Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Chương 1 – Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ trang 9 sách bài tập toán lớp 7 tập 1 NXB Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

\(1.\) Các số \(0,5;\ 11;\ 3,111;\) \(4\displaystyle\frac{5}{7};\) \(-34;\) \(-1,3;\) \(\displaystyle\frac{-1}{-3};\) \(\displaystyle\frac{-9}{8}\) có là số hữu tỉ không? Vì sao?

Giải

Số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số \(\displaystyle\frac{a}{b}\) với \(a,\ b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0\)

Ta có \(0,5 = \displaystyle\frac{1}{2};\ 11 = \displaystyle\frac{11}{1};\) \(3,111 = \displaystyle\frac{3111}{1000};\ 4\displaystyle\frac{5}{7} = \displaystyle\frac{33}{7};\)

\(-34=\displaystyle\frac{-34}{1};\ -1,3=\displaystyle\frac{-13}{10}.\)

Vậy các số \(0,5;\ 11;\ 3,111;\) \(4\displaystyle\frac{5}{7};\) \(-34;\) \(-1,3;\) \(\displaystyle\frac{-1}{-3};\) \(\displaystyle\frac{-9}{8}\) là các số hữu tỉ.

\(\)

\(2.\) Chọn kí hiệu “∈”; “∉” thích hợp cho \(\fbox{ ? }\):

a) \(-13\ \fbox{ ? }\ \mathbb{N};\)

b) \(-345\ 987\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Z};\)

c) \(0\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q};\)

d) \(10\displaystyle\frac{34}{75}\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q};\)

e) \(\displaystyle\frac{301}{756}\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Z};\)

g) \(\displaystyle\frac{13}{-499}\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q};\)

h) \(-11,01\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Z};\)

i) \(\displaystyle\frac{-21}{-128}\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q};\)

k) \(0,3274\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q}.\)

Giải

a) \(-13\) là số nguyên âm không thuộc tập hợp số tự nhiên.

Vậy \(-13\ \fbox{∉}\ \mathbb{N}.\)

b) \(-345\ 987\) là số nguyên âm thuộc tập hợp số nguyên.

Vậy \(-345\ 987\ \fbox{∈}\ \mathbb{Z}.\)

c) Ta có \(0 = \displaystyle\frac{0}{1}\) với \(0,\ 1 \in \mathbb{Z},\) \(1 \ne 0 ⇒ 0\) là số hữu tỉ.

Vậy \(0\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

d) Ta có \(10\displaystyle\frac{34}{75} = \displaystyle\frac{784}{75}\) với \(784,\ 75 \in \mathbb{Z},\) \(75 \ne 0 ⇒ 10\displaystyle\frac{34}{75}\) là số hữu tỉ.

Vậy \(10\displaystyle\frac{34}{75}\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

e) Ta có \(\displaystyle\frac{301}{756}=0,39(814)\) không thuộc tập hợp số nguyên.

Vậy \(\displaystyle\frac{301}{756}\ \fbox{∉}\ \mathbb{Z}.\)

g) \(\displaystyle\frac{13}{-499}\) với \(13,\ -499 \in \mathbb{Z},\) \(-499 \ne 0 ⇒ \displaystyle\frac{13}{-499}\) là số hữu tỉ.

Vậy \(\displaystyle\frac{13}{-499}\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

h) \(-11,01\) không thuộc tập hợp số nguyên.

Vậy \(-11,01\ \fbox{ ∉ }\ \mathbb{Z}.\)

i) \(\displaystyle\frac{-21}{-128}\) với \(-21,\ -128 \in \mathbb{Z},\) \(-128 \neq 0 ⇒ \displaystyle\frac{-21}{-128}\) là số hữu tỉ.

Vậy \(\displaystyle\frac{-21}{-128}\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

k) Ta có \(0,3274 = \displaystyle\frac{3274}{10000}\) với \(3274,\ 10000 \in \mathbb{Z},\) \(10000 \ne 0 ⇒ 0,3274\) là số hữu tỉ.

Vậy \(0,3274\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

\(\)

\(3\). Trong giờ học nhóm, ba bạn An, Bình, Chi lần lượt phát biểu như sau:

– An: “Số 0 là số nguyên và không phải là số hữu tỉ.”

– Bình: “Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\displaystyle\frac{a}{b}\) với \(a,\ b ∈ \mathbb{Z}.\)”

– Chi: “Mỗi số nguyên là một số hữu tỉ.”

Theo em, bạn nào phát biểu đúng, bạn nào phát biểu sai? Vì sao?

Giải

– An phát biểu sai do \(0\) viết được dưới dạng phân số \(\displaystyle\frac{0}{1}\) nên \(0\) là số hữu tỉ.

– Bình phát biểu sai do số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\displaystyle\frac{a}{b}\) với \(a,\ b ∈ \mathbb{Z};\ b ≠ 0.\)

– Chi phát biểu đúng do mỗi số nguyên \(a\) viết được dưới dạng phân số \(\displaystyle\frac{a}{1}.\)

\(\)

\(4\). Quan sát trục số ở Hình 5, điểm nào biểu diễn số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{3}{4}?\)

Giải

Ta có \(\displaystyle\frac{3}{4}\) là số hữu tỉ dương nên ở bên phải điểm \(0.\)

Chia đoạn thẳng đơn vị thành \(4\) phần bằng nhau, lấy một đoạn thẳng đơn vị mới bằng \(\displaystyle\frac{1}{4}\) đơn vị cũ.

\(\displaystyle\frac{3}{4}\) nằm bên phải điểm \(0\), cách \(0\) một đoạn bằng \(3\) đơn vị mới.

⇒ Điểm C biểu diễn số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{3}{4}.\)

\(\)

\(5\). Tìm số đối của mỗi số sau: \(\displaystyle\frac{37}{221};\) \(\displaystyle\frac{-93}{1171};\) \(\displaystyle\frac{87}{-19\ 543};\) \(41,02;\ -791,8.\)

Giải

Số đối của các số \(\displaystyle\frac{37}{221};\) \(\displaystyle\frac{-93}{1171};\) \(\displaystyle\frac{87}{-19\ 543};\) \(41,02;\) \(-791,8\) lần lượt là \(\displaystyle\frac{-37}{221};\) \(\displaystyle\frac{93}{1171};\) \(\displaystyle\frac{87}{19\ 543};\) \(-41,02;\) \(791,8.\)

\(\)

\(6\). Biểu diễn số đối của mỗi số đã cho trên trục số sau:

Giải

Số đối của các số \(\displaystyle\frac{-9}{4};\) \(\displaystyle\frac{-7}{4};\) \( – 1;\) \(\displaystyle\frac{-1}{2};\) \(0;\) \(1;\) \(\displaystyle\frac{5}{4}\) lần lượt là \(\displaystyle\frac{9}{4};\) \(\displaystyle\frac{7}{4};\) \(1;\) \(\displaystyle\frac{1}{2};\) \(0;\) \(-1;\) \(\displaystyle\frac{-5}{4}.\)

Chia đoạn thẳng đơn vị (chẳng hạn đoạn từ \(0\) đến 1) thành \(4\) phần bằng nhau, ta được đơn vị mới bằng \(\displaystyle\frac{1}{4}\) đơn vị cũ.

Số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{9}{4}\) nằm bên phải điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một khoảng bằng \(9\) đơn vị mới.

Số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{1}{2}\) nằm bên phải điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một khoảng bằng \(7\) đơn vị mới.

Số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{1}{2}\) hay số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{2}{4}\) nằm bên phải điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một khoảng bằng \(2\) đơn vị mới.

Số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-5}{4}\) nằm bên trái điểm \(0\) và cách điểm \(0\) một khoảng bằng 5 đơn vị mới.

Biểu diễn các số trên trục số như sau:

\(7\). So sánh:

a) \(3\displaystyle\frac{2}{11}\) và \(3,2;\)

b) \(\displaystyle\frac{-5}{211}\) và \(-0,01;\)

c) \(\displaystyle\frac{105}{-15}\) và \(-7,112;\)

d) \(-943,001\) và \(943,0001.\)

Giải

a) Ta có: \(3\displaystyle\frac{2}{11}=\displaystyle\frac{35}{11}=\displaystyle\frac{175}{55};\) \(3,2=\displaystyle\frac{16}{5}=\displaystyle\frac{176}{55}.\)

Do \(\displaystyle\frac{175}{55} < \displaystyle\frac{176}{55}\) nên \(3\displaystyle\frac{2}{11}<3,2.\)

b) Ta có: \(-0,01 = \displaystyle\frac{-1}{100} =\displaystyle\frac{-5}{500}.\)

Do \(\displaystyle\frac{-5}{211}<\displaystyle\frac{-5}{500}\) nên \(\displaystyle\frac{-5}{211}<-0,01.\)

c) Ta có: \(\displaystyle\frac{105}{-15} = -7;\) \(-\displaystyle\frac{2}{7} = \displaystyle\frac{-2.10}{7.10} =-\displaystyle\frac{20}{70}.\)

Do \(-7>-7,112\) nên \(\displaystyle\frac{105}{-15}>-7,112.\)

d) Ta có: \(-943,001 < 0\) và \(943,0001 > 0\) nên \(-943,001 < 943,0001.\)

\(\)

\(8\). Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) \(3\displaystyle\frac{2}{11};\ 2\displaystyle\frac{1}{12};\ \displaystyle\frac{15}{21};\ \displaystyle\frac{17}{21}.\)

b) \(-5,12;\ 0,534;\ – 23;\ 123;\ 0;\ 0,543.\)

Giải

a) Ta có: \(\displaystyle\frac{15}{21}<\displaystyle\frac{17}{21}<1;\)

\(1<2\displaystyle\frac{1}{12}<3\displaystyle\frac{2}{11}.\)

Do đó \(\displaystyle\frac{15}{21}<\displaystyle\frac{17}{21}<2\displaystyle\frac{1}{12}<3\displaystyle\frac{2}{11}.\)

Vậy các số sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: \(\displaystyle\frac{15}{21};\ \displaystyle\frac{17}{21};\ 2\displaystyle\frac{1}{12};\ 3\displaystyle\frac{2}{11}.\)

b) Ta có: \(-23<-5,12;<0<0,534<0,543<123.\)

Vậy các số sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: \(-23;\ -5,12;\ 0;\ 0,534;\ 0,543;\ 123.\)

\(\)

\(9\). Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:

a) \(\displaystyle\frac{2}{15};\ \displaystyle\frac{2}{3};\ -\displaystyle\frac{7}{8};\ \displaystyle\frac{5}{6};\ \displaystyle\frac{-7}{9}.\)

b) \(\displaystyle\frac{19}{22};\ 0,5;\ -\displaystyle\frac{1}{4};\ -0,05;\ 2\displaystyle\frac{1}{6}.\)

Giải

a) Ta có \(-\displaystyle\frac{7}{8}; \displaystyle\frac{-7}{9}<0<\displaystyle\frac{2}{15};\ \displaystyle\frac{2}{3};\ \displaystyle\frac{5}{6};\)

\(-\displaystyle\frac{7}{8}=\displaystyle\frac{-7}{8}< \displaystyle\frac{-7}{9}<0;\)

\(\displaystyle\frac{2}{15}=\displaystyle\frac{4}{30};\) \(\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{20}{30};\) \(\displaystyle\frac{5}{6}=\displaystyle\frac{25}{30}\) nên \(\displaystyle\frac{4}{30}<\displaystyle\frac{20}{30}<\displaystyle\frac{25}{30}.\)

Do đó \(-\displaystyle\frac{7}{8}<\displaystyle\frac{-7}{9}<\displaystyle\frac{2}{15}<\displaystyle\frac{2}{3}<\displaystyle\frac{5}{6}.\)

Vậy các số sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: \(\displaystyle\frac{5}{6};\ \displaystyle\frac{2}{3};\ \displaystyle\frac{2}{15};\ \displaystyle\frac{-7}{9}-\displaystyle\frac{7}{8}.\)

b) Ta có \(-\displaystyle\frac{1}{4};\ -0,05<0<\displaystyle\frac{19}{22};\ 0,5;\ 2\displaystyle\frac{1}{6};\)

\(-\displaystyle\frac{1}{4}=-0,25<-0,05;\)

\(0,5=\displaystyle\frac{11}{22}<\displaystyle\frac{19}{22}<1<2\displaystyle\frac{1}{6}.\)

Do đó \(-\displaystyle\frac{1}{4}<-0,05<0,5<\displaystyle\frac{19}{22}<2\displaystyle\frac{1}{6}.\)

Vậy các số sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: \(2\displaystyle\frac{1}{6};\ \displaystyle\frac{19}{22};\ 0,5;\ -0,05;\ -\displaystyle\frac{1}{4}.\)

\(\)

\(10\). Cho số hữu tỉ \(y=\displaystyle\frac{2a-4}{3}\) (a là số nguyên). Với giá trị nào của a thì:

a) y là số nguyên?

b) y không là số hữu tỉ âm và cũng không là số hữu tỉ dương?

Giải

a) Ta có: 2a – 4 = 2(a – 2).

Với y là số nguyên thì (2a – 4) ⋮3 hay 2(a – 2) ⋮3.