Bài 10. Tứ giác

Chương 3 – Bài 10. Tứ giác trang 32 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

3.1. Chứng minh rằng cả bốn góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù.

Giải

Vì tổng bốn góc của tứ giác bằng 360°, nên:

Nếu cả bốn góc của tứ giác đều bé hơn 90° thì tổng của chúng bé hơn 360°, điều này vô lí.

Nếu cả bốn góc của tứ giác đều lớn hơn 90° thì tổng của chúng lớn hơn 360°, điều này vô lí.

\(\)

3.2. Chứng minh rằng trong một tứ giác, độ dài mỗi cạnh bé hơn tổng độ dài ba cạnh còn lại.

Giải

Xét tam giác ABD, ta có: AB < AD + DB (bất đẳng thức trong tam giác).

Xét tam giác BCD, ta có: DB < BC + CD (bất đẳng thức trong tam giác).

Do đó AB < AD + DB < AD + BC + CD.

Vậy AB < AD + BC + CD.

Tương tự ta cũng có:

BC < AB + CD + DA; CD < AD + AB + BC; DA < AB + BC + CD.

\(\)

3.3. Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:

a) Bé hơn chu vi của tứ giác;

b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tuỳ ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Giải

a) Chu vi tứ giác ABCD là: P_ABCD = AB + BC + CD + DA.

Trong ∆ABC có AC < AB + BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆ACD có AC < CD + DA (bất đẳng thức trong tam giác)

Suy ra AC + AC < AB + BC + CD + DA hay 2AC < P_ABCD (1)

Tương tự, trong ∆ABD có BD < AD + AB

Trong ∆BCD có: BD < CD + BC

Do đó BD + BD < AD + AB + CD + BC hay 2BD < P_ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(AC + BD) < 2P_ABCD, do đó AC + BD < P_ABCD.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong ∆OAB có OA + OB > AB (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OCD có OC + OD > CD (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AB + CD.

Trong ∆OAD có OA + OD > AD (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong ∆OBC có OB + OC > BC (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên AC + BD = OA + OC + OB + OD > AD + BC.

Vậy 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA = P_ABCD.

Tức là AC + BD > \(\displaystyle\frac{1}{2}\)P_ABCD.

\(\)

3.4. Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất.

Giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

TH1: M trùng O

⇒ AM + MB + MC + AD = AC + BD (1)

TH2: M không trùng O

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có:

AM + MC > AC; MB + MD > BD.

⇒ AM + MB + MC + MD > AC + BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra điểm M trùng O thì tổng khoảng cách từ M đến đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất.

\(\)

3.5. Cho tứ giác ABCD với AB = BC, CD = DA, \(\widehat{B} =100^o;\ \widehat{D} =120^o.\) Tính \(\widehat{A}\) và \(\widehat{C}.\)

Giải

Do AB = BC nên ∆BAC cân tại B, suy ra \(\widehat{A_2} =\widehat{C_2}.\)

Do đó \(\widehat{A}=\widehat{C_2} = \displaystyle\frac{180^o-\widehat{B}}{2} = \displaystyle\frac{180^o-100^o}{2} = 40^o.\)

Do CD = DA nên ∆DAC cân tại D, suy ra \(\widehat{A_1} =\widehat{C_1}.\)

Xét tam giác ADC có: \(\widehat{A_1} +\widehat{C_1} +\widehat{D} = 180^o\)

\(\widehat{A_1} =\widehat{C_1} = \displaystyle\frac{180^o-\widehat{D}}{2} = \displaystyle\frac{180^o-120^o}{2} = 30^o.\)

Ta có: \(\widehat{A}=\widehat{A_1} +\widehat{A_2} = 40^o + 30^o = 70^o;\)

\(\widehat{C}=\widehat{C_1} +\widehat{C_2} = 40^o + 30^o = 70^o.\)

Vậy tứ giác ABCD có \(\widehat{A}=\widehat{C} = 70^o.\)

\(\)

3.6. a) Góc kề bù với góc tại một đỉnh của tứ giác gọi là một góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác. (Có hai góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác, chúng đối đỉnh nên thường gọi tắt là góc ngoài tại đỉnh đó của tứ giác). Hãy tính tổng bốn góc ngoài tại bốn đỉnh của một tứ giác.

b) Định nghĩa góc ngoài tại một đỉnh của tam giác một cách tương tự. Hỏi tổng các góc ngoài của một tam giác bằng bao nhiêu?

Giải