Bài 1. Hình chóp tam giác đều

Chương 4 – Bài 1. Hình chóp tam giác đều trang 73 sách bài tập toán lớp 8 tập 1 Cánh Diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

1. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu sai? Vì sao?

a) Hình chóp tam giác đều có 6 mặt.

b) Hình chóp tam giác đều có 3 cạnh đáy bằng nhau.

c) Hình chóp tam giác đều có 8 đỉnh.

d) Hình chóp tam giác đều có các mặt bên là những tam giác cân.

Giải

Hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S và 4 mặt. Trong đó, 1 mặt đáy là tam giác ABC đều, 3 mặt bên là những tam giác cân SAB, SBC, SAC.

Vậy các phát biểu b,d là đúng; các phát biểu a, c là sai.

\(\)

2. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa tích của chu vi đáy với độ dài trung đoạn.

b) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa tích của chu vi đáy với chiều cao.

c) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của chu vi đáy với độ dài trung đoạn.

d) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa tổng của chu vi đáy với độ dài trung đoạn.

Giải

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng nửa tích của chu vi đáy với độ dài trụng đoạn.

Phát biểu a là đúng.

\(\)

3. Cho hình chóp tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng 10 cm và độ dài trung đoạn bằng 9 cm. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó.

Giải

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là:

\(S_{xq}=\displaystyle\frac{1}{2}.(10.3).9=135\ (cm^2).\)

\(\)

4. Cho hình chóp tam giác đều có thể tích bằng \(30\ cm^3\) và chiều cao bằng \(12\ cm.\) Tính diện tích đáy của hình chóp tam giác đều đó.

Giải

Áp dụng công thức \(V=\displaystyle\frac{1}{3}.S.h,\) trong đó \(V\) là thể tích, \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao của hình chóp tam giác đều, ta có: \(30=\displaystyle\frac{1}{3}.S.12.\)

Suy ra \(S=7,5\ (cm^2).\)

Vậy diện tích đáy của hình chóp tam giác đều đó là \(7,5\ cm^2.\)

\(\)

5. Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(9\ cm,\) \(SH\) là chiều cao. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) (Hình 5). Tính thể tích của hình chóp \(S.ABC,\) biết \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC,\) \(AH=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}AB\) và \(SH=2AH.\)

Giải

Ta có: \(AH=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}AB\) nên \(AH=3\sqrt{3}\ cm.\)

Suy ra \(SH=2AH=6\sqrt{3}\ cm.\)

Do \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AH=\displaystyle\frac{2}{3}AM.\)

Suy ra \(AM=\displaystyle\frac{3}{2}AH=\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{2} cm.\)

\(\Delta ABM=\Delta ACM\) (c.c.c) suy ra \(\widehat{AMB} =\widehat{AMC} =90^o.\)

Do đó \(AM⊥BC.\)

Diện tích của hình chóp tam giác đều đó là:

\(S_{ABC}=\displaystyle\frac{1}{2}.BC.AM=\displaystyle\frac{81\sqrt{3}}{4}\ (cm^2).\)

Thể tích của hình chóp tam giác đều đó là: \(\displaystyle\frac{1}{3}.S_{ABC}.SH=\displaystyle\frac{243}{2}\ (cm^2).\)

\(\)

6. Bạn Nam có hai hộp quà có dạng hình chóp tam giác đều. Hộp quà thứ nhất có độ dài cạnh đáy bằng 30 cm và độ dài trung đoạn bằng 24 cm.

Hộp quà thứ hai có độ dài cạnh đáy bằng 35 cm và độ dài trung đoạn bằng 32 cm.

Bạn Nam dự định dán giấy màu bên ngoài cả ba mặt xung quanh của mỗi hộp quà: Hộp quà thứ nhất dán giấy màu đỏ có giá 35 000 đồng/m²;

Hộp quà thứ hai dán giấy màu xanh có giá 25 000 đồng/m².

a) Với số tiền 10 000 đồng, bạn Nam có thể dán giấy màu vào cả hai hộp quà như dự định hay không? Vì sao?

b) Bạn Nam nhận định: “Diện tích xung quanh của hộp quà thứ nhất bằng 70% diện tích xung quanh của hộp quà thứ hai”. Nhận định của bạn Nam có đúng hay không? Vì sao?

Giải

Đổi: \(30\ cm=0,3\ m;\) \(24\ cm=0,24\ m;\) \(35\ cm=0,35\ m;\) \(32\ cm=0,32\ m.\)

a) Diện tích xung quanh của hộp quà thứ nhất là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.(0,3.3).0,24=0,108\ (m^2).\)

Diện tích xung quanh của hộp quà thứ hai là:

\(\displaystyle\frac{1}{2}.(0,35.3).0,32=0,168\ (m^2).\)

Số tiền bạn Nam cần trả để mua giấy màu dán hai hộp quà là:

\(0,108.35000+0,168.25000=7980\) (đồng).

Do \(7\ 980 < 10\ 000\) nên với số tiền \(10\ 000\) đồng, bạn Nam có thể dán giấy màu vào cả hai hộp quà như dự định.

b) Tỉ số phần trăm giữa diện tích xung quanh của hộp quà thứ nhất và diện tích xung quanh của hộp quà thứ hai là:

\(\displaystyle\frac{0,108.100}{0,168}\%≈64,3\%.\)

Vậy nhận định của bạn Nam là sai.