Bài 1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân

Bài \(1\). Quy tắc cộng và quy tắc nhân trang \(36\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Trong một hộp có chứa \(8\) quả bóng màu trắng đánh số từ \(1\) đến \(8\); \(10\) quả bóng màu xanh đánh số từ \(1\) đến \(10\); \(12\) quả bóng màu cam đánh số từ \(1\) đến \(12\). Từ hộp này, có bao nhiêu cách
\(a)\) chọn ra một quả bóng?
\(b)\) chọn ra ba quả bóng có màu khác nhau đôi một?
\(c)\) chọn ra hai quả bóng có màu khác nhau?

Trả lời:

\(a)\) Chọn ra một quả bóng có ba phương án thực hiện:

Phương án \(1\): Chọn một quả bóng màu trắng, có \(8\) cách chọn.

Phương án \(2\): Chọn một quả bóng màu xanh, có \(10\) cách chọn.

Phương án \(3\): Chọn một quả bóng màu cam, có \(12\) cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có số cách chọn ra một quả bóng là: \(8 + 10 + 12 = 30\) cách chọn.

\(b)\) Chọn ra ba quả bóng có màu khác nhau đôi một sẽ có ba công đoạn:

Công đoạn \(1\): Chọn quả bóng màu trắng có \(8\) cách chọn.

Công đoạn \(2\): Ứng với mỗi quả bóng màu trắng, có \(10\) cách chọn một quả bóng màu xanh.

Công đoạn \(3\): Ứng với mỗi quả bóng màu xanh và trắng đã chọn, có \(12\) cách chọn một quả bóng màu cam.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn ra ba quả bóng có màu khác nhau đôi một là: \(8. 10. 12 = 960\) cách chọn.

\(c)\) Chọn ra hai quả bóng có màu khác nhau:

\(+)\) Trường hợp \(1\): Chọn ra \(1\) quả trắng và \(1\) quả xanh:

Có \(8. 10 = 80\) cách chọn

\(+)\) Trường hợp \(2\): Chọn ra \(1\) quả trắng và \(1\) quả cam:

Có \(8. 12 = 96\) cách chọn

\(+)\) Trường hợp \(3\): Chọn ra \(1\) quả xanh và \(1\) quả cam:

Có \(10. 12 = 120\) cách chọn

Áp dụng quy tắc cộng cho \(3\) trường hợp có thể xảy ra, có tất cả \(80 + 96 + 120 = 296\) cách chọn

\(\)

Bài \(2\). Có ba cái hộp, hộp thứ nhất chứa \(2\) quả cầu dán nhãn \(A, B\); Hộp thứ hai chứa \(3\) quả cầu dán nhãn \(a, b, c\); Hộp thứ ba có \(2\) quả cầu dán nhãn \(1, 2\). Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên một quả cầu.
\(a)\) Hãy vẽ sơ đồ hình cây thể hiện tất cả các kết quả có thể xảy ra.
\(b)\) Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Trả lời:

\(a)\) Sơ đồ hình cây thể hiện các kết quả có thể xảy ra là:

\(b)\) Chọn ra ba quả cầu có màu khác nhau đôi một có ba công đoạn:

Công đoạn \(1\): Chọn quả cầu ở hộp thứ nhất có \(2\) cách chọn.

Công đoạn \(2\): Ứng với quả cầu được chọn ở hộp thứ nhất, quả cầu được chọn ở hộp thứ hai có \(3\) cách chọn.

Công đoạn \(3\): Ứng với hai quả cầu được chọn từ hộp thứ nhất và hộp thứ hai, quả cầu được chọn ở hộp thứ ba có \(2\) cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số kết quả có thể xảy ra là: \(2. 3. 2 = 12\) kết quả.

\(\)

Bài \(3\). Ba lớp của một trường đang lên kế hoạch để đi dã ngoại, mỗi lớp có thể chọn một trong năm địa điểm. Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra về cách chọn địa điểm của ba lớp?

Trả lời:

Mỗi lớp có \(5\) cách chọn địa điểm.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn địa điểm của ba lớp là \(5. 5. 5 = 125\) cách chọn.

Vậy có \(125\) kết quả có thể xảy ra về cách chọn địa điểm của ba lớp.

\(\)

Bài \(4\). Mã xác thực (OTP- One Time Password) do một ngân hàng gửi vào điện thoại của khách hàng cho mỗi lần giao dịch là một dãy \(6\) kí tự từ các chữ số từ \(0\) đến \(9\). Có thể tạo ra bao nhiêu mã xác thực khác nhau như vậy?

Trả lời:

Gọi dãy số có \(6\) chữ số là \(abcdef\).

Ta có \(a, b, c, d, e, f\) là các chữ số từ \(0\) đến \(9\)

Mỗi chữ số có \(10\) cách chọn

Suy ra, có tất cả \(10. 10. 10. 10. 10. 10 = 10^6 = 1000000\) mã xác thực có thể tạo ra

\(\)

Bài \(5\). Tung một đồng xu \(5\) lần liên tiếp và ghi lại kết quả (ví dụ dùng kí hiệu SSNSN) để chỉ kết quả \(5\) lần tung lần lượt là sấp, sấp, ngửa, sấp, ngửa). Có bao nhiêu kết quả xác nhau có thể xảy ra?

Trả lời:

Việc tung đồng xu \(5\) lần liên tiếp là việc gồm \(5\) công đoạn.

Mỗi công đoạn có \(2\) kết quả có thể xảy ra là Sấp hoặc Ngửa

Do đó, theo quy tắc nhân, có \(2. 2. 2. 2. 2 = 32\) kết quả có thể xảy ra.

Vậy có tất cả \(32\) kết quả xảy ra khi tung đồng xu \(5\) lần liên tiếp.

\(\)

Bài \(6\). Mã số nhân viên của một công ty có \(4\) kí tự, gồm một chữ cái đầu tiên (từ \(6\) chữ cái \(A, B, C, D, E, F\)) và tiếp theo là \(3\) chữ số (từ các chữ số \(0; 1; …; 9\)). Công ty có thể tạo ra bao nhiêu mã nhân viên theo cách này?

Trả lời:

Công việc gồm \(2\) công đoạn: Chọn kí tự và chọn chữ số

\(+)\) Chọn chữ cái: Chọn \(1\) trong \(6\) kí tự đã cho, có \(6\) cách chọn.

\(+)\) Chọn chữ số: Chọn \(3\) số trong \(10\) số đã cho.

Mỗi số có \(10\) cách chọn nên có \(10. 10. 10 = 1000\) cách chọn \( 3\) số

Vậy có tất cả \(6. 1000 = 6000\) mã số nhân viên có thể tạo ra.

\(\)

Bài \(7\). Có các con đường nối bốn ngôi làng \(A, B, C, D\) như trong Hình \(5\). Có bao nhiêu cách chọn đường đi khác nhau
\(a)\) từ \(A\) qua \(B\) rồi đến \(D\)?
\(b)\) từ \(A\) đến \(D\)?
Lưu ý: Mỗi đường đi qua mỗi ngôi làng nhiều nhất một lần.

Trả lời:

\(a)\) Việc đi từ \(A\) qua \(B\) rồi đến \(D\) bao gồm hai công đoạn:

Công đoạn \(1\): Đi từ \(A\) đến \(B\) có \(2\) cách chọn.

Công đoạn \(2\): Ứng với mỗi cách chọn đường đi từ \(A\) đến \(B\), có \(2\) cách chọn đường đi từ \(B\) đến \(D\).

Áp dụng quy tắc nhân, ta có \(2. 2 = 4\) cách chọn con đường từ \(A\) qua \(B\) rồi đến \(D\).

\(b)\) Đi từ \(A\) đến \(B\) có ba phương án:

Phương án \(1\): Đi từ \(A\) đến \(D\) qua \(B\), có \(4\) cách (theo ý \(a)\))

Phương án \(2\): Đi thẳng từ \(A\) đến \(D\), có \(2\) cách.

Phương án \(3\): Đi từ \(A\) đến \(D\) qua \(C\), có \(4\) cách (tương tự như ý \(a)\)).

Áp dụng quy tắc cộng, có \(2 + 4 + 4 = 10\) con đường từ \(A\) đến \(D\).

\(\)

Bài \(8\). Tung đồng thời hai con xúc xắc khác nhau và ghi lại số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc. Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra mà tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt là bội của \(5\)?

Trả lời:

Ta kí hiệu \((a; b)\) thể hiện kết quả số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lần lượt là \(a\) và \(b\).

Ta có \(1 \leq a \leq 6\) và \(1 \leq b \leq 6\) nên \(2 \leq a + b \leq 12\)

Vậy \(a + b\) là bội của \(5\) khi và chỉ khi\(a + b = 5\) hoặc \(a + b = 10\).

\(+)\) Trường hợp \(1\): \(a + b = 5\) có \(4\) kết quả: \((1; 4), (4; 1), (2; 3), (3; 2)\).

\(+)\) Trường hợp \(2\): \(a + b = 10\) có \(3\) kết quả: \((4; 6), (6; 4), (5; 5)\).

Áp dụng quy tắc cộng, ta có \(4 + 3 = 7\) kết quả có thể xảy ra mà tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt là bội của \(5\).

\(\)

Bài \(9\). Sử dụng \(5\) chữ số \(0; 1; 2; 3; 4\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
\(a)\) có ba chữ số khác nhau?
\(b)\) có \(3\) chữ số khác nhau và bé hơn \(300\)?
\(c)\) có các chữ số khác nhau và bé hơn \(100\)?

Trả lời:

\(a)\) Gọi số có 3 chữ số là \(\overline{abc} (a \neq 0)\)

Chọn \(a\), có 4 cách chọn \((1; 2; 3; 4)\)

Chọn \(b\), có \(4\) cách chọn.

Chọn \(c\), có \(3\) cách chọn.

Vậy có \(4. 4. 3 = 48\) số tự nhiên có ba chữ số khác nhau.

\(b)\) Gọi số có 3 chữ số là \(\overline{abc} (a \neq 0)\)

\(\overline{abc} < 300\) nên \(a\) có \(2\) cách chọn là \(1\) hoặc \(2\)

Khi đó, chọn \(b\) có \(4\) cách chọn.

Chọn \(c\) có \(3\) cách chọn

Vậy có tất cả \(2. 4. 3 = 24\) số có ba chữ số khác nhau và bé hơn \(300\).

\(c)\) Các số bé hơn 100 là các số có 1 chữ số và các số có 2 chữ số

Trường hợp \(1\): số có \(1\) chữ số: có 5 số: \(0; 1; 2; 3; 4\)

Trường hợp \(2\): Số có \(2\) chữ số, kí hiệu \(\overline{ab} (a \neq 0)\)

Chọn \(a\), có \(4 \) cách chọn.

Chọn \(b\), có \(4\) cách chọn.

Suy ra có \(4. 4 = 16\) số có \(2\) chữ số

Vậy có tất cả \(5+16 = 21\) số có các chữ số khác nhau và bé hơn \(100\).

\(\)

Bài \(10\). Một khoá tổ hợp với đĩa quay có \(40\) vạch số (xem Hình \(7\)). Mật mã của khoá là một dãy gồm \(3\) số, kí hiệu là \(a – b – c\), mỗi số là một số tự nhiên từ \(0\) đến \(39\). Để mở khoá, cần quay mặt số ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi điểm mốc gặp vạch số \(a\) lần thứ ba, rồi quay mặt số theo chiều ngược lại cho đến khi điểm mốc gặp vạch số \(b\) lần thứ hai, cuối cùng quay mặt số ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi điểm mốc gặp vạch số \(c\) lần đầu tiên. Nếu \(a, b, c\) phải khác nhau đôi một, thì có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khoá tổ hợp trên?