Bài 1. Toạ độ của vectơ

Bài \(1\). Toạ độ của vectơ trang \(60\) SGK Toán \(10\) Tập \(2\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Tìm toạ độ của các vectơ trong Hình \(16\) và biểu diễn mỗi vectơ đó qua các vectơ \(\overrightarrow{i}\) và \(\overrightarrow{j}\).

Trả lời:

Lần lượt vẽ các vectơ \(\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}, \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{d}\)

Quan sát hình vẽ ta thấy, tọa độ các điểm lần lượt là: \(A(\ – \ 5; \ – \ 3), B(3; \ – \ 4), C(\ – \ 1; 3), D(2; 5)\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA} = (\ – \ 5; \ – \ 3), \overrightarrow{b} = \overrightarrow{OB} = (3; \ – \ 4)\),

\(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{OC} = (\ – \ 1; 3), \overrightarrow{d} = \overrightarrow{OD} = (2; 5)\)

Do \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{OA} = (\ – \ 5; \ – \ 3)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{a} = \ – \ 5. \overrightarrow{i} + (\ – \ 3). \overrightarrow{j} = \ – \ 5\overrightarrow{i} \ – \ 3\overrightarrow{j}\)

\(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{OB} = (3; \ – \ 4)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{b} = 3. \overrightarrow{i} \ – \ 4. \overrightarrow{j} = 3\overrightarrow{i} \ – \ 4\overrightarrow{j}\)

\(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{OC} = (\ – \ 1; 3)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{c} = \ – \ 1. \overrightarrow{i} + 3. \overrightarrow{j} = \ – \ \overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}\)

\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{OD} = (2; 5)\)

\(\Rightarrow{d} = 2. \overrightarrow{i} + 5. \overrightarrow{j} = 2\overrightarrow{i} + 5\overrightarrow{j}\)

\(\)

Bài \(2\). Tìm toạ độ của các vectơ sau:
\(a)\) \(\overrightarrow{a} = 3 \overrightarrow{i}\);
\(b)\) \(\overrightarrow{b} = \ – \ \overrightarrow{j}\);
\(c)\) \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{i} \ – \ 4\overrightarrow{j}\);
\(d)\) \(\overrightarrow{d} = 0,5 \overrightarrow{i} + \sqrt{6} \overrightarrow{j}\).

Trả lời:

\(a)\) \(\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{i} = 3. \overrightarrow{i} + 0. \overrightarrow{j}\)

Do đó toạ độ của vectơ \(\overrightarrow{a}\) là \(\overrightarrow{a} = (3; 0)\).

\(b)\) \(\overrightarrow{b} = \ – \ \overrightarrow{j} = 0. \overrightarrow{i} \ – \ 1. \overrightarrow{j}\)

Do đó toạ độ của vectơ \(\overrightarrow{b}\) là \(\overrightarrow{b} = (0; \ – \ 1)\).

\(c)\) \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{i} \ – \ 4 \overrightarrow{j} = 1. \overrightarrow{i} \ – \ 4. \overrightarrow{j}\)

Do đó toạ độ của vectơ \(\overrightarrow{c}\) là \(\overrightarrow{c} = (1; \ – \ 4)\).

\(d)\) \(\overrightarrow{d} = 0,5 \overrightarrow{i} + \sqrt{6} \overrightarrow{j} = 0,5. \overrightarrow{i} + \sqrt{6}. \overrightarrow{j}\)

Do đó toạ độ của vectơ \(\overrightarrow{d}\) là \(\overrightarrow{d} = (0,5; \sqrt{6})\).

\(\)

Bài \(3\). Tìm các số thực \(a\) và \(b\) sao cho mỗi cặp vectơ sau bằng nhau.
\(a)\) \(\overrightarrow{u} = (2a \ – \ 1; \ – \ 3)\) và \(\overrightarrow{v} = (3; 4b + 1)\);
\(b)\) \(\overrightarrow{x} = (a + b; \ – \ 2a + 3b)\) và \(\overrightarrow{y} = (2a \ – \ 3; 4b)\).

Trả lời:

Hai vectơ bằng nhau khi hoành độ của vectơ này bằng hoành độ của vectơ kia và tung độ của vectơ này bằng tung độ của vectơ kia.

\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2a \ – \ 1 = 3\\\ – \ 3 = 4b + 1 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = 2\\b = \ – \ 1 \end{array} \right.\end{equation}\)

Vậy \(a = 2, b = \ – \ 1\).

\(b)\) Ta có: \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{y}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a + b = 2a \ – \ 3\\\ – \ 2a + 3b = 4b \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}b = a \ – \ 3 (1)\\\ – \ 2a = b (2) \end{array} \right.\end{equation}\)

Thay \((2)\) vào \((1)\) ta được:

\(\ – \ 2a = a \ – \ 3\)

\(\Leftrightarrow a = 1\)

\(\Rightarrow b = 1 \ – \ 3 = \ – \ 2\)

Vậy \(a = 1, b = \ – \ 2\)

\(\)

Bài \(4\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(2; 3), B(\ – \ 1; 1), C(3; \ – \ 1)\).
\(a)\) Tìm toạ độ điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC}\).
\(b)\) Tìm toạ độ trung điểm \(N\) của đoạn thẳng \(AC\). Chứng minh \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NM}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(\overrightarrow{BC} = (3 \ – \ (\ – \ 1); \ – \ 1 \ – \ 1)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{BC} = (4; \ – \ 2)\)

Gọi toạ độ điểm \(M(x; y)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AM} = (x \ – \ 2; y \ – \ 3)\)

\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM} = (4; \ – \ 2)\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x \ – \ 2 = 4\\y \ – \ 3 = \ – \ 2 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x = 6\\y = 1 \end{array}\right.\end{equation}\)

Vậy toạ độ điểm \(M\) cần tìm là \(M(6; 1)\).

\(b)\) Gọi toạ độ điểm \(N(a; b)\)

Khi đó \(\overrightarrow{AN} = (a \ – \ 2; b \ – \ 3); \overrightarrow{NC} = (3 \ – \ a; \ – \ 1 \ – \ b)\)

\(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{NC}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II} a \ – \ 2 = 3 \ – \ a\\b \ – \ 3 = \ – \ 1 \ – \ b \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}2a = 5\\2b = 2 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = \displaystyle \frac{5}{2}\\b = 1 \end{array} \right.\end{equation}\)

Vậy toạ độ điểm \(N \left(\displaystyle \frac{5}{2}; 1\right)\)

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow{BN} = \left(\displaystyle \frac{7}{2}; 0\right), \overrightarrow{NM} = \left(\displaystyle \frac{7}{2}; 0\right)\)

Vậy \(\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{NM}\)

\(\)

Bài \(5\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(M(\ – \ 1; 3)\).
\(a)\) Tìm toạ độ điểm \(A\) đối xứng với điểm \(M\) qua gốc \(O\).
\(b)\) Tìm toạ độ điểm \(B\) đối xứng với điểm \(M\) qua trục \(Ox\).
\(c)\) Tìm toạ độ điểm \(C\) đối xứng với điểm \(M\) qua trục \(Oy\).

Trả lời:

\(a)\) Điểm \(A\) đối xứng với điểm \(M\) qua gốc \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AM\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OM}\)

Gọi tọa độ điểm \(A(a; b)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AO} = (0 \ – \ a; 0 \ – \ b) = (\ – \ a; \ – \ b)\)

\(\overrightarrow{OM} = (\ – \ 1; 3)\)

Khi đó \(\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OM}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\ – \ a = \ – \ 1\\\ – \ b = 3 \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = 1\\b = \ – \ 3 \end{array} \right.\end{equation}\)

Vậy toạ độ điểm \(A\) là \(A(1; \ – \ 3)\).

\(b)\) Điểm \(B\) đối xứng với điểm \(M\) qua trục \(Ox\) nên hoành độ của điểm \(B\) chính là hoành độ điểm \(M\), tung độ điểm \(B\) đối nhau với tung độ điểm \(M\).

Suy ra tọa độ điểm \(B(\ – \ 1; \ – \ 3)\)

\(c)\) Điểm \(C\) đối xứng với điểm \(M\) qua trục \(Oy\) nên tung độ của điểm \(C\) chính là tung độ của điểm \(M\), hoành độ của điểm \(C\) đối nhau với hoành độ điểm \(M\)

Suy ra tọa độ điểm \(C(1; 3)\)

\(\)

Bài \(6\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm không thẳng hàng \(A(\ – \ 3; 1), B(\ – \ 1; 3), I(4; 2)\). Tìm toạ độ của hai điểm \(C, D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nhận \(I\) làm tâm đối xứng.

Trả lời:

Gọi tọa độ điểm \(C, D\) lần lượt là \(C(x_C, y_C), D(x_D, y_D)\).

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow{AI} = (7; 1)\)

\(\overrightarrow{IC} = (x_C \ – \ 4; y_C \ – \ 2)\)

\(I\) là tâm đối xứng của hình bình hành \(ABCD\) nên \(I\) là trung điểm \(AC\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IC}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x_C \ – \ 4 = 7 \\y_C \ – \ 2 = 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x_C = 11\\y_C = 3 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy tọa độ điểm \(C\) là \(C(11; 3)\)

Ta lại có:

\(\overrightarrow{AB} = (2; 2); \overrightarrow{DC} = (11 \ – \ x_D; 3 \ – \ y_D)\)

Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}11 \ – \ x_D = 2 \\3 \ – \ y_D = 2 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x_D = 9\\y_D = 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy tọa độ điểm \(D\) là \(D(9; 1)\).

\(\)

Bài \(7\). Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M(1; \ – \ 2), N(\ – \ 4; 1)\) và \(P(6; 2)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB\). Tìm toạ độ của các điểm \(A, B, C\).

Trả lời:

Gọi tọa độ điểm \(A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C)\).

Khi đó ta có:

\(\overrightarrow{PN} = (\ – \ 10; \ – \ 1), \overrightarrow{BM} = (1 \ – \ x_B; \ – \ 2 \ – \ y_B),\)

\(\overrightarrow{MC} = (x_C \ – \ 1; y_C + 2), \overrightarrow{MP} = (5; 4)\),

\(\overrightarrow{NA} = (x_A + 4; y_A \ – \ 1)\).

Do \(PN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\) nên ta có:

\(\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{BM}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}1 \ – \ x_B = \ – \ 10\\\ – \ 2 \ – \ y_B = \ – \ 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x_B = 11\\y_B = \ – \ 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy tọa độ điểm \(B\) là \(B(11; \ – \ 1)\)

Lại có: \(\overrightarrow{PN} = \overrightarrow{MC}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x_C \ – \ 1 = \ – \ 10\\y_C + 2 = \ – \ 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x_C = \ – \ 9\\y_C = \ – \ 3 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy tọa độ điểm \(C\) là \(C(\ – \ 9; \ – \ 3)\)

Mặt khác \(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{NA}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x_A + 4 = 5\\y_A \ – \ 1 = 4 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x_A = 1 \\y_A = 5 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy tọa độ điểm \(A\) là \(A(1; 5)\).

\(\)

Bài 1. Toạ độ của vectơ Bài 1. Toạ độ của vectơ Bài 1. Toạ độ của vectơ Bài 1. Toạ độ của vectơ

Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương VI
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2 – Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 10 Cánh diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech