Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài \(12\). Đường thẳng và mặt phẳng song song trang \(84\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(4.16\). Trong không gian, cho hai đường thẳng phân biệt \(a, b\) và mặt phẳng \((P)\). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(a)\) Nếu \(a\) và \((P)\) có điểm chung thì \(a\) không song song với \((P)\).
\(b)\) Nếu \(a\) và \((P)\) có điểm chung thì \(a\) và \((P)\) cắt nhau.
\(c)\) Nếu \(a\) song song với \(b\) và \(b\) nằm trong \((P)\) thì \(a\) song song với \((P)\).
\(d)\) Nếu \(a\) và \(b\) song song với \((P)\) thì \(a\) song song với \(b\).

Trả lời:

Mệnh đề \(a)\) đúng vì \(a\) và \((P)\) có điểm chung thì \(a\) cắt \((P)\) hoặc \(a\) nằm trong \((P)\) nên \(a\) không song song với \((P)\).

Mệnh đề \(b)\) sai.

Mệnh đề \(c)\) sai vì \(a)\) có thể nằm trong \((P)\).

Mệnh đề \(d)\) sai vì \(a)\) và \(b)\) có thể cắt nhau.

\(\)

Bài \(4.17\). Cho hai tam giác \(ABC\) và \(ABD\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AC, AD\).
\(a)\) Đường thẳng \(AM\) có song song với mặt phẳng \((BCD)\) hay không? Hãy giải thích tại sao.
\(b)\) Đường thẳng \(MN\) có song song với mặt phẳng \((BCD)\) hay không? Hãy giải thích tại sao.

Trả lời:

\(a)\) Hai tam giác \(ABC\) và \(ABD\) không đồng phẳng nên \(A\) không thuộc mặt phẳng \((BCD)\).

Mặt khác, \(M\) là trung điểm \(AC\) nên đường \(AM\) chứa điểm \(C\).

Do đó, đường thẳng \(AM\) cắt mặt phẳng \((BCD)\) tại điểm \(C\).

Vậy đường thẳng \(AM\) không song song với mặt phẳng \((BCD)\).

\(b)\) Do \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(AC, AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\)

Suy ra \(MN // CD\)

Mặt khác, \(CD\) nằm trong mặt phẳng \((BCD)\) và \(MN\) không nằm trong mặt phẳng \((BCD)\).

Vậy đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \((BCD)\).

\(\)

Bài \(4.18\). Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(BC, CD\). Chứng minh rằng đường thẳng \(BD\) song song với mặt phẳng \((AMN)\).

Trả lời:

Vì \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC, AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác ~(BCD\)

Suy ra \(MN // BD\).

Lại có \(MN\) nằm trong mặt phẳng \((AMN)\)

Do đó, \(BD // (AMN)\)

\(\)

Bài \(4.19\). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang (\(AB // CD\)). Gọi \(E\) là một điểm nằm giữa \(S\) và \(A\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng qua \(E\) và song song với hai đường thẳng \(AB, AD\). Xác định giao tuyến của \((P)\) và các mặt bên của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Trả lời:

Mặt phẳng \((SAD)\) chứa đường thẳng \(AD\) song song với mặt phẳng \((P)\) nên mặt phẳng \((P)\) cắt mặt phẳng \((SAD)\) theo giao tuyến qua \(E\) và song song với \(AD\).

Vẽ \(EH // AD (H \in SD)\)

Khi đó \(EH\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((SAD)\).

Mặt phẳng \((SAB)\) chứa đường thẳng \(AB\) song song với mặt phẳng \((P)\) nên mặt phẳng \((P)\) cắt mặt phẳng \((SAB)\) theo giao tuyến qua \(E\) và song song với \(AB\).

Vẽ \(EF // AB (F \in SB)\)

Khi đó, \(EF\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((SAB)\).

Lại có \(CD // AB\). Mà \(AB // EF\)

Suy ra \(CD // EF\) Hay \(CD // (P)\)

Mặt phẳng \((SCD)\) chứa đường thẳng \(CD\) song song với mặt phẳng\ ((P)\) nên mặt phẳng \((P)\) cắt mặt phẳng \((SCD)\) theo giao tuyến qua \(H\) và song song với \(CD\).

Vẽ \(HG // CD (G \in SC)\)

Khi đó, \(HG\) là giao tuyến hai mặt phẳng \((P)\) và \((SCD)\).

Có: \(FG\) nằm trong mặt phẳng \((P)\) đồng thời nằm trong mặt phẳng \((SBC)\)

Do đó \(FG\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((P)\) và \((SBC)\)

Tứ giác \(EFGH\) có \(EF // GH (\text{ cùng song song với } CD\)) nên tứ giác \(EFGH\) là hình thang.

\(\)

Bài \(4.20\). Bạn Nam quan sát thấy dù cửa ra vào được mở ở vị trí nào thì mép trên của cửa luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy cho biết đó là mặt phẳng nào và giải thích tại sao.