Bài 11. Hình thang cân

Chương 3 – Bài 11. Hình thang cân trang 34 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

3.7. Tính các góc của hình thang ABCD (AB, CD là hai đáy) biết \(\widehat{A}=2\widehat{D},\) \(\widehat{B}=\widehat{C}+40^o.\)

Giải

Hình thang ABCD có AB // CD suy ra:

\(\widehat{A}+\widehat{D}=180^o\) (hai góc trong cùng phía);

\(\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (hai góc trong cùng phía);

Mà \(\widehat{A}=2\widehat{D}\) nên \(2\widehat{D}+\widehat{D}=180^o,\) hay \(\widehat{D}=60^o.\)

Suy ra \(\widehat{A}=2.60^o=120^o.\)

Lại có \(\widehat{B}=\widehat{C}+40^o\) nên \(\widehat{C}+40^o+\widehat{C}=180^o,\) hay \(\widehat{C}=70^o.\) Suy ra \(\widehat{B}=70^o+40^o=110^o.\)

Vậy hình thang ABCD có \(\widehat{A}=120^o;\) \(\widehat{B}=110^o;\) \(\widehat{C}=70^o;\) \(\widehat{D}=60^o.\)

\(\)

3.8. Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất hai góc tù.

Giải

Hình thang ABCD (AB // CD) có:

\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o;\)

\(\widehat{A}+\widehat{D}=180^o\) (hai góc trong cùng phía);

\(\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (hai góc trong cùng phía).

Nếu \(\widehat{A}>90^o ⇒ \widehat{D}<90^o;\)

Nếu \(\widehat{B}>90^o ⇒ \widehat{C}<90^o.\)

Vậy hình thang có nhiều nhất hai góc tù.

\(\)

3.9. Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Ghép thêm vào phía ngoài tam giác đó tam giác BCD vuông cân tại đỉnh B. Chứng minh tứ giác ABDC là một hình thang vuông (hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy).

Giải

Do ∆ABC vuông cân tại đỉnh A nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB};\ \widehat{A}=90^o.\)

Tam giác ABC có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{A}=180^o.\)

Nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{A}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-90^o}{2}=45^o.\)

Do ∆BCD vuông cân tại đỉnh B nên \(\widehat{BCD}=\widehat{BDC};\ \widehat{CBD}=90^o\)

Tam giác BCD có: \(\widehat{BCD}+\widehat{BDC}+\widehat{CBD}=180^o\)

Nên \(\widehat{BCD}=\widehat{BDC}=\displaystyle\frac{180^o-\widehat{CBD}}{2}=\displaystyle\frac{180^o-90^o}{2}=45^o.\)

Ta có \(\widehat{ABC}=45^o=\widehat{BCD}\) mà hai góc ở vị trí so le trong bằng nhau nên AB // CD.

Vậy ABCD là một hình thang với AB, CD là hai đáy; cạnh bên của hình thang đó là AC vuông góc với đáy AB nên hình thang đó là hình thang vuông.

\(\)

3.10. Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, đi qua trung điểm của CD.

Giải

Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD BC cắt nhau tại S.

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD, \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}.\)

Xét ∆ABC và ∆BAD cóBC = AD, AC = BD, cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c).

Suy ra \(\widehat{BAC}=\widehat{ABD}.\)

Từ đó OAB là tam giác cân tại O, nên OA = OB.

Ta có: OA + OC = AC; OB + OD = BD, mà OA = OB, AC = BD

Suy ra OC = OD.

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do AB // CD nên \(\widehat{SAB}=\widehat{SDC};\widehat{SBA}=\widehat{SCD}\) (các cặp góc ở vị trí đồng vị).

Mà \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\) hay \(\widehat{SDC}=\widehat{SCD}\) suy ra \(\widehat{SAB}=\widehat{SDC}=\widehat{SBA}=\widehat{SCD}.\)

Suy ra SAB, SCD là các tam giác cân tại đỉnh S nên SA = SB, SC = SD.

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.

\(\)

3.11. Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, tia CA là tia phân giác của góc C. Tính chu vi của hình thang đó biết rằng AD = 2 cm.

Giải