Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài \(10\). Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian trang \(70\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Kết nối tri thức với cuộc sống. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(4.1\). Trong không gian, cho hai đường thẳng \(a, b\) và mặt phẳng \((P)\). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?
\(a)\) Nếu \(a\) chứa một điểm nằm trong \((P)\) thì \(a\) nằm trong \((P)\).
\(b)\) Nếu \(a\) chứa hai điểm phân biệt thuộc \((P)\) thì \(a\) nằm trong \((P)\).
\(c)\) Nếu \(a\) và \(b\) cùng nằm trong \((P)\) thì giao điểm nếu có của \(a\) và \(b\) cũng nằm trong ((P)\).
\(d)\) Nếu \(a\) nằm trong \((P)\) và \(a\) cắt \(b\) thì \(b\) nằm trong \((P)\).

Trả lời:

Mệnh đề đúng là \(b)\) và \(c)\).

Mệnh đề \(a)\) sai. Xét ví dụ:

Ta thấy \(a\) chứa điểm \(M\) nằm trong \((P)\), \(a \notin (P)\)

Mệnh đề \(d)\) sai. Xét ví dụ:

Ta thấy \(a\) nằm trong \((P)\) và \(a\) cắt \(b\). Tuy nhiên \(b \notin (P)\)

\(\)

Bài \(4.2\). Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(S\) không thuộc mặt phẳng \((ABC)\). Lấy \(D, E\) là các điểm lần lượt thuộc các cạnh \(SA, SB\) và \(D, E\) khác \(S\).
\(a)\) Đường thẳng \(DE\) có nằm trong mặt phẳng \((SAB)\) không?
\(b)\) Giả sử \(DE\) cắt \(AB\) tại \(F\). Chứng minh rằng \(F\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((CDE)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có hai điểm \(D, E\) đều nằm trong mặt phẳng \((SAB)\) nên đường thẳng \(DE\) nằm trong mặt phẳng \((SAB)\).

\(b)\) Điểm \(F\) thuộc \(AB\) nên \(F\) nằm trong mặt phẳng \((SAB)\)

Điểm \(F\) thuộc \(DE\) nên \(F\) nằm trong mặt phẳng \((CDE)\)

Suy ra \(F\) là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((CDE)\).

\(\)

Bài \(4.3\). Cho mặt phẳng \((P)\) và hai đường thẳng \(a, b\) nằm trong \((P)\). Một đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng \(c\) nằm trong mặt phẳng \((P)\).

Trả lời:

Đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) lần lượt tại \(A\) và \(B\).

Mà \(a, b\) thuộc mặt phẳng \((P)\) nên suy ra \(A, B\) cũng nằm trong mặt phẳng \((P)\)

Do đó, \(AB\) cũng nằm trong mặt phẳng \((P)\) hay \(c\) cũng nằm trong mặt phẳng \((P)\)

\(\)

Bài \(4.4\). Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) và \(M\) là một điểm thuộc cạnh \(SC\) (\(M\) khác \(S, C\)). Giả sử hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(N\). Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\).

Trả lời:

Ta có: \(N\) thuộc đường thẳng \(AB\), mà \(AB\) nằm trong mặt phẳng \((ABM)\) nên \(N\) cũng nằm trong mặt phẳng \((ABM)\)

Hai điểm \(M, N\) đều nằm trong mặt phẳng \((ABM)\) nên \(MN\) nằm trong mặt phẳng \((ABM)\) (\(1\))

Điểm \(M\) thuộc \(SC\), mà \(SC\) nằm trong \((SCD)\) nên \(M\) nằm trong mặt phẳng \((SCD)\)

Điểm \(N\) thuộc \(CD\), mà \(CD\) nằm trong \((SCD)\) nên \(N\) nằm trong mặt phẳng \((SCD)\)

Do đó, \(MN\) nằm trong mặt phẳng \((SCD)\) (\(2\))

Tứ (\(1\)) và (\(2\)) suy ra \(MN\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((ABM)\) và \((SCD)\)

\(\)

Bài \(4.5\). Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) và lấy một điểm \(E\) thuộc cạnh \(SA\) của hình chóp (\(E\) khác \(S, A\)). Trong mặt phẳng \((ABCD)\) vẽ một đường thẳng \(d\) cắt các cạnh \(CB, CD\) lần lượt tại \(M, N\) và cắt các tia \(AB, AD\) lần lượt tại \(P, Q\).
\(a)\) Xác định giao điểm của mặt phẳng \((E; d)\) với các cạnh \(SB, SD\) của hình chóp.
\(b)\) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((E, d)\) với các mặt của hình chóp.

Trả lời:

\(a)\) \(+)\) Ta có: \(P\) thuộc \(AB\) nên \(P\) cũng thuộc mặt phẳng \((SAB)\)

Trong mặt phẳng \((SAB)\), gọi \(H\) là giao điểm của \(SB\) và \(EP\).

\(P\) thuộc \(d\) nên \(P\) nằm trong mặt phẳng \((E, d)\)

\(\Rightarrow\) \(EP\) nằm trong mặt phẳng \((E, d)\)

Suy ra \(I\) nằm trong mặt phẳng \((E, d)\)

Vậy \(I\) là giao điểm của \((E, d)\) và cạnh \(SB\).

\(+)\) \(Q\) thuộc \(AD\) nên \(Q\) nằm trong mặt phẳng \((SAD)\)

Xét mặt phẳng \((SAD)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(EQ\) và \(SD\).

\(Q\) thuộc \(d\) nên \(Q\) nằm trong mặt phẳng \((E, d)\)

\(\Rightarrow\) \(EQ\) nằm trong mặt phẳng \((E, d)\)

Suy ra \(K\) nằm trong mặt phẳng \((E, d)\)

Vậy \(K\) là giao điểm của \((E, d)\) và cạnh \(SD\).

\(b)\) Giao tuyến của mặt phẳng \((E, d)\) với \((SAB)\) là \(EH\).

Giao tuyến của mặt phẳng \((E, d)\) với \((SAD)\) là \(EK\).

Giao tuyến của mặt phẳng \((E, d)\) với \((SBC)\) là \(HM\).

Giao tuyến của mặt phẳng \((E, d)\) với \((SCD)\) là \(KN\).

\(\)

Bài \(4.6\). Cho hình tứ diện \(ABCD\). Trên các cạnh \(AC, BC, BD\) lần lượt lấy các điểm \(M, N, P\) sao cho \(AM = CM, BN = CN, BP = 2DP\).
\(a)\) Xác định giao điểm của đường thẳng \(CD\) và mặt phẳng \((MNP)\).
\(b)\) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((ACD)\) và \((MNP)\).

Trả lời:

\(a)\) Xét trong mặt phẳng \((BCD)\), gọi \(Q\) là giao điểm của \(CD\) và \(NP\).

Khi đó, \(Q\) thuộc \(NP\). Mà \(NP\) nằm trong mặt phẳng \((MNP)\)

Suy ra \(Q\) thuộc mặt phẳng \((MNP)\)

Vậy \(Q\) là giao điểm của \(CD\) và mặt phẳng \((MNP)\).

\(b)\) \(M\) thuộc \(AC\) mà \(AC\) nằm trong \((ACD)\) nên \(M\) thuộc mặt phẳng \((ACD)\)

Lại có \(Q\) thuộc \((ACD)\)

Suy ra \(QM\) nằm trong mặt phẳng \((ACD)\)

Lại có: \(Q, M\) đều thuộc \((MNP)\) nên \(QM\) nằm trong mặt phẳng \((MNP)\)

Do đó, \(QM\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((ACD)\) và \((MNP)\)

\(\)

Bài \(4.7\). Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất ba ngón tay. Hãy giải thích tại sao?

Trả lời:

Việc bưng khay bằng ít nhất ba ngón tay sẽ tạo thành mặt phẳng cố định chứa mặt đáy khay giúp cố định được khay không đổ trong quá trình di chuyển.

\(\)

Bài \(4.8\). Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có chia kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Trả lời:

Ta có: Giao tuyến của hai mặt phẳng (mặt phẳng chứa phần bàn và mặt phẳng chứa dao cắt) chính là đường cắt.

Mặt khác giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng.

Do đó, các đường cắt luôn là đường thẳng.

\(\)

Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương III
Xem bài giải tiếp theo: Bài 11 – Hai đường thẳng song song
Xem các bài giải khác:
Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Kết nối tri thức với cuộc sống

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech

0 0 đánh giá
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest

0 Bình luận
Phản hồi nội tuyến
Xem tất cả bình luận
0
Cùng chia sẻ bình luận của bạn nào!x