Chương 2 – Bài 1. Phân thức đại số trang 33 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.
1. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{3}{2x(5-x)};\)
b) \(\displaystyle\frac{4x}{x^2-4};\)
c) \(\displaystyle\frac{x}{y^2 + 2xy};\)
d) \(\displaystyle\frac{6,4y}{0,4x^2 + 0,4x}\)
Giải
a) Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{3}{2x(5-x)}\) là: \(2x(5-x) \ne 0.\)
b) Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{4x}{x^2-4}\) là: \(x^2-4 \ne 0.\)
c) Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{x}{y^2 + 2xy}\) là: \(y^2 + 2xy \ne 0.\)
d) Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{6,4y}{0,4x^2 + 0,4x}\) là: \(0,4x^2 + 0,4x \ne 0.\)
\(\)
2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy giải thích vì sao có thể viết:
a) \(\displaystyle\frac{x^2y^3}{2x^2y^2} = \displaystyle\frac{y}{2};\)
b) \(\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x + 1} = \displaystyle\frac{x^2-3x + 2}{x-1};\)
c) \(\displaystyle\frac{x^2-3x + 9}{x^3 + 27} = \displaystyle\frac{1}{x + 3}.\)
Giải
a) Ta có: \(x^2y^3.2 = 2x^2y^3\) và \(2x^2y^2.y = 2x^2y^3\) nên \(x^2y^3.2 = 2x^2y^2.y.\)
Vậy \(\displaystyle\frac{x^2y^3}{2x^2y^2} = \displaystyle\frac{y}{2}.\)
b) Ta có: \((x^2-x-2)(x-1)\) \(= x^3-x^2-2x-x^2 + x + 2\) \(= x^3-2x^2-x + 2\) và \((x + 1)(x^2-3x + 2)\) \(= x^3-3x^2 + 2x + x^2-3x + 2\) \(= x^3-2x^2-x + 2\)
Vậy \(\displaystyle\frac{x^2-x-2}{x + 1} = \displaystyle\frac{x^2-3x + 2}{x-1}.\)
c) Ta có: \((x^2-3x + 9)(x + 3)\) \(= x^3-3x^2 + 9x + 3x^2-9x + 27\) \(= x^3 + 27\) và \((x^3 + 27).1 = x^3 + 27.\)
Vậy \(\displaystyle\frac{x^2-3x + 9}{x^3 + 27} = \displaystyle\frac{1}{x + 3}.\)
\(\)
3. Mỗi cặp phân thức sau có bằng nhau không? Vì sao?
a) \(\displaystyle\frac{x}{5x-5}\) và \(\displaystyle\frac{1}{5};\)
b) \(\displaystyle\frac{-x}{x-5}\) và \(\displaystyle\frac{-x(x-5)}{(x-5)^2};\)
c) \(\displaystyle\frac{-5}{-x-y}\) và \(\displaystyle\frac{5}{x + y};\)
d) \(\displaystyle\frac{-x}{(x-3)^2}\) và \(\displaystyle\frac{x}{(3-x)^2}.\)
Giải
a) Ta có: \(x.5 = 5x\) và \((5x + 5).1 = 5x + 5.\)
Do \(x.5 \ne (5x + 5).1\) nên hai phân thức \(\displaystyle\frac{x}{5x-5}\) và \(\displaystyle\frac{1}{5}\) không bằng nhau.
b) Ta có: \(-x.(x-5)^2 = -x(x-5)^2\) và \((x-5).[-x(x-5)] = -x(x-5)^2\) nên \(-x.(x-5)^2 = (x-5).[-x(x-5)].\)
Vậy \(\displaystyle\frac{-x}{x-5} = \displaystyle\frac{-x(x-5)}{(x-5)^2}.\)
c) Ta có: \(-5.(x + y) = -5(x + y)\) và \((-x-y).5 = -5(x + y)\) nên \(-5.(x + y) = (-x-y).5.\)
Vậy \(\displaystyle\frac{-5}{-x-y} = \displaystyle\frac{5}{x + y}.\)
d) Ta có: \(-x.(3-x)^2 = -x(x-3)^2\) và \((x-3)^2.x = x(x-3)^2.\)
Do \(-x{(x-3)^2} \ne x{(x-3)^2}\) nên khi \(x≠0\) và \(x≠3\) thì hai phân thức \(\displaystyle\frac{-x}{(x-3)^2}\) và \(\displaystyle\frac{x}{(3-x)^2}\) không bằng nhau.
\(\)
4. Rút gọn mỗi phân thức sau:
a) \(\displaystyle\frac{25x^2y^3}{35x^3y^2};\)
b) \(\displaystyle\frac{x-y}{y-x};\)
c) \(\displaystyle\frac{(-x)^5y^2}{x^2(-y)^3};\)
d) \(\displaystyle\frac{x^2-2x}{x^3-4x^2 + 4x};\)
Giải
a) Điều kiện xác định của phân thức là \(x \ne 0;\ y \ne 0.\)
Ta có: \(\displaystyle\frac{25x^2y^3}{35x^3y^2} = \displaystyle\frac{5.5x^2y^3}{5.7x^3x^2} = \displaystyle\frac{5y}{7x}.\)
b) Điều kiện xác định của phân thức là \(y-x \ne 0.\)
Ta có: \(\displaystyle\frac{x-y}{y-x} = \displaystyle\frac{-(y-x)}{y-x} = -1\)
c) Điều kiện xác định của phân thức là \(x \ne 0;y \ne 0.\)
Ta có: \(\displaystyle\frac{(-x)^5y^2}{x^2(-y)^3} = \displaystyle\frac{(-1).x^5y^2}{(-1).x^2y^3} = \displaystyle\frac{x^3}{y}.\)
d) Điều kiện xác định của phân thức là \({x^3}-4{x^2} + 4x \ne 0.\)
Ta có: \(\displaystyle\frac{x^2-2x}{x^3-4x^2 + 4x} = \displaystyle\frac{x(x-2)}{x(x^2-4x + 4)}\) \(= \displaystyle\frac{x(x-2)}{x(x-2)^2} = \displaystyle\frac{1}{x-2}.\)
\(\)
5. Tính giá trị của biểu thức:
a) \(A = \displaystyle\frac{x^5y^2}{(xy)^3}\) tại \(x = 1;\ y = 2;\)
b) \(B = \displaystyle\frac{-4(x-2)x^2}{20(2-x)y^2}\) tại \(x = \displaystyle\frac{1}{2};\ y = \displaystyle\frac{1}{5};\)
c) \(C = \displaystyle\frac{x^2-8x + 7}{x^2-1}\) tại \(x = -7;\)
d) \(D = \displaystyle\frac{5x^2-10xy + 5y^2}{x^2-y^2}\) tại \(x = 0,5;\ y = 0,6.\)
Giải
a) Điều kiện xác định: \({(xy)^3} \ne 0.\)
Ta có \(A = \displaystyle\frac{x^5y^2}{(xy)^3} = \displaystyle\frac{x^5y^2}{x^3y^3} = \displaystyle\frac{x^2}{y}.\)
Giá trị của \(A\) khi \(x = 1;\ y = 2\) là: \(\displaystyle\frac{{{1^2}}}{2} = \displaystyle\frac{1}{2}.\)
b) Điều kiện xác định: \(20(2-x){y^2} \ne 0.\)
Ta có \(B = \displaystyle\frac{-4(x-2)x^2}{20(2-x)y^2} = \displaystyle\frac{{-4.-(2-x){x^2}}}{{20.(2-x){y^2}}} = \displaystyle\frac{{{x^2}}}{{5{y^2}}}.\)
Giá trị của \(A\) khi \(x = \displaystyle\frac{1}{2};\ y = \displaystyle\frac{1}{5}\) là: \(\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}{5.\left(\displaystyle\frac{1}{5}\right)^2} = \displaystyle\frac{5}{4}.\)
c) Điều kiện xác định: \({x^2}-1 \ne 0.\)
Ta có \(C = \displaystyle\frac{x^2-8x + 7}{x^2-1} = \displaystyle\frac{{(x-7)(x-1)}}{{(x-1)(x + 1)}} = \displaystyle\frac{{x-7}}{{x + 1}}.\)
Giá trị của \(C\) khi \(x = -7\) là: \(\displaystyle\frac{{(-7-7)}}{{(-7-1)}} = \displaystyle\frac{7}{4}.\)
d) Điều kiện xác định: \({x^2} + {y^2} \ne 0.\)
Ta có \(D = \displaystyle\frac{5x^2-10xy + 5y^2}{x^2-y^2} = \displaystyle\frac{5(x^2-2xy + y^2)}{(x-y)(x + y)}\) \(= \displaystyle\frac{5(x-y)^2}{(x-y)(x + y)} = \displaystyle\frac{5(x-y)}{(x + y)}.\)
Giá trị của \(D\) khi \(x = 0,5;\ y = 0,6\) là: \(\displaystyle\frac{5(0,5-0,6)}{(0,5 + 0,6)} = -\displaystyle\frac{5}{11}.\)
\(\)
6. Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\displaystyle\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}};\ \displaystyle\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}}\) và \(\displaystyle\frac{x}{{20{y^3}z}};\)
b) \(\displaystyle\frac{x}{{2x + 6}}\) và \(\displaystyle\frac{4}{{{x^2}-9}};\)
c) \(\displaystyle\frac{{2x}}{{{x^3}-1}}\) và \(\displaystyle\frac{{x-1}}{{{x^2} + x + 1}};\)
d) \(\displaystyle\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}}\) và \(\displaystyle\frac{3}{{5{x^2}-5}}.\)
Giải
a) Chọn MTC là: \(60{x^4}{y^3}{z^3}.\)
Nhân tử phụ của ba mẫu thức \(15{x^3}{y^2};\ 10{x^4}{z^3};\ 20{y^3}z\) lần lượt là: \(4xy{z^3};\ 6{y^3};\ 3{x^4}{z^2}.\)
Vậy: \(\displaystyle\frac{2}{{15{x^3}{y^2}}} = \displaystyle\frac{{2(4xy{z^3})}}{{15{x^3}{y^2}.4xy{z^3}}} = \displaystyle\frac{{8xy{z^3}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}};\)
\(\displaystyle\frac{y}{{10{x^4}{z^3}}} = \displaystyle\frac{{y.6{y^3}}}{{10{x^4}{z^3}}} = \displaystyle\frac{{6{y^4}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}};\)
\(\displaystyle\frac{x}{{20{y^3}z}} = \displaystyle\frac{{x.3{x^4}{z^2}}}{{20{y^3}z.3{x^4}{z^2}}} = \displaystyle\frac{{3{x^5}{z^2}}}{{60{x^4}{y^3}{z^3}}}.\)
b) Ta có: \(2x + 6 = 2(x + 3);\) \({x^2}-9 = (x + 3)(x-3).\)
Chọn MTC là: \(2({x^2}-9).\)
Nhân tử phụ của hai mẫu thức \(2x + 6;\ {x^2}-9\) lần lượt là \((x-3);\ 2.\)
Vậy: \(\displaystyle\frac{x}{{2x + 6}} = \displaystyle\frac{{x(x-3)}}{{2(x + 3)(x-3)}} = \displaystyle\frac{{{x^2}-3x}}{{2({x^2}-9)}};\)
\(\displaystyle\frac{4}{{{x^2}-9}} = \displaystyle\frac{{4.2}}{{2(x + 3)(x-3)}} = \displaystyle\frac{8}{{2({x^2}-9)}}.\)
c) Ta có: \({x^3}-1 = (x-1)(x^2 + x + 1).\)
Chọn MTC là: \((x-1)(x^2 + x + 1).\)
Nhân tử phụ của hai mẫu thức \({x^3}-1;\ {x^2} + x + 1\) lần lượt là: \(1;\ (x-1).\)
Vậy: \(\displaystyle\frac{{2x}}{{{x^3}-1}}=\displaystyle\frac{{2x}}{(x-1)(x^2 + x + 1)};\)
\(\displaystyle\frac{{x-1}}{{{x^2} + x + 1}} = \displaystyle\frac{{(x-1)(x-1)}}{{(x-1)({x^2} + x + 1)}} = \displaystyle\frac{{{{(x-1)}^2}}}{{{x^3}-1}}.\)
d) Ta có: \(1 + 2x + {x^2} = {(x + 1)^2};\) \(5{x^2}-5 = 5({x^2}-1) = 5(x-1)(x + 1).\)
Chọn MTC là: \(5(x-1){(x + 1)^2}.\)
Nhân tử phụ của hai mẫu thức \(1 + 2x + {x^2};\ 5{x^2}-5\) lần lượt là: \(5(x-1);\ x + 1.\)
Vậy: \(\displaystyle\frac{x}{{1 + 2x + {x^2}}} = \displaystyle\frac{{x.5.(x-1)}}{{5(x-1){{(x + 1)}^2}}} = \displaystyle\frac{{5x(x-1)}}{{5(x-1){{(x + 1)}^2}}};\)
\(\displaystyle\frac{3}{{5{x^2}-5}} = \displaystyle\frac{{3(x + 1)}}{{5(x-1){{(x + 1)}^2}}}.\)
\(\)
7. Chứng tỏ giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến (với \(a\) là một số):
a) \(\displaystyle\frac{{{x^2}-{y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ax-ay} \right)}}\ \left( {a \ne 0} \right);\)
b) \(\displaystyle\frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2}-{x^2}}}{{2x + a}}.\)
Giải
a) Ta có: \(\displaystyle\frac{{{x^2}-{y^2}}}{{\left( {x + y} \right)\left( {ax-ay} \right)}} = \displaystyle\frac{{\left( {x-y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right).a\left( {x-y} \right)}} = \displaystyle\frac{1}{a}.\)
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Ta có: \(\displaystyle\frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2}-{x^2}}}{{2x + a}} = \displaystyle\frac{{\left( {x + a-x} \right)\left( {x + a + x} \right)}}{{2x + a}}\) \(= \displaystyle\frac{{a\left( {2x + a} \right)}}{{2x + a}} = a.\)
Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.
\(\)
8. Một miếng bìa có dạng hình vuông với độ dài xạnh là x (cm). Người ta cắt đi ở mỗi góc của miếng bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh là y (cm) với 0 < 2y < x (Hình 2).
a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt.
b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 4; y = 1.
Giải
a) Diện tích của miếng bìa ban đầu là: \({x^2}\ (cm^2).\)
Diện tích của phần bìa còn lại sau khi cắt là: \({x^2}-4{y^2}\ (cm^2).\)
Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của miếng bìa ban đầu và phần miếng bìa còn lại sau khi bị cắt là: \(\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{{x^2}-4{y^2}}}.\)
b) Giá trị của phân thức \(\displaystyle\frac{{{x^2}}}{{{x^2}-4{y^2}}}\) tại \(x = 4;\ y = 1\) là: \(\displaystyle\frac{{{4^2}}}{{{4^2}-{{4.1}^2}}} = \displaystyle\frac{16}{12} = \displaystyle\frac{4}{3}.\)
\(\)
Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương 1
Xem bài giải tiếp theo: Bài 2. Phép cộng, phép trừ phân thức đại số
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Cánh Diều
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
