Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ

Chương 1 – Bài 1: Tập hợp Q các số hữu tỉ trang 10 sách giáo khoa toán lớp 7 tập 1 NXB Cánh Diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau.

\(1\). Các số \(13;\ -29;\ -2,1;\) \(2,28;\) \(\displaystyle\frac{-12}{-18}\) có là số hữu tỉ không? Vì sao?

Giải

Ta có \(13 = \displaystyle\frac{13}{1};\ -29 = \displaystyle\frac{-29}{1};\) \(-2,1 = \displaystyle\frac{-21}{10};\ 2,28 = \displaystyle\frac{228}{100}.\)

Số hữu tỉ đều viết được dưới dạng phân số \(\displaystyle\frac{a}{b}\) với \(a,\ b \in \mathbb{Z},\ b \neq 0.\)

Vậy các số \(13;\ -29;\ -2,1;\) \(2,28;\) \(\displaystyle\frac{-12}{-18}\) đều là các số hữu tỉ.

\(\)

\(2\). Chọn kí hiệu “∈”; “∉” thích hợp cho \(\fbox{ ? }\):

a) \(21\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q};\)

b) \(-7\ \fbox{ ? }\ \mathbb{N};\)

c) \(\displaystyle\frac{5}{-7}\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Z};\)

d) \(0\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q};\)

e) \(-7,3\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q};\)

g) \(3\displaystyle\frac{2}{9}\ \fbox{ ? }\ \mathbb{Q}.\)

Giải

a) Ta có: \(21 = \displaystyle\frac{21}{1}\) với \(21,\ 1 \in \mathbb{Z},\) \(1 \neq 0 ⇒ 21\) là số hữu tỉ.

Vậy \(21\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

b) Ta có: \(-7\) là số nguyên âm không thuộc tập số tự nhiên.

Vậy \(-7\ \fbox{∉}\ \mathbb{N}.\)

c) Ta có: \(\displaystyle\frac{5}{-7}\) không thuộc tập số nguyên.

Vậy \(\displaystyle\frac{5}{-7}\ \fbox{∉}\ \mathbb{Z}.\)

d) Ta có: \(0 = \displaystyle\frac{0}{1}\) với \(0,\ 1 \in \mathbb{Z},\) \(1 \ne 0 ⇒ 0\) là số hữu tỉ.

Vậy \(0\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

e) Ta có: \(-7,3 = \displaystyle\frac{-73}{10}\) với \(-73,\ 10 \in \mathbb{Z},\) \(10 \ne 0 ⇒-7,3\) là số hữu tỉ.

Vậy \(-7,3\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

g) Ta có: \(3\displaystyle\frac{2}{9} = \displaystyle\frac{29}{9}\) với \(29,\ 9 \in \mathbb{Z},\) \(9 \ne 0 ⇒ 3\displaystyle\frac{2}{9}\) là số hữu tỉ

Vậy \(3\displaystyle\frac{2}{9}\ \fbox{∈}\ \mathbb{Q}.\)

\(\)

\(3\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Nếu \(a \in \mathbb{N}\) thì \(a \in \mathbb{Q}.\)

b) Nếu \(a \in \mathbb{Z}\) thì \(a \in \mathbb{Q}.\)

c) Nếu \(a \in \mathbb{Q}\) thì \(a \in \mathbb{Q}.\)

d) Nếu \(a \in \mathbb{Q}\) thì \(a \in \mathbb{Z}.\)

e) Nếu \(a \in \mathbb{N}\) thì \(a \notin \mathbb{Q}.\)

g) Nếu \(a \in \mathbb{Z}\) thì \(a \notin \mathbb{Q}.\)

Giải

a) Đúng.

b) Đúng.

c) Sai. Chẳng hạn \(a = \displaystyle\frac{1}{2}\) là số hữu tỉ nhưng a không phải số tự nhiên.

d) Sai. Chẳng hạn \(a = \displaystyle\frac{1}{2}\) là số hữu tỉ nhưng a không phải là số nguyên.

e) Sai. Vì các số tự nhiên là các số hữu tỉ.

g) Sai. Vì các số nguyên là các số hữu tỉ.

\(\)

\(4\). Quan sát trục số sau và cho biết điểm A, B, C, D biểu diễn những số nào:

Giải

Chia đoạn thẳng đơn vị thành 7 phần bằng nhau, lấy một đoạn thẳng đơn vị mới bằng \(\displaystyle\frac{1}{7}\) đơn vị cũ.

+ Điểm A nằm bên trái điểm 0, cách 0 một đoạn bằng 9 đơn vị mới.

⇒ Điểm A biểu diễn số hữu tỉ: \(-\displaystyle\frac{9}{7}.\)

+ Điểm B nằm bên trái điểm 0, cách 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.

⇒ Điểm B biểu diễn số hữu tỉ: \(-\displaystyle\frac{3}{7}.\)

+ Điểm C nằm bên phải điểm 0, cách 0 một đoạn bằng 2 đơn vị mới.

⇒ Điểm C biểu diễn số hữu tỉ: \(\displaystyle\frac{2}{7}.\)

+ Điểm D nằm bên phải điểm 0, cách 0 một đoạn bằng 6 đơn vị mới.

⇒ Điểm D biểu diễn số hữu tỉ: \(\displaystyle\frac{6}{7}.\)

\(\)

\(5\). Tìm số đối của mỗi số sau: \(\displaystyle\frac{9}{25};\) \(\displaystyle\frac{-8}{7};\) \(-\displaystyle\frac{15}{31};\) \(\displaystyle\frac{5}{-6};\) \(3,9;\ -12,5.\)

Giải

– Số đối của số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{9}{25}\) là \(-\displaystyle\frac{9}{25}.\)

– Số đối của số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{-8}{27}\) là \(\displaystyle\frac{8}{27}.\)

– Số đối của số hữu tỉ \(-\displaystyle\frac{15}{31}\) là số \(\displaystyle\frac{15}{31}.\)

– Số đối của số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{5}{-6}\) là số \(\displaystyle\frac{5}{6}.\)

– Số đối của số hữu tỉ \(3,9\) là số \(-3,9.\)

– Số đối của số hữu tỉ \(-12,5\) là số \(12,5.\)

\(\)

\(6\). Biểu diễn số đối của mỗi số đã cho trên trục số sau:

Giải

Số đối của số hữu tỉ \(-\displaystyle\frac{5}{6}\) là \(\displaystyle\frac{5}{6}.\)

Số đối của số hữu tỉ \(-\displaystyle\frac{1}{3}\) là \(\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Số đối của \(1\) là \(1.\)

Số đối của số hữu tỉ \(\displaystyle\frac{7}{6}\) là \(-\displaystyle\frac{7}{6}.\)

Biểu diễn các số trên trục số như sau:

\(\)

\(7\). So sánh:

a) \(2,4\) và \(2\displaystyle\frac{3}{5};\)

b) \(-0,12\) và \(-\displaystyle\frac{2}{5};\)

c) \(-\displaystyle\frac{2}{7}\) và \(-0,3.\)

Giải

a) Ta có: \(2,4 = \displaystyle\frac{24}{10} = \displaystyle\frac{12}{5};\) \(2\displaystyle\frac{3}{5} = \displaystyle\frac{13}{5}.\)

Do \(\displaystyle\frac{12}{5} < \displaystyle\frac{13}{5}\) nên ta có \(2,4 < 2\displaystyle\frac{3}{5}.\)

b) Ta có: \(-0,12 =-\displaystyle\frac{12}{100} =-\displaystyle\frac{3}{25};\) \(-\displaystyle\frac{2}{5} = \displaystyle\frac{-2.5}{5.5} =-\displaystyle\frac{10}{25}\)

Do \(-\displaystyle\frac{3}{25} >-\displaystyle\frac{10}{25}\) nên ta có \(-0,12 >-\displaystyle\frac{2}{5}.\)

c) Ta có: \(-0,3 = \displaystyle\frac{-3}{10} = \displaystyle\frac{-3.7}{7.10} =-\displaystyle\frac{21}{70};\) \(-\displaystyle\frac{2}{7} = \displaystyle\frac{-2.10}{7.10} =-\displaystyle\frac{20}{70}.\)

Do \(-\displaystyle\frac{21}{70} <-\displaystyle\frac{20}{70}\) nên ta có \(-0,3 <-\displaystyle\frac{2}{7}.\)

\(\)

\(8\). a) Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần \(-\displaystyle\frac{3}{7};\ 0,4;\ -0,5;\ \displaystyle\frac{2}{7}.\)

b) Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần \(\displaystyle\frac{-5}{6};\ -0,75;\ -4,5;\ -1.\)

Giải

a) Ta có: \(0,4 = \displaystyle\frac{4}{10} = \displaystyle\frac{4.7}{10.7} = \displaystyle\frac{28}{70};\)

\(-0,5 =-\displaystyle\frac{1}{2}= \displaystyle\frac{-1.35}{2.35} = \displaystyle\frac{-35}{70};\)

\(-\displaystyle\frac{3}{7} = \displaystyle\frac{-3.10}{7.10}= \displaystyle\frac{-30}{70};\)

\(\displaystyle\frac{2}{7} = \displaystyle\frac{2.10}{7.10} = \displaystyle\frac{20}{70}.\)

Mà \(\displaystyle\frac{-35}{70} < \displaystyle\frac{-30}{70} < \displaystyle\frac{20}{70} < \displaystyle\frac{28}{70}\)

Suy ra \(-0,5 < -\displaystyle\frac{3}{7} < \displaystyle\frac{2}{7} < 0,4.\)

Vậy các số sắp xếp theo thứ tự tăng dần là \(-0,5;\ -\displaystyle\frac{3}{7};\ \displaystyle\frac{2}{7};\ 0,4.\)

b) Ta có: \(\displaystyle\frac{-5}{6} = \displaystyle\frac{-5.2}{6.2} = \displaystyle\frac{-10}{12};\)

\(-0,75 = \displaystyle\frac{-3}{4}= \displaystyle\frac{-3.3}{4.3} = \displaystyle\frac{-9}{12};\)

\(-4,5 = -\displaystyle\frac{45}{10} = \displaystyle\frac{-9}{2}= \displaystyle\frac{-9.6}{2.6} = \displaystyle\frac{-54}{12};\)

\(-1 = \displaystyle\frac{-1.12}{1.12} = \displaystyle\frac{-12}{12}.\)

Mà \(\displaystyle\frac{-9}{12} > \displaystyle\frac{-10}{12} > \displaystyle\frac{-12}{12} > \displaystyle\frac{-54}{12}\)

Suy ra: \(-0,75 > -\displaystyle\frac{5}{6} > -1 > -4,5.\)

Vậy các số sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: \(-0,75;\ -\displaystyle\frac{5}{6};\ -1;\ -4,5.\)

\(\)

\(9\). Bạn Linh đang cân khối lượng của mình (Hình 4) ở đó các vạch ghi 46 và 48 lấn lượt ứng với các số đo 46kg và 48kg, Khi nhìn vị trí mà chiếc kim chỉ vào, bạn minh đọc số đo là 47,15kg, bạn Dương đọc số đo là 47,3kg, bạn Quân đọc số đo là 47,65kg. Bạn nào đã đọc đúng số đo? Vì sao?

Giải

Vạch lớn chính giữa hai vạch số 46 và số 48 là chỉ số đo 47 kg.

Từ vạch chỉ số đo 47 kg đến vạch chỉ số đo 48 kg được chia thành 10 đoạn nhỏ mỗi đoạn tương ứng với 0,1 kg.

Do đó từ vạch chỉ số 47 đến vị trí chiếc kim chỉ có 3 đoạn nhỏ nên chiếc kim chỉ số 47,3 kg.

Vậy bạn Dương đã đọc đúng số đo.

\(\)

\(10\). Cô Hạnh dự định xây tầng hầm cho ngôi nhà của gia đình. Một công ty tư vấn xây dựng đã cung cấp cho cô Hạnh lựa chọn một trong sáu số đo chiều cao của tầng hầm như sau: 2,3 m; 2,35 m; 2,4 m; 2,55 m; 2,5 m; 2,75 m. Cô Hạnh dự định chọn chiều cao của tầng hầm lớn hơn \(\displaystyle\frac{13}{5}\) m để đảm bảo ánh sáng, thoáng đãng, cân đối về kiến trúc và thuận tiện trong sử dụng. Em hãy giúp cô Hạnh chọn đúng số đo chiều cao của tầng hầm.