Chương 3 – Bài 14. Hình thoi và hình vuông trang 42 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
3.23. Chứng minh hình bình hành có hai đường cao xuất phát từ một đỉnh bằng nhau là một hình thoi.
Giải
Xét hình bình hành ABCD có đường cao AH (H thuộc đường thẳng CD), và đường cao AK (K thuộc đường thẳng BC), AH = AK.
Hai tam giác ACH vuông tại H và ACK vuông tại K có AC chung, AH = AK.
Do đó \(\Delta ACH = \Delta ACK\) (cạnh huyền – một cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{ACK}=\widehat{ACH}\) (hai góc tương ứng).
Nên CA là tia phân giác của \(\widehat{C}.\)
Hình bình hành ABCD có CA là phân giác của \(\widehat{C}\) nên là hình thoi.
\(\)
3.24. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Với mỗi tam giác OAB, OBC, OCD, ODA, xét giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó. Tại sao bốn điểm vừa vẽ là bốn đỉnh của một hình thoi?
Giải
Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.
Gọi P, Q lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAB và OCD thì O, P, Q thẳng hàng trên đường phân giác của góc AOB.
Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AD // BC.
Suy ra \(\widehat{ODC}=\widehat{OBA};\ \widehat{OCD}=\widehat{OAB}\) (các cặp góc so le trong)
Mà DQ, BP lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{ODC};\ \widehat{OBA}\) nên \(\widehat{OBP}=\widehat{ODQ}.\)
Hai tam giác OBP và ODQ có:
\(\widehat{OBP}=\widehat{ODQ}\) (chứng minh trên);
OB = OD;
\(\widehat{BOP}=\widehat{QOD}\) (đối đỉnh).
Do đó \(\Delta OBP = \Delta ODQ\) (g.c.g).
Suy ra OP = OQ, hay O là trung điểm của PQ.
Gọi R, S lần lượt là giao điểm ba đường phân giác của tam giác OAD, OBC thì tương tự như trên, ta cũng chứng minh được O là trung điểm của RS và đường thẳng RS là đường phân giác của góc \(\widehat{AOD}.\)
Do góc AOB và góc AOD là hai góc kề bù nên hai đường phân giác PQ, RS vuông góc với nhau.
Tứ giác PSQR có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau nên là hình thoi.
\(\)
3.25. Cho hình vuông ABCD. Với điểm M nằm giữa C và D, kẻ tia phân giác của góc DAM; nó cắt CD ở N. Đường thẳng qua N vuông góc với AM cắt BC ở P. Tính số đo của góc NAP.
Giải
Cho hình vuông ABCD. Với điểm M nằm giữa C và D kẻ tia phân giác của góc DAM
Đường thẳng NP ⊥ AM cắt AM ở Q.
Do ABCD là hình vuông nên ND ⊥ AD.
Hai tam giác ADN vuông tại D và AQN vuông tại Q có:
AN là cạnh chung,
\(\widehat{NAD}=\widehat{NAQ}\) (do AN là tia phân giác của \(\widehat{DAQ}\))
Do đó \(\Delta ADN = \Delta AQN\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AD = AQ;
Mà AD = AB nên AQ = AB.
Xét hai tm giác AQP vuông tại Q và ABP vuông tại B có: AP chung; AQ = AB.
Do đó \(\Delta AQP = \Delta ABP\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra \(\widehat{QAP}=\widehat{BAP}.\)
Ta có: \(\widehat{BAD}=\widehat{DAN}+\widehat{NAQ}+\widehat{QAP}+\widehat{BAP}\)
Mà \(\widehat{NAD}=\widehat{NAQ};\ \widehat{QAP}=\widehat{BAP}\) nên ta có: \(\widehat{BAD}=2(\widehat{NAQ}+\widehat{PAQ})=2\widehat{NAP}\)
Suy ra \(\widehat{NAP}=\displaystyle\frac{1}{2}.\widehat{DAB}=\displaystyle\frac{1}{2}.90^o=45^o.\)
\(\)
3.26. Cho hình vuông ABCD với tâm O và có cạnh bằng 2 cm. Hai tia Ox, Oy tạo thành góc vuông. Tính diện tích của phần hình vuông nằm bên trong góc xOy.
Giải
Cho hình vuông ABCD với tâm O và có cạnh bằng 2 cm. Hai tia Ox, Oy tạo thành góc vuông
Tia Ox phải cắt một cạnh của hình vuông, giả sử Ox cắt cạnh AB tại M.
Khi M trùng với A hay B thì tia Oy phải qua một đỉnh của hình vuông và dễ thấy phần hình vuông nằm trong góc xOy là một phần tư của hình vuông.
Khi M nằm giữa A và B thì tia Oy phải cắt cạnh BC hoặc cạnh AD; giả sử Oy cắt BC tại N thì N nằm giữa B và C.
Do ABCD là hình vuông nên AC và BD là các đường phân giác các góc của hình vuông, BD ⊥ AC.
Suy ra \(\widehat{MAO}=\widehat{NBO}\) (cùng phụ với \(\widehat{MBO}\))
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=90^o,\) \(\widehat{NOB}+\widehat{MOB}=90^o.\)
Suy ra \(\widehat{MOA}=\widehat{NOB}.\)
Xét hai tam giác OAM và OBN có:
\(\widehat{MAO}=\widehat{NBO}\) ; OA = OB; \(\widehat{MOA}=\widehat{NOB}.\)
Do đó \(\Delta OAM = \Delta OBN\) (g.c.g), nên hai tam giác này có cùng diện tích.
Ta có: diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy là diện tích tứ giác OMBN.
Mà \(S_{OMBN} = S_{OBM} + S_{OBN};\) \(S_{OAB} = S_{OAM} + S_{OBM}.\)
Suy ra \(S_{OMBN} = S_{OAB}.\)
Tức diện tích phần hình vuông nằm trong góc xOy bằng \(\displaystyle\frac{1}{4}\) diện tích hình vuông.
Cũng lập luận tương tự khi N nằm giữa A và D.
Vậy trong mọi trường hợp diện tích cần tìm bằng \(\displaystyle\frac{1}{4}.2^2=1\ (cm^2).\)
\(\)
3.27. Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho BD = DE = EC. Lấy các điểm F, G lần lượt thuộc cạnh AC, AB sao cho FE, GD vuông góc với BC. Chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông.
Giải
Do \(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên \(\widehat{B}=\widehat{C}=45^o.\)
Xét hai tam giác GBD vuông tại D và EFC vuông tại E có: BD = EC; \(\widehat{B}=\widehat{C};\)
Do đó \(\Delta GBD = \Delta FCE\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra \(\widehat{DGB}=\widehat{EFC}.\)
Mà \(\widehat{B}+\widehat{DGB}=90^o\) nên \(\widehat{DGB}=90^o-\widehat{B}=90^o-45^o=45^o.\)
Do đó \(\widehat{DGB}=\widehat{EFC}=45^o.\)
Suy ra \(\Delta GBD\) vuông cân tại D và \(\Delta EFC\) vuông cân tại E.
Vì vậy GD = BD, EF = EC.
Mà BD = DE = EC = \(\displaystyle\frac{1}{3}\)BC.
Suy ra GD = DE = EF.
Do GD ⊥ BC, EF ⊥ BC nên GD // EF
Tứ giác GDEF có GD // EF, GD = EF nên GDEF là hình chữ nhật.
Lại có GD và DE là hai cạnh kề của hình chữ nhật GDEF bằng nhau nên GDEF là hình vuông.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 13. Hình chữ nhật
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương 3
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
