Bài 1. Phân thức đại số

Chương 2 – Bài 1. Phân thức đại số trang 24 sách giáo khoa toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Quan sát hai hình dưới đây và thay mỗi dấu ? cho thích hợp.

a) \(\displaystyle\frac{x}{3x+3};\)

b) \(\displaystyle\frac{4y}{y^2+16};\)

c) \(\displaystyle\frac{x+y}{x-y}.\)

Giải

a) Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{x}{3x+3}\) là \(3y + 3 ≠ 0.\)

b) Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{4y}{y^2+16}\) là \(x^2 + 16 ≠ 0.\)

c) Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{x+y}{x-y}\) là \(x-y ≠ 0.\)

\(\)

2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a) \(\displaystyle\frac{3x}{2}=\displaystyle\frac{15xy}{10y};\)

b) \(\displaystyle\frac{3x-3y}{2y-2x}=\displaystyle\frac{-3}{2};\)

c) \(\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x}=\displaystyle\frac{x^3+1}{x(x+1)}.\)

Giải

a) Ta có \(3x.10y=30xy\) và \(2.15xy=30xy\) nên \(3x.10y=2.15xy.\)

Vậy \(\displaystyle\frac{3x}{2}=\displaystyle\frac{15xy}{10y}.\)

b) Ta có \((3x-3y) . 2 = 6x-6y\) và \(-3(2y-2x) =-6y + 6x = 6x-6y.\) nên \((3x-3y) . 2 =-3(2y-2x).\)

Vậy \(\displaystyle\frac{3x-3y}{2y-2x}=\displaystyle\frac{-3}{2}.\)

c) Ta có \((x^2-x + 1) . x(x + 1) = x(x + 1)(x^2-x + 1) = x(x^3 + 1).\)

Vậy \(\displaystyle\frac{x^2-x+1}{x}=\displaystyle\frac{x^3+1}{x(x+1)}.\)

\(\)

3. Rút gọn mỗi phân thức sau:

a) \(\displaystyle\frac{24x^2y^2}{16xy^3};\)

b) \(\displaystyle\frac{6x-2y}{9x^2-y^2}.\)

Giải

a) \(\displaystyle\frac{24x^2y^2}{16xy^3}=\displaystyle\frac{8xy^2\ .\ 3x}{8xy^2\ .\ 2y}=\displaystyle\frac{3x}{2y}.\)

b) \(\displaystyle\frac{6x-2y}{9x^2-y^2}=\displaystyle\frac{6x-y}{(3x)^2-y^2}\)

\(=\displaystyle\frac{2(3x-y)}{(3x-y)(3x+y)}=\displaystyle\frac{2}{3x+y}.\)

\(\)

4. Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\displaystyle\frac{2}{x-3y}\) và \(\displaystyle\frac{3}{x+3y};\)

b) \(\displaystyle\frac{7}{4x+24}\) và \(\displaystyle\frac{13}{x^2-36}.\)

Giải

a) MTC: \((x-3y)(x + 3y)\)

Nhân tử phụ của các mẫu thức trên lần lượt là: \(x+3y,\ x-3y.\)

Vậy \(\displaystyle\frac{2}{x-3y}=\displaystyle\frac{2(x+3y)}{(x-3y)(x+3y)};\)

\(\displaystyle\frac{3}{x+3y}=\displaystyle\frac{3(x-3y)}{(x-3y)(x+3y)}.\)

b) Ta có: \(4x + 24 = 4(x + 6); x^2-36 = (x + 6)(x-6).\)

Suy ra MTC: \(4(x + 6)(x-6).\)

Nhân tử phụ của các mẫu thức trên lần lượt là: \(x-6,\ 4.\)

Vậy \(\displaystyle\frac{7}{4x+24}=\displaystyle\frac{7}{4(x+6)}=\displaystyle\frac{7(x-6)}{4(x+6)(x-6)};\)

\(\displaystyle\frac{13}{x^2-36}=\displaystyle\frac{13.4}{(x+6)(x-6).4}=\displaystyle\frac{52}{4(x+6)(x-6)}.\)

\(\)

5. Cho hình chữ nhật ABCD và MNPQ như Hình 1 (các số đo trên hình tính theo đơn vị centimét).

a) Viết phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ.

b) Tính giá trị của phân thức đó tại x = 2 và tại x = 5.

Giải

a) Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: \((x+1)(x+3).\)

Diện tích của hình chữ nhật MNPQ là: \(x(x+1).\)

Phân thức biểu thị tỉ số diện tích của hình chữ nhật ABCD và hình chữ nhật MNPQ là: \(\displaystyle\frac{(x+1)(x+3)}{x(x+1)}=\displaystyle\frac{x+3}{x}.\)

b) Điều kiện xác định của phân thức \(\displaystyle\frac{x+3}{x}\) là \(x≠ 0.\)

Tại \(x=2\) thì giá trị của phân thức là:

\(\displaystyle\frac{x}{x+3}=\displaystyle\frac{2}{2+3}=\displaystyle\frac{2}{5}.\)

Tại \(x=5\) thì giá trị của phân thức là:

\(\displaystyle\frac{x}{x+3}=\displaystyle\frac{5}{5+3}=\displaystyle\frac{5}{8}.\)

\(\)

6. Chị Hà mở một xưởng thủ công với vốn đầu tư ban đầu (xây dựng nhà xưởng, mua máy móc,…) là 80 triệu. Biết chi phí để sản xuất (tiền mua vật liệu, lương công nhân) của 1 sản phẩm là 15 nghìn đồng. Gọi x là số sản phẩm mà xưởng của chị Hà làm được.

a) Viết phân thức biểu thị số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm.

b) Viết phân thức biểu thị chi phí thực (đơn vị nghìn đồng) để tạo ra 1 sản phẩm theo x.

c) Tính chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x = 100; x = 1 000. Nhận xét về chi phí thực để tạo ra 1 sản phẩm nếu x ngày càng tăng.

Giải

a) Đổi: \(80\) triệu \(= 80 000\) nghìn đồng.

Chi phí để sản xuất của x sản phẩm là \(15.x\) nghìn đồng.

Số tiền thực (đơn vị nghìn đồng) đã bỏ ra để làm được x sản phẩm là:

\(80 000 + 15x\) (nghìn đồng).

b) Phân thức biểu thị chi phí thực để tạo ra \(1\) sản phẩm theo x là:

\(\displaystyle\frac{80000+15x}{x}\) (nghìn đồng).

c) Chi phí thực để tạo ra \(1\) sản phẩm nếu \(x = 100\) là:

\(\displaystyle\frac{80000+15.100}{100}=815\) (nghìn đồng).