Bài 13. Hình chữ nhật

Chương 3 – Bài 13. Hình chữ nhật trang 39 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

3.20. Cho tam giác ABC cân tại A, AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi D, E lần lượt là điểm sao cho M là trung điểm của HD, N là trung điểm của HE.

a) Chứng minh AHBD, AHCE, BCED là những hình chữ nhật.

b) Tại sao giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH?

c) Giải thích tại sao DH = HE, BE = CD.

Giải

a) Tứ giác AHBD có M là trung điểm của AB và HD nên là hình bình hành.

Do AH là đường cao của ∆ABC nên AH ⊥ BC, suy ra \(\widehat{AHB}=90^o.\)

Hình bình hành AHBD có \(\widehat{AHB}=90^o\) nên AHBD là hình chữ nhật.

Tương tự, tứ giác AHCE có N là trung điểm của AC và HE nên là hình bình hành.

Lại có \(\widehat{AHC}=90^o\) nên AHCE là hình chữ nhật.

Do AHBD, AHCE là các hình chữ nhật (chứng minh trên).

Suy ra \(\widehat{ADB}=\widehat{DBH}=\widehat{HCE}=\widehat{AEC}=90^o\)

Do đó tứ giác BCED là hình chữ nhật.

b) Vì ADBH, AECH là các hình chữ nhật nên AD = BH, AE = HC, AD // BC, AE // BC

Mà ∆ABC cân tại A có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó H là trung điểm của BC, suy ra BH = HC.

Từ đó, AD = BH = HC = AE.

Tứ giác ADHC có: AD // HC, AD = HC nên ADHC là hình bình hành.

Tứ giác ABHE có: AE // BH, AE = BH nên ABHE là hình bình hành.

Vì ADHC là hình bình hành nên CD cắt AH tại trung điểm của AH.

Vì AEHB là hình bình hành nên BE cắt AH tại trung điểm của AH.

Vậy giao điểm của BE và CD là trung điểm của AH.

c) Do AHBD, AHCE là các hình chữ nhật nên AB = DH, AC = HE (hai đường chéo bằng nhau).

Mà AB = AC (do ∆ABC cân tại A) nên DH = HE.

Do BCED là hình chữ nhật (chứng minh câu a) nên CD = BE (hai đường chéo bằng nhau).

\(\)

3.21. Hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC cân tại A cắt nhau tại G. Gọi H, K lần lượt là điểm sao cho trung điểm của GH là M, trung điểm của GK là N. Chứng minh tứ giác BCHK là hình chữ nhật.

Giải

Hai đường trung tuyến BM CN của tam giác ABC cân tại A cắt nhau tại G.

Vì BM, CN là trung tuyến của ∆ABC nên M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Do M là trung điểm của AC và của GH nên AGCH là hình bình hành.

Từ đó HC = AG và HC // AG (1)

Do N là trung điểm của AB và của GK nên AGBK là hình bình hành.

Suy ra KB = AG và KB // AG (2)

Từ (1) và (2) suy ra BK = CH và BK // CH.

Tứ giác BCHK có hai cạnh đối BK, CH bằng nhau và song song nên là một hình bình hành.

Vì tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AG là đường cao tức AG ⊥ BC hay KB ⊥ BC, suy ra BCHK là hình chữ nhật.

\(\)

3.22. 1. Sử dụng tính chất tổng các góc của một tam giác bằng 180° để chứng minh:

a) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

b) Tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng nửa BC thì vuông tại A.

2. Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau để chứng minh a), b) của ý 1.

Giải

a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Do B là góc nhọn, có điểm M thuộc BC sao cho \(\widehat{BAM}=\widehat{ABM};\) tam giác ABM cân tại M nên MA = MB.

Do \(\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=\widehat{ABM}+\widehat{ACM}=90^o\) suy ra \(\widehat{MAC}=\widehat{ACM},\) do đó tam giác ACM cân tại M tức là MA = MC.

Vậy MA = MB = MC = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)BC.

b) Ngược lại, nếu có M thuộc BC sao cho MA = MB = MC = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)BC thì tam giác MAB cân tại M, tam giác MAC cân tại M, suy ra \(\widehat{MAB}=\widehat{B};\ \widehat{MAC}=\widehat{C}.\)

Ta có: \(\widehat{A} =\widehat{MAC}+\widehat{MAB}.\)

Nên \(\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}\) mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) nên \(\widehat{A}=90^o.\)

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

2. M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC; lấy điểm P sao cho M là trung điểm của AP thì ABPC là một hình bình hành.

a) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì hình bình hành ABPC có \(\widehat{BAC} =90^o\) nên ABPC là hình chữ nhật.

Do đó hai đường chéo BC, AP bằng nhau, suy ra MA = MB = MC = MP.

b) Nếu có M thuộc BC sao cho MA = MB = MC = \(\displaystyle\frac{1}{2}\)BC thì suy ra BC = AP;

Khi đó hình bình hành ABPC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài 12. Hình bình hành

Xem bài giải tiếp theo: Bài 14. Hình thoi và hình vuông