Bài 1. Mệnh đề toán học

Bài \(1\). Mệnh đề toán học trang \(5\) SGK Toán Lớp 10 – Cánh diều. Các em hãy cũng Bumbii giải các bài tập dưới đây nhé:

Bài \(1\). Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?
\(a)\) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.
\(b)\) Mọi số tự nhiên đều là số dương.
\(c)\) Có sự sống ngoài Trái Đất.
\(d)\) Ngày \(1\) tháng \(5\) là ngày Quốc tế Lao động.

Trả lời:

Các mệnh đề toán học là:

\(a)\) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.

\(b)\) Mọi số tự nhiên đều là số dương.

\(\)

Bài \(2\). Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
\(a) A: “\displaystyle \frac{5}{1,2}\) là một phân số”;
\(b) B:\) “Phương trình \(x^2 + 3x + 2 = 0\) có nghiệm”;
\(c) C: “2^2 + 2^3 = 2^{2 + 3}”\);
\(d) D:\) “Số \(2025\) chia hết cho \(15\)”.

Trả lời:

\(a)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(A\) là:

\(\overline{A}: “\displaystyle \frac{5}{1,2}\) không phải là một phân số”

Mệnh đề \(\overline{A}\) là sai vì \(1,2\) không là số nguyên.

\(b)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(B\) là:

\(\overline{B}\): “Phương trình \(x^2 + 3x + 2 = 0\) vô nghiệm”.

Mệnh đề \(\overline{B}\) là sai vì phương trình \(x^2 + 3x + 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x = \ – \ 1\) và \(x = \ – \ 2\).

\(c)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(C\) là:

\(\overline{C}:” 2^2 + 2^3 \neq 2^{2 + 3}\)”.

Mệnh đề \(\overline{C}\) là mệnh đề đúng vì \(2^2 + 2^3 = 4 + 8 = 12, 2^{2 + 3} = 2^5 = 32\)

\(d)\) Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(D\) là:

\(\overline{D}\): ” Số \(2025\) không chia hết cho \(15\)”.

Mệnh đề \(\overline{D}\) là mệnh đề sai vì \(2025\) chia hết cho \(15\) (\(2025 : 15 = 135\)).

\(\)

Bài \(3\). Cho \(n\) là số tự nhiên. Xét các mệnh đề:
\(P\): “\(n\) là một số tự nhiên chia hết cho \(16\)”;
\(Q\): “\(n\) là một số tự nhiên chia hết cho \(8\)”.
\(a)\) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.
\(b)\) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Trả lời:

\(a) P \Leftrightarrow Q\): “Số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(16\) thì \(n\) chia hết cho \(8\)”.

Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) là mệnh đề đúng vì \(16\) chia hết cho \(8\).

\(b)\) Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) là:

\(Q \Leftrightarrow P\): “Số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(8\) thì \(n\) chia hết cho \(16\)”.

Mệnh đề \(Q \Leftrightarrow P\) là mệnh đề sai vì xét ví dụ \(n = 8\) chia hết cho \(8\) nhưng \(n\) không chia hết cho \(16\).

\(\)

Bài \(4\). Cho tam giác \(ABC\). Xét các mệnh đề:
\(P:\) “Tam giác \(ABC\) cân”.
\(Q:\) “Tam giác \(ABC\) có hai đường cao bằng nhau”.
Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) bằng bốn cách.

Trả lời:

Bốn cách phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) là:

Tam giác \(ABC\) cân tương đương tam giác \(ABC\) có hai đường cao bằng nhau.

Tam giác \(ABC\) cân là điều kiện cần và đủ để tam giác \(ABC\) có hai đường cao bằng nhau.

Tam giác \(ABC\) cân khi và chỉ khi tam giác \(ABC\) có hai đường cao bằng nhau.

Tam giác \(ABC\) cân nếu và chỉ nếu tam giác \(ABC\) có hai đường cao bằng nhau.

\(\)

Bài \(5\). Dùng kí hiệu “\(\forall\)” hoặc \(“\exists”\) để viết các mệnh đề sau:
\(a)\) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó;
\(b)\) Mọi số thực cộng với \(0\) đều bằng chính nó.

Trả lời:

\(a)\) \(\exists x \in \mathbb{Z}, x \not\vdots x\).

\(b)\) \(\forall x \in \mathbb{R}, x + 0 = x\).

\(\)

Bài \(6\). Phát biểu các mệnh đề sau:
\(a) \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0\);
\(b) \exists x \in \mathbb{R}, \displaystyle \frac{1}{x} > x\).

Trả lời:

\(a)\) Phát biểu mệnh đề: \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0\) như sau:

Mọi số thực có bình phương không âm.

\(b)\) Phát biểu mệnh đề: \(\exists x \in \mathbb{R}, \displaystyle \frac{1}{x} > x\) như sau:

Tồn tại số thực có nghịch đảo lớn hơn chính nó.

\(\)

Bài \(7\). Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:
\(a) \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \neq 2x \ – \ 2\);
\(b) \forall x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 2x \ – \ 1\);
\(c) \exists x \in \mathbb{R}, x + \displaystyle \frac{1}{x} \geq 2\);
\(d) \exists x \in \mathbb{R}, x^2 \ – \ x + 1 < 0\).

Trả lời:

\(a)\) Mệnh đề phủ định:

“\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 2x \ – \ 2\)”

Mệnh đề phủ định sai vì:

\(x^2 \ – \ 2x + 2 = (x \ – \ 1)^2 + 1 > 0\)

\(\Rightarrow x^2 > 2x \ – \ 2\)

\(b)\) Mệnh đề phủ định:

“\(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 > 2x \ – \ 1\)”

Mệnh đề phủ định đúng vì:

\(x^2 \ – \ 2x + 1 = (x \ – \ 1)^2 > 0\)

\(\Rightarrow x^2 > 2x \ – \ 1\)

\(c)\) Mệnh đề phủ định: