Bài \(11\). Tích vô hướng của hai vectơ trang \(66\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
Bài \(4.21\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(\overrightarrow{a} = (\ – \ 3; 1), \overrightarrow{b} = (2; 6)\);
\(b)\) \(\overrightarrow{a} = (3; 1), \overrightarrow{b} = (2; 4)\);
\(c)\) \(\overrightarrow{a} = (\ – \ \sqrt{2}; 1), \overrightarrow{b} = (2; \ – \ \sqrt{2})\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = (\ – \ 3). 2 + 1. 6 = 0\)
\(\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = 90^o\)
\(b)\) Ta có:
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = 3. 2 + 1. 4 = 10\)
\(|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\)
\(|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right)} = \displaystyle \frac{\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|} = \displaystyle \frac{10}{\sqrt{10}. 2\sqrt{5}} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = 45^o\).
\(c)\) Ta có:
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = (\ – \ \sqrt{2}). 2 + 1. (\ – \ \sqrt{2}) = \ – \ 3\sqrt{2}\)
\(|\overrightarrow{a}| = \sqrt{(\ – \ \sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)
\(|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + (\ – \ \sqrt{2})^2} = \sqrt{6}\)
\(\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|. \cos{\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right)} = \displaystyle \frac{\overrightarrow{a}. \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|. |\overrightarrow{b}|} = \displaystyle \frac{\ – \ 3\sqrt{2}}{\sqrt{3}. \sqrt{6}} = \ – \ 1\)
\(\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\right) = 180^o\).
\(\)
Bài \(4.22\). Tìm điều kiện của \(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\) để:
\(a)\) \(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|. |\overrightarrow{v}|\);
\(b)\) \(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = \ – \ |\overrightarrow{u}|. |\overrightarrow{v}|\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|. |\overrightarrow{v}|. \cos{\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)}\)
Suy ra: \(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|. |\overrightarrow{v}|\) khi và chỉ khi \(\cos{\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)} = 1\)
\(\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) = 0^o\)
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là hai vectơ cùng hướng.
\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}|. |\overrightarrow{v}|. \cos{\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)}\)
Suy ra: \(\overrightarrow{u}. \overrightarrow{v} = \ – \ |\overrightarrow{u}|. |\overrightarrow{v}|\) khi và chỉ khi \(\cos{\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right)} = \ – \ 1\)
\(\Leftrightarrow \left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\right) = 180^o\)
Vậy hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) là hai vectơ ngược hướng.
\(\)
Bài \(4.23\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A(1; 2), B(\ – \ 4; 3)\). Gọi \(M(t; 0)\) là một điểm thuộc trục hoành.
\(a)\) Tính \(\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM}\) theo \(t\).
\(b)\) Tìm \(t\) để \(\widehat{AMB} = 90^o\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{AM} = (t \ – \ 1; \ – \ 2), \overrightarrow{BM} = (t + 4; \ – \ 3)\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM} = (t \ – \ 1)(t + 4)+ (\ – \ 2). (\ – \ 3)\)
\(= t^2 + 3t + 2\)
\(b)\) Để \(\widehat{AMB} = 90^o\) thì \(\overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BM} = 0\)
\(\Leftrightarrow t^2 + 3t + 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow (t + 1) (t + 2) = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t = \ – \ 1\\t = \ – \ 2 \end{matrix} \right.\)
Vậy với \(t = \ – \ 1\) hoặc \(t = \ – \ 2\) thì \(\widehat{AMB} = 90^o\)
\(\)
Bài \(4.24\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm không thẳng hàng \(A(\ – \ 4; 1), B(2; 4), C(2; \ – \ 2)\).
\(a)\) Giải tam giác \(ABC\).
\(b)\) Tìm toạ độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\).
Trả lời:
\(a)\) Ta có:
\(\overrightarrow{AB} = (6; 3) \Rightarrow AB = \sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}\)
\(\overrightarrow{AC} = (6; \ – \ 3) \Rightarrow AC = \sqrt{6^2 + (\ – \ 3)^2} = 3\sqrt{5}\)
\(\overrightarrow{BC} = (0; \ – \ 6) \Rightarrow BC = \sqrt{0^2 + (\ – \ 6)^2} = 6\)
Từ định lí \(\text{ côsin }\) ta có:
\(\cos{A} = \displaystyle \frac{AB^2 + AC^2 \ – \ BC^2}{2. AB. AC} = \displaystyle \frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \widehat{A} \approx 53,13^o\)
Tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) nên tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)
\(\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = \displaystyle \frac{180^o \ – \ \widehat{A}}{2} \approx 63,44^o\)
Vậy \(AB = AC = 3\sqrt{5}, BC = 6\\ \widehat{A} \approx 53,13^o, \widehat{B} = \widehat{C} \approx 63,44^o\)
\(b)\) Gọi toạ độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC\) là \(H(x; y)\)
Khi đó ta có:
\(\overrightarrow{AH} = (x + 4; y \ – \ 1)\)
\(\overrightarrow{BH} = (x \ – \ 2; y \ – \ 4)\)
Do \(H\) là trực tâm nên:
\(\left \{\begin{matrix}AH \perp BC\\BH \perp AC \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}\overrightarrow{AH}. \overrightarrow{BC} = 0\\\overrightarrow{BH}. \overrightarrow{AC} = 0 \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}(x + 4). 0 + (y \ – \ 1).(\ – \ 6) = 0\\(x \ – \ 2). 6 + (y \ – \ 4). (\ – \ 3) = 0 \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}y = 1\\2x \ – \ y = 0 \end{matrix} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}y = 1\\x = \displaystyle \frac{1}{2} \end{matrix} \right.\)
Vậy toạ độ trực tâm của tam giác \(ABC\) là \(H\left(\displaystyle \frac{1}{2}; 1\right)\)
\(\)
Bài \(4.25\). Chứng minh rằng với mọi tam giác \(ABC\), ta có:
\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2. \overrightarrow{AC}^2 \ – \ \left(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\right)^2}\).
Trả lời:
Ta có:
\(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sin{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sqrt{1 \ – \ \cos^2{\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right)}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sqrt{1 \ – \ \left(\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|. |\overrightarrow{AC}|}\right)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sqrt{1 \ – \ \displaystyle \frac{\left(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\right)^2}{\overrightarrow{AB}^2. \overrightarrow{AC}^2}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \sqrt{\displaystyle \frac{\overrightarrow{AB}^2. \overrightarrow{AC}^2. \ – \ \left(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\right)^2}{\overrightarrow{AB}^2. \overrightarrow{AC}^2}}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. AB. AC. \displaystyle \frac{1}{AB. AC}. \sqrt{\overrightarrow{AB}^2. \overrightarrow{AC}^2. \ – \ \left(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\right)^2}\)
\(= \displaystyle \frac{1}{2}. \sqrt{\overrightarrow{AB}^2. \overrightarrow{AC}^2. \ – \ \left(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\right)^2}\)
Vậy \(S_{ABC} = \displaystyle \frac{1}{2}. \sqrt{\overrightarrow{AB}^2. \overrightarrow{AC}^2. \ – \ \left(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}\right)^2}\) (đpcm)
\(\)
Bài \(4.26\). Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Chứng minh rằng với mọi điểm \(M\), ta có:
\(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2\).
Trả lời:
Ta có: \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + \overrightarrow{MC}^2\)
\(= \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA}\right)^2 + \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB}\right)^2 \)
\(+ \left(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC} \right)^2\)
\(= \overrightarrow{MG}^2 + 2. \overrightarrow{MG}. \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{MG}^2 + 2. \overrightarrow{MG}. \overrightarrow{GB}\)
\(+ \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{MG}^2 + 2. \overrightarrow{MG}. \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GC}^2\)
\(= 3\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG}. \left(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} \right)\)
\(+ \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2\)
\(= 3\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG}. \overrightarrow{0} + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2\) (Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)).
\(= 3\overrightarrow{MG}^2 + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2\)
\(= 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2\)
Vậy \(MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2\) (đpcm)
Bài 11. Tích vô hướng của Bài 11. Tích vô hướng của Bài 11. Tích vô hướng của
Xem bài giải trước: Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng toạ độ
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương IV
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 – NXB Kết nối tri thức với cuộc sống
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
Hạnh phúc đạt được khi bạn ngừng chờ đợi điều đó xảy ra và thực hiện các bước để biến nó thành hiện thực.