Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn

Chương 7 – Bài 1: Phương trình bậc nhất một ẩn trang 41 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều.

1. Kiểm tra xem số nào là nghiệm của phương trình tương ứng sau đây.

a) \(6,36-5,3x = 0\) với \(x =-1,5;\) \(x = 1,2.\)

b) \(-\displaystyle\frac{5}{9}x+1=\displaystyle\frac{2}{3}x-10\) với \(x = 6;\) \(x = 9.\)

c) \(11-2x = x-1\) với \(x =-4;\) \(x = 4.\)

d) \(3x + 1 = 7x-11\) với \(x =-2;\) \(x = 3.\)

Giải

a) – Với \(x =-1,5\) tính giá trị vế trái ta có:

\(6,36-5,3x = 6,36-5,3.(-1,5) = 14,31.\)

Với \(x =-1,5,\) giá trị của vế trái khác vế phải. Vậy \(x =-1,5\) không là nghiệm của phương trình \(6,36-5,3x = 0.\)

– Với \(x = 1,2\) tính giá trị vế trái ta có:

\(6,36-5,3x = 6,36-5,3.1,2 = 0.\)

Do đó \(x = 1,2\) là nghiệm của phương trình \(6,36-5,3x = 0.\)

b) – Với \(x = 6,\) tính giá trị mỗi vế của phương trình ta có:

\(-\displaystyle\frac{5}{9}x+1 =-\displaystyle\frac{5}{9}.6+1 = -3;\) \(\displaystyle\frac{2}{3}x-10 = \displaystyle\frac{2}{3}.6-10 = -6.\)

Với \(x = 6\) giá trị của vế trái khác vế phải. Vậy \(x = 6\) không là nghiệm của phương trình \(-\displaystyle\frac{5}{9}x+1=\displaystyle\frac{2}{3}x-10.\)

– Với \(x = 9,\) tính giá trị mỗi vế của phương trình ta có:

\(-\displaystyle\frac{5}{9}x+1 =-\displaystyle\frac{5}{9}.9+1 = -4;\) \(\displaystyle\frac{2}{3}x-10 = \displaystyle\frac{2}{3}.9-10 = -4.\)

Do đó \(x = 9\) là nghiệm của phương trình \(-\displaystyle\frac{5}{9}x+1=\displaystyle\frac{2}{3}x-10.\)

c) – Với \(x =-4,\) tính giá trị mỗi vế của phương trình ta có:

\(11-2x = 11-2.(-4) = 19;\) \(x-1 = (-4)-1 =-5.\)

Với \(x =-4\) giá trị của vế trái khác vế phải. Vậy \(x =-4\) không là nghiệm của phương trình \(11-2x = x-1.\)

– Với \(x = 4,\) tính giá trị mỗi vế của phương trình ta có:

\(11-2x = 11-2.4 = 3;\) \(x-1 = 4-1 = 3.\)

Do đó \(x = 4\) là nghiệm của phương trình \(11-2x = x-1.\)

d) – Với \(x =-2,\) tính giá trị mỗi vế của phương trình ta có:

\(3x + 1 = 3.(-2) + 1 =-5;\) \(7x-11 = 7.(-2)-11 =-25.\)

Với \(x =-2\) giá trị của vế trái khác vế phải. Vậy \(x =-2\) không là nghiệm của phương trình \(3x + 1 = 7x-11.\)

– Với \(x = 3,\) tính giá trị mỗi vế của phương trình ta có:

\(3x + 1 = 3.3 + 1 = 10;\) \(7x-11 = 7.3-11 = 10.\)

Do đó \(x = 3\) là nghiệm của phương trình \(3x + 1 = 7x-11.\)

\(\)

2. Tìm giá trị của \(t\) để mỗi phương trình có nghiệm tương ứng:

a) \(3x + t = 0\) có nghiệm \(x =-2;\)

b) \(7x-t = 0\) có nghiệm \(x =-1;\)

c) \(13x + t = 0\) có nghiệm \(x = \displaystyle\frac{1}{2}.\)

Giải

a) Thay \(x =-2\) vào phương trình \(3x + t = 0,\) ta được:

\(3.(-2) + t = 0\)

\(-6 + t = 0\)

\(t = 6.\)

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm \(x =-2\) thì \(t = 6.\)

b) Thay \(x =-1\) vào phương trình \(7x-t = 0,\) ta được:

\(7.(-1)-t = 0\)

\(-7-t = 0\)

\(t =-7.\)

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm \(x =-1\) thì \(t =-7.\)

c) Thay \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\) vào phương trình \(\displaystyle\frac{1}{3}x + t = 0,\) ta được:

\(\displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{1}{2} + t = 0\)

\(\displaystyle\frac{1}{6} + t = 0\)

\(t = -\displaystyle\frac{1}{6}.\)

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm \(x = \displaystyle\frac{1}{2}\) thì \(t = -\displaystyle\frac{1}{6}.\)

\(\)

3. Cho hai phương trình ẩn \(x:\)

\(3(x-k) + k + 1 = 0\) \(\qquad (1)\)

\(5x = 4(2x-k)\) \(\qquad \qquad (2)\)

a) Xác định giá trị của \(k,\) biết phương trình \((1)\) nhận \(x = 5\) làm nghiệm.

b) Giải phương trình \((2)\) với giá trị của \(k\) tìm được ở câu a.

Giải

a) Do \((1)\) nhận \(x = 5\) làm nghiệm nên \(3(5-k) + k + 1 = 0\) hay \(15-3k + k + 1 = 0.\)

Từ đó tìm được \(k = 8.\)

b) Với \(k = 8\) phương trình \((2)\) trở thành \(5x = 4(2x-8)\) hay \(5x = 8x-32\) hay \(3x = 32.\)

Từ đó, \(x = \displaystyle\frac{32}{3}.\)

\(\)

4. Giải các phương trình:

a) \(11x + 197 = 0;\)

b) \(174x-5 = 0;\)

c) \(-3x-1 = 3;\)

d) \(11-6x =-x + 2;\)

e) \(3,4(x + 2)-2x = 5,5;\)

f) \(5x + 7 = 2(x-1).\)

Giải

a) \(11x + 197 = 0\)

\(11x =-197\)

\(x =-\displaystyle\frac{197}{11}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = -\displaystyle\frac{197}{11}.\)

b) \(\displaystyle\frac{17}{4}x-5 = 0\)

\(\displaystyle\frac{17}{4}x = 5\)

\(x = \displaystyle\frac{20}{17}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \displaystyle\frac{20}{17}.\)

c) \(-3x-1 = 3\)

\(-3x = 3 + 1\)

\(-3x = 4\)

\(x = -\displaystyle\frac{4}{3}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = -\displaystyle\frac{4}{3}.\)

d) \(11-6x =-x + 2\)

\(-6x + x = 2-11\)

\(-5x =-9\)

\(x = \displaystyle\frac{9}{5}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \displaystyle\frac{9}{5}.\)

e) \(3,4(x + 2)-2x = 5,5\)

\(3,4x + 6,8-2x = 5,5\)

\(3,4x-2x = 5,5-6,8\)

\(1,4x =-1,3\)

\(x = -\displaystyle\frac{13}{14}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = -\displaystyle\frac{13}{14}.\)

f) \(5x + 7 = 2(x-1)\)

\(5x + 7 = 2x-2\)

\(5x-2x =-2-7\)

\(3x =-9\)

\(x =-3\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =-3.\)

\(\)

5. Giải các phương trình:

a) \(\displaystyle\frac{2x}{15}-\displaystyle\frac{15-2x}{10} = \displaystyle\frac{7}{6};\)

b)\(\displaystyle\frac{x}{20}-\displaystyle\frac{x + 10}{25} = 2;\)

c) \(\displaystyle\frac{2x-37}{3} = -4x + 5;\)

d)\(\displaystyle\frac{3(3x + 1) + 2}{2}-3 = \displaystyle\frac{2(5x + 1)}{3}-\displaystyle\frac{3x + 1}{6}.\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{2x}{15}-\displaystyle\frac{15-2x}{10} = \displaystyle\frac{7}{6}\)

\(\displaystyle\frac{4x}{30}-\displaystyle\frac{45-6x}{30} = \displaystyle\frac{35}{30}\)

\(4x-45 + 6x = 35\)

\(4x + 6x = 35 + 45\)

\(10x = 80\)

\(x = 8\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 8.\)

b) \(\displaystyle\frac{x}{20}-\displaystyle\frac{x + 10}{25} = 2\)

\(\displaystyle\frac{5x}{100}-\displaystyle\frac{4x + 40}{100} = \displaystyle\frac{200}{100}\)

\(5x-4x-40 = 200\)

\(5x-4x = 200 + 40\)

\(x = 240\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 240.\)

c) \(\displaystyle\frac{2x-37}{3} =-4x + 5\)

\(\displaystyle\frac{2x-37}{3} =\displaystyle\frac{-12x + 15}{3}\)

\(2x-37 =-12x + 15\)

\(2x + 12x = 15 + 37\)

\(14x = 52\)

\(x = \displaystyle\frac{26}{7}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \displaystyle\frac{26}{7}.\)

d) \(\displaystyle\frac{3(3x + 1) + 2}{2}-3 = \displaystyle\frac{2(5x + 1)}{3}-\displaystyle\frac{3x + 1}{6}\)

\(\displaystyle\frac{3\left[3(3x + 1) + 2\right]}{6}-\displaystyle\frac{18}{6} = \displaystyle\frac{4(5x + 1)}{6}-\displaystyle\frac{3x + 1}{6}\)

\(27x + 9 + 6-18 =20x + 4-3x-1\)

\(27x-20x + 3x = 4-1-15 + 18\)

\(10x = 6\)

\(x = 0,6\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 0,6.\)

\(\)

6. Cho hai phương trình:

\(3(x-1) = 2x\) \(\qquad (1)\)

\(|x-1| = 2\) \(\ \quad \qquad (2)\)

a) Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm chung \(x = 3.\)

b) Chứng tỏ \(x =-1\) là nghiệm của phương trình \((2)\) nhưng không là nghiệm của phương trình \((1).\)

Giải

a) – Thay \(x = 3\) vào 2 vế của phương trình \((1)\) ta có:

\(3(x-1) = 3(3-1) = 3.2 = 6;\) \(2x = 2.3 = 6.\)

Do đó, \(x = 3\) là nghiệm của phương trình \((1).\)

– Thay \(x = 3\) vào vế trái của phương trình \((2)\) ta có:

\(|x-1| = |3-1| = |2| = 2.\)

Do đó, \(x = 3\) là nghiệm của phương trình \((2).\)

Vậy \(x = 3\) là nghiệm chung của hai phương trình.

b) – Thay \(x =-1\) vào 2 vế của phương trình \((1)\) ta có:

\(3(x-1) = 3(-1-1) = 3.(-2) =-6;\) \(2x = 2.(-1) =-2.\)

Ta thấy giá trị của vế trái khác vế phải.

Do đó \(x =-1\) không là nghiệm của phương trình \((1).\)

– Thay \(x =-1\) vào phương trình \((2)\) ta có:

\(|x-1| = |-1-1| = |-2| = 2.\)

Do đó, \(x =-1\) là nghiệm của phương trình \((2).\)

Vậy \(x =-1\) là nghiệm của phương trình \((2)\) nhưng không là nghiệm của phương trình \((1).\)

\(\)

7. Cho \(A = \displaystyle\frac{3x-1}{4};\) \(B = \displaystyle\frac{7-4x}{5}.\) Tìm giá trị của \(x\) để:

a) \(A = B;\)

b) \(A-B = 2.\)

Giải

a) Để \(A = B\) thì:

\(\displaystyle\frac{3x-1}{4}=\displaystyle\frac{7-4x}{5}\)

\(\displaystyle\frac{5(3x-1)}{20}=\displaystyle\frac{4(7-4x)}{20}\)

\(15x-5 = 28-16x\)

\(15x + 16x = 28 + 5\)

\(31x = 33\)

\(x = \displaystyle\frac{33}{31}\)

Vậy \(x = \displaystyle\frac{33}{31}\) thì \(A = B.\)

b) Để \(A-B = 2\) thì:

\(\displaystyle\frac{3x-1}{4}-\displaystyle\frac{7-4x}{5} = 2\)

\(\displaystyle\frac{5(3x-1)}{20}-\displaystyle\frac{4(7-4x)}{20}=\displaystyle\frac{2.20}{20}\)

\(15x-5-28 + 16x = 40\)

\(15x + 16x = 40 + 5 + 28\)

\(31x = 73\)

\(x = \displaystyle\frac{73}{31}\)

Vậy \(x = \displaystyle\frac{73}{31}\) thì \(A-B = 2.\)

\(\)

8. Người ta dùng một đoạn dây thép và uốn nó thành hai hình vuông ABCD, MNPQ như Hình 2. Độ dài cạnh hình vuông MNPQ là x (cm). Độ dài cạnh hình vuông ABCD hơn ba lần độ dài cạnh hình vuông MNPQ là 3 cm. Sau khi uốn xong còn thừa đoạn dây thép ME dài 2 cm. Tìm x, biết độ dài đoạn dây thép đã dùng là 62 cm.