hàm số được cho bằng bảng hoặc biểu đồ. Hãy chỉ ra tập xác định và tập giá trị của hàm số đó.

Trả lời:

Lấy ví dụ hàm số được cho bằng bảng thông qua bảng giá trị như sau:

Ta thấy, với mỗi giá trị của \(x\) ta xác định được một giá trị của \(y\). Vậy bảng trên biểu thị cho một hàm số.

Tập xác định của hàm số là:

\(D = \{\ – \ 2; \ – \ 1; \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; 0; \displaystyle \frac{1}{2}; 1; 2\}\)

Tập giá trị của hàm số là:

\(\{1; \displaystyle \frac{1}{2}; \displaystyle \frac{1}{4}; 0; \displaystyle \frac{1}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}; \ – \ 1\}\).

\(\)

Bài \(6.3\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = 2x^3 + 3x + 1\);
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{x \ – \ 1}{x^2 \ – \ 3x +2}\);
\(c)\) \(y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 \ – \ x}\).

Trả lời:

\(a)\) Biểu thức \(2x^3 + 3x + 1\) có nghĩa với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

\(b)\) Biểu thức \(\displaystyle \frac{x \ – \ 1}{x^2 \ – \ 3x + 2}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(x^2 \ – \ 3x + 2 \neq 0\)

\(\Leftrightarrow (x \ – \ 1)(x \ – \ 2) \neq 0\)

\(\Leftrightarrow x \neq 1 \text{ và } x \neq 2\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{1; 2\}\).

\(c)\) Biểu thức \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{1 \ – \ x}\) có nghĩa khi và chỉ khi:

\(\left \{\begin{matrix}x + 1 \geq 0\\1 \ – \ x \geq 0 \end{matrix} \right.\)

\(\left \{\begin{matrix} x \geq \ – \ 1\\x \leq 1 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \ – \ 1 \leq x \leq 1\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = [\ – \ 1; 1]\)

\(\)

Bài \(6.4\). Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau:
\(a)\) \(y = 2x + 3\);
\(b)\) \(y =2x^2\).

Trả lời:

\(a)\) Biểu thức \(2x + 3\) có nghĩa với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Do đó tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Với mỗi giá trị thực bất kì của \(x\) ta đều xác định được một giá trị thực của \(y\) tương ứng.

Vì vậy, tập giá trị của hàm số là \(\mathbb{R}\).

\(b)\) Biểu thức \(2x^2\) có nghĩa với mọi số thực \(x\).

Suy ra tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(x^2 \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(y = 2x^2 \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vậy tập giá trị của hàm số là \([0; + \infty)\)

\(\)

Bài \(6.5\). Vẽ đồ thị các hàm số sau và chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của chúng.
\(a)\) \(y = \ – \ 2x + 1\)
\(b)\) \(y = \displaystyle \frac{1}{2}x^2\).

Trả lời:

\(a)\) \(y = \ – \ 2x + 1\)

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Với \(x = 0\) thì \(y = 1\)

Với \(x = 1\) thì \(y = \ – \ 1\)

Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm \((0; 1)\) và \((1; \ – \ 1)\).

Ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

\(b)\) \(y = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x^2\)

Hàm số có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\)

Ta có bảng giá trị biểu thị cho hàm số là:

Đồ thị hàm số là đường cong đi qua các điểm \((0; 0); (\ – \ 2; \ – \ 2); (\ – \ 1; \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}); (1; \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}); (2; \ – \ 2)\).

Ta thấy, hàm số đi lên từ trái sang phải trên \((\ – \ \infty; 0)\) và đi xuống từ trái sang phải trên \((0; + \infty)\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ \infty; 0)\) và nghịch biến trên khoảng \((0; + \infty)\)

\(\)

Bài \(6.6\). Giá thuê xe ô tô tự lái là \(1,2\) triệu đồng một ngày cho hai ngày đầu tiên và \(900\) nghìn đồng cho mỗi ngày tiếp theo. Tổng số tiền \(T\) phải trả là một hàm số của số ngày \(x\) mà khách thuê xe.
\(a)\) Viết công thức của hàm số \(T = T(x)\).
\(b)\) Tính \(T(2), T(3), T(5)\) và cho biết ý nghĩa của mỗi giá trị này.

Trả lời:

\(1,2\) triệu đồng \(= 1.200.000\) đồng

\(900\) nghìn đồng \(= 900.000\) đồng

\(a)\) Số ngày khách thuê xe là \(x\) (ngày)

Số tiền khách phải trả là \(T\) (đồng)

Ta có: Khi \(x \leq 2\) thì \(T = 1200000x\) (đồng)

Số tiền khách phải trả khi thuê xe \(2\) ngày đầu là: \(1200000. 2 = 2400000\)

Khi \(x > 2\) thì số tiền khách phải trả khi thuê xe là:

\(T = 2400000 + 900000.(x \ – \ 2) = 600000 + 900000x\) (đồng)

Vậy ta có công thức hàm số \(T\) phụ thuộc \(x\) là:

\(T = \begin{equation} \begin{cases} 1200000x \text{ khi } x \leq 2\\600000 + 900000x \text{ khi } x > 2 \end{cases}\, \end{equation}\)

\(b)\) Ta có: