Bài 10. Vectơ trong mặt phẳng toạ độ

Bài \(10\). Vectơ trong mặt phẳng toạ độ trang \(60\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(4.16\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các điểm \(M(1; 3), N(4; 2)\).
\(a)\) Tính độ dài của các đoạn thẳng \(OM, ON, MN\).
\(b)\) Chứng minh rằng tam giác \(OMN\) vuông cân.

Trả lời:

Ta có: \(O(0; 0), M(1; 3), N(4; 2)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{OM} (1; 3), \overrightarrow{ON}(4; 2), \overrightarrow{MN} (3; \ – \ 1)\)

Suy ra:

\(OM = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}\\ ON = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\\ MN = \sqrt{3^2 + (\ – \ 1)^2} = \sqrt{10}\)

\(b)\) Xét tam giác \(OMN\) có:

\(OM = MN = \sqrt{10}\) nên tam giác \(OMN\) cân tại \(M\)

Lại có:

\(ON^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20\)

\(OM^2 = (\sqrt{10})^2 = 10\)

\(MN^2 = (\sqrt{10})^2 = 10\)

Ta thấy \(ON^2 = OM^2 + MN^2\)

Theo định lí Py-ta-go đảo suy ra tam giác \(OMN\) vuông tại \(N\)

Kết hợp lại ta có tam giác \(OMN\) vuông cân tại \(N\).

\(\)

Bài \(4.17\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các vectơ \(\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{i} \ – \ 2\overrightarrow{j}, \overrightarrow{b} = (4; \ – \ 1)\) và các điểm \(M(\ – \ 3; 6), N(3; \ – \ 3)\).
\(a)\) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(2\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b}\).
\(b)\) Các điểm \(O, M, N\) có thẳng hàng hay không?
\(c)\) Tìm điểm \(P(x; y)\) để \(OMNP\) là hình bình hành.

Trả lời:

Vì \(\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{i} \ – \ 2\overrightarrow{j}\) nên \(\overrightarrow{a} = (3; \ – \ 2)\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{a} = (6; \ – \ 4)\)

\(\Rightarrow 2\overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b} = (6 \ – \ 4; \ – \ 4 + 1) = (2; \ – \ 3) = 2\overrightarrow{i} \ – \ 3\overrightarrow{j}\)

Lại có \(\overrightarrow{MN} = (6; \ – \ 9) = 6\overrightarrow{i} \ – \ 9\overrightarrow{j}\)

\(= 3(2\overrightarrow{i} \ – \ 3\overrightarrow{j}) = 3(2 \overrightarrow{a} \ – \ \overrightarrow{b})\)

\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{OM} = (\ – \ 3; 6)\\ \overrightarrow{ON} = (3; \ – \ 3)\)

Ta thấy hai vectơ \(\overrightarrow{OM}\) và \(\overrightarrow{ON}\) không cùng phương \(\left(\text{ do } \displaystyle \frac{\ – \ 3}{3} \neq \displaystyle \frac{6}{\ – \ 3}\right)\)

Do đó các điểm \(O, M, N\) không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm \(O, M, N\) không thẳng hàng.

\(c)\) Ba điểm \(O, M, N\) không thẳng hàng nên \(OMNP\) là hình bình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PN}\)

Mà \(\overrightarrow{PN} = (3 \ – \ x; \ – \ 3 \ – \ y), \overrightarrow{OM} = (\ – \ 3; 6)\) nên:

\(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PN}\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}\ – \ 3 = 3 \ – \ x\\6 = \ – \ 3 \ – \ y \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x = 6\\y = \ – \ 9 \end{matrix} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là \(P(6; \ – \ 9)\)

\(\)

Bài \(4.18\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các điểm \(A(1; 3), B(2; 4), C(\ – \ 3; 2)\).
\(a)\) Hãy giải thích vì sao các điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng.
\(b)\) Tìm toạ độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\).
\(c)\) Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\).
\(d)\) Tìm điểm \(D(x; y)\) để \(O(0; 0)\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\).

Trả lời:

Ta có: \(\overrightarrow{AB} = (2 \ – \ 1; 4 \ – \ 3) = (1; 1)\)

\(\overrightarrow{AC} = (\ – \ 3 \ – \ 1; 2 \ – \ 3) = (\ – \ 4; \ – \ 1)\)

Ta thấy hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương \(\left(\text{ do } \displaystyle \frac{\ – \ 4}{1} \neq \displaystyle \frac{\ – \ 1}{1} \right)\)

Suy ra ba điểm \(A, B, C\) không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm \(A, B, C\) không thẳng hàng.

\(b)\) Trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là \(M \left(\displaystyle \frac{1 + 2}{2}; \displaystyle \frac{3 + 4}{2} \right) = \left(\displaystyle \frac{3}{2}; \displaystyle \frac{7}{2}\right)\).

\(c)\) Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là:

\(G\left(\displaystyle \frac{1 + 2 + (\ – \ 3)}{3}; \displaystyle \frac{3 + 4 + 2}{3} \right) = (0;3)\)

\(d)\) \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi:

\((0; 0) = \left(\displaystyle \frac{1 + 2 + x}{3}; \displaystyle \frac{3 + 4 + y}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow (0; 0) = (1 + 2 + x; 3 + 4 + y)\)

\(\Leftrightarrow (0; 0) = (3 + x; 7 + y)\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}3 + x = 0\\7 + y = 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x = \ – \ 3\\y = \ – \ 7 \end{matrix} \right.\)

Vậy tọa độ điểm \(D\) cần tìm là \(D(\ – \ 3; \ – \ 7)\)

\(\)

Bài \(4.19\). Sự chuyển động của một tàu thuỷ được thể hiện trên một mặt phẳng toạ độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí \(A(1; 2)\) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow{v} = (3; 4)\). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng toạ độ) tại thời điểm sau khi khởi hành \(1,5\) giờ.

Trả lời:

Gọi \(B(x; y)\) là vị trí của tàu trên mặt phẳng tọa độ tại thời điểm sau khi khởi hành \(1,5\) giờ.

Do tàu khởi hành từ \(A\) di chuyển với vận tốc được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow{v} = (3; 4)\) nên cứ sau mỗi giờ, tàu sẽ di chuyển được quãng đường bằng \(|\overrightarrow{v}|\)

Vậy sau \(1,5\) giờ, tàu di chuyển tới \(B\), ta có:

\(\overrightarrow{AB} = 1,5 \overrightarrow{v}\)

\(\Leftrightarrow (x \ – \ 1; y \ – \ 2) = 1,5. (3; 4)\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix} x \ – \ 1 = 1,5. 3 = 4,5\\y \ – \ 2 = 1,5. 4 = 6 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left \{\begin{matrix}x = 5,5\\ y = 8 \end{matrix} \right.\)

Vậy sau khi khởi hành \(1,5\) giờ, tàu ở vị trí \(B(5,5; 8)\) trên mặt phẳng tọa độ.

\(\)

Bài \(4.20\). Trong Hình \(4.38\), quân mã đang ở vị trí có toạ độ \((1; 2)\). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?