Bài 1. Hàm số và đồ thị

Bài \(1\): Hàm số và đồ thị trang \(41\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:

\(a) f(x) = \sqrt{ \ – \ 5x + 3}\);

\(b) f(x) = 2 + \displaystyle \frac{1}{x+3} \)

Trả lời:

\(a)\) Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi:

\( \ – \ 5x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \leq \displaystyle \frac{3}{5}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = ( \ – \ \infty; \displaystyle \frac{3}{5} ]\).

\(b)\) Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi:

\( x + 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \ – \ 3\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

\(\)

Bài \(2\). Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số có đồ thị như Hình \(10\).

Trả lời: Từ đồ thị trên ta thấy:

Hàm số xác định trên khoảng \([ \ – \ 1; 9 ]\)

\(\Rightarrow\) Tập xác định của hàm số là \(D = [\ – \ 1; 9 ]\)

Hàm số \(f(x)\) đạt giá trị lớn nhất là \(6\) tại \(x = 9\) và đạt giá trị nhỏ nhất là \(\ – \ 2\) tại \(x = 6\)

Do đó tập giá trị của hàm số \(T = [ \ – \ 2; 6 ]\).

\(\)

Bài \(3\). Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

\(a) f(x) = \ – \ 5x + 2\);

\(b) f(x) = \ – \ x^2\).

Trả lời: \(a)\) Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Lấy \(x_1, x_2\) là hai số thực tuỳ ý thoả mãn \( x_1 < x_2\). Ta có:

\(f(x_1) \ – \ f (x_2) = (\ – \ 5x_1 + 2) \ – \ (\ – \ 5x_2 + 2)\)

\(= \ – \ 5x_1 + 5x_2 = 5( x_2 \ – \ x_1)\)

Vì \(x_1 < x_2\) nên \(5(x_2 \ – \ x_1) > 0\)

\(\Leftrightarrow f(x_1) \ – \ f(x_2) > 0\)

\(\Leftrightarrow f(x_1) > f(x_2)\)

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên \(\mathbb{R}\).

\(b)\) Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

Lấy \(x_1, x_2\) là hai số thực tuỳ ý thoả mãn \(x_1 < x_2\). Ta có:

\(f(x_1) \ – \ f(x_2) = \ – \ x_1^2 \ – \ (\ – \ x_2^2)\)

\(= x_2^2 \ – \ x_1^2 = (x_2 \ – \ x_1)(x_2 + x_1)\).

Xét \(x_1, x_2 \in (\ – \infty; 0)\)

Vì \( x_1, x_2 < 0\) và \(x_1 < x_2\) nên:

\(x_2 \ – \ x_1 > 0; x_2 + x_1 < 0\)

\(\Rightarrow f(x_1) \ – \ f(x_2) = (x_2 \ – \ x_1)(x_2 + x_1) < 0\)

\(\Leftrightarrow f(x_1) < f(x_2)\)

\(\Rightarrow\) Hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng \((\ – \ \infty; 0)\).

Xét \(x_1, x_2 \in (0; + \infty)\)

Vì \(x_1, x_2 > 0\) và \(x_1 < x_2\) nên

\(x_2 + x_1 > 0\) và \(x_2 \ – \ x_1 > 0\)

\(\Rightarrow f(x_1) \ – \ f(x_2) = (x_2 \ – \ x_1)(x_2 + x_1) > 0\)

\(\Leftrightarrow f(x_1) > f(x_2)\)

\(\Rightarrow\) Hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng \((0; + \infty)\).

\(\)

Bài \(4\). Vẽ đồ thị hàm số \(f(x) = |x|\), biết rằng hàm số này còn được viết như sau:

\(f(x)= \left \{\begin{matrix} x \text{ với } x \geq 0\\ \ – \ x \text{ với } x < 0 \end{matrix} \right.\)

Trả lời:

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Để vẽ được đồ thị hàm số, ta đi xác định toạ độ các điểm:

Xét với \(x \geq 0\):

Với \( x = 0\) thì \(f(0) = 0\) ta được điểm \(O(0; 0)\);

Với \(x = 1\) thì \(f(1) = 1\) ta được điểm \(A(1; 1)\);

Với \(x = 2\) thì \(f(2) = 2\) ta được điểm \(B(2; 2)\);

Với \(x = 3\) thì \(f(3) = 3\) ta được điểm \(C(3; 3)\)

Xét với \(x < 0\):

Với \(x = \ – \ 1\) thì \(f(\ – \ 1) = \ – \ (\ – \ 1) = 1\) ta được điểm \(D(\ – \ 1; 1)\);

Với \(x = \ – \ 2\) thì \(f(\ – \ 2) = \ – \ (\ – \ 2) = 2\) ta được điểm \(E(\ – \ 2; 2)\);

Với \(x = \ – \ 3\) thì \(f(\ – \ 3) = \ – \ (\ – \ 3) = 3\) ta được điểm \(F(\ – \ 3; 3)\).

Qua các điểm \(O(0; 0), A(1; 1), B(2; 2), C(3; 3), D(\ – \ 1;1)\),

\(E(\ – \ 2; 2), F(\ – \ 3; 3)\) ta vẽ được đồ thị hàm số \(f(x) = |x|\) như hình dưới:

\(\)

Bài \(5\). Tìm tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị hàm số:

\(f(x) = \left \{\begin{matrix} \ – \ 1 \text{ với } x < 0\\ 1 \text{ với } x > 0 \end{matrix} \right.\)

Trả lời:

\(+)\) Ta thấy với \(x = 0\) thì \(f(x)\) không xác định nên tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\).

\(+)\) Ta lại thấy với mọi \(x \in D\) thì \( f(x) = 1\) hoặc \(f(x) = \ – \ 1\).

Do đó tập giá trị của hàm số là \(T = \{\ – \ 1; 1\}\).

\(+)\) Vẽ đồ thị hàm số:

Với \(x \in ( \ – \ \infty; 0)\) ta có \(y = f(x) = \ – \ 1\) nên đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = \ – \ 1\).
Với \( x \in ( 0; + \infty)\) ta có \(y = f(x) = 1\) nên đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = 1\).

Kết hợp lại ta được đồ thị hàm số \(f(x)\) như hình sau:

\(\)

Bài \(6\). Một hãng taxi có bảng giá như sau:

\(a)\) Xem số tiền đi taxi là một hàm số phụ thuộc số kilômét di chuyển, hãy viết công thức của các hàm số dựa trên thông tin từ bảng giá đã cho theo từng yêu cầu:

\(i)\) Hàm số \(f(x)\) để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển \(x\) km bằng xe taxi \(4\) chỗ.

\(ii)\) Hàm số \(g(x)\) để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển \(x\) km bằng xe taxi \(7\) chỗ.

\(b)\) Nếu cần đặt xe taxi cho \(30\) hành khách, nên đặt toàn bộ xe \(4\) chỗ hay xe \(7\) chỗ thì có lợi hơn?

Trả lời: Gọi \(x\) là số km mà hành khách di chuyển. Ta có: \(x \geq 0\)

\(a)\) \(i)\) Khi hành khách di chuyển \(x\) km bằng xe taxi \(4\) chỗ:

Nếu \( 0 \leq x \leq 0,5\) thì số tiền hành khách phải trả là: \(11000\) (đồng).
Nếu \( 0,5 < x < 31\) thì số tiền hành khách phải trả là: \( 11000.0,5 + 14500(x \ – \ 0,5)\) \(= 5500 + 14500x \ – \ 7250 = 14500x \ – \ 1750\) (đồng).
Nếu \(x \geq 31\) thì số tiền hành khách phải trả là:

\( 11000.0,5 + 14500(31 \ – \ 0,5) + 11600(x \ – \ 31)\)

\(= 11600x + 88150\) (đồng).

Vậy hàm số \(f(x)\) được xác định như sau:

\(f(x) = \left \{\begin{matrix} 11000 \text{ với } 0 \leq x \leq 0,5\\ 14500x \ – \ 1750 \text{ với } 0,5 < x < 31\\ 11600x + 88150 \text{ với } x \geq 31 \end{matrix} \right.\)

\(ii)\) Khi hành khách di chuyển \(x\) km bằng taxi \(7\) chỗ:

Nếu \(0 \leq x \leq 0,5\) thì số tiền hành khách phải trả là: \(11000\) (đồng).
Nếu \( 0,5 < x < 31\) thì số tiền hành khách phải trả là:

\( 11000.0,5 + 15500(x \ – \ 0,5)\)

\(= 5500 + 15500x \ – \ 7750 = 15500x \ – \ 2250\) (đồng).

Nếu \(x \geq 31\) thì số tiền hành khách phải trả là:

\( 11000.0,5 + 15500(31 \ – \ 0,5) + 13600(x \ – \ 31)\)

\(= 13600x + 56650\) (đồng)

Vậy hàm số \(g(x)\) được xác định như sau:

\(g(x) = \left \{\begin{matrix} 11000 \text{ với } 0 \leq x \leq 0,5\\ 15500x \ – \ 2250 \text{ với } 0,5 < x < 31\\ 13600x + 56650 \text{ với } x \geq 31 \end{matrix} \right.\).

\(b)\) Có \(30\) hành khách nếu đặt toàn bộ xe \(4\) chỗ thì cần \(8\) xe; nếu đặt toàn bộ xe \(7\) chỗ thì cần \(5\) xe.

\(+)\) Với quãng đường đi là \(x\leq 0,5\) km thì ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe \(4\) chỗ là: \(f(x) = 8.11000 = 88000\) (đồng).
Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe \(7\) chỗ là: \(g(x) = 5.11000 = 55000\) (đồng).

Vì \(55000 < 88000\) nên khi di chuyển quãng đường \(x \leq 0,5\)km thì hành khách nên đặt xe \(7\) chỗ sẽ có lợi hơn (tốn ít tiền hơn).

\(+)\) Với quãng đường đi là \(0,5 < x < 31\) km thì ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe \(4\) chỗ là:

\(f(x) = 8(14500x \ – \ 1750) = 116000x \ – \ 14000\) (đồng).

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe \(7\) chỗ là:

\(g(x) = 5(15500x \ – \ 2250) = 77500x \ – \ 11250\) (đồng).

Ta có: \(f(x) \ – \ g(x)\)

\(= (116000x \ – \ 14000) \ – \ (77500 \ – \ 11250)\)

\(= 38500x \ – \ 2750\).

Do \(0,5 < x < 31 \Rightarrow 38500.0,5 \ – \ 2750 <\)

\(f(x) \ – \ g(x) < 38500.31 \ – \ 2750\).

\(\Leftrightarrow 16500 < f(x) \ – \ g(x) < 1190750\)

\(\Rightarrow f(x) \ – \ g(x) > 0\) hay \(f(x) > g(x)\)

Vậy khi di chuyển quãng đường \(0,5 < x \leq 31\) thì đi xe \(7\) chỗ sẽ có lợi hơn (tốn ít tiền hơn).

\(+)\) Với quãng đường đi là \(x \geq 31\) km thì ta có:

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe \(4\) chỗ là:

\(f(x) = 8(11600x + 88150) = 108800x + 453200\) (đồng)

Số tiền hành khách phải trả khi thuê xe \(7\) chỗ là:

\(g(x) = 5(13600x + 56650) = 68000x + 283250\) (đồng).

\(\Rightarrow f(x) \ – \ g(x) = 40800x + 169950\)

Vì \(x \geq 31\) nên \(f(x) \ – \ g(x) > 0\) hay \(f(x) > g(x)\).

Vậy khi di chuyển quãng đường \(x \geq 31\) thì đi xe \(7\) chỗ sẽ có lợi hơn (tốn ít tiền hơn).

Tóm lại, nếu cần đặt xe cho \(30\) hành khách thì nên đặt xe \(7\) chỗ sẽ có lợi hơn.

\(\)

Bài \(7\). Đố vui.

Số \(2\) đã trải qua một hành trình thú vị và bị biến đổi sau khi đi qua chiếc hộp đen.

Bác thợ máy đã giải mã hộp đen cho một số \(x\) bất kì như sau:

Bên trong hộp đen là một đoạn chương trình được cài đặt sẵn. Ta xem đoạn chương trình này như một hàm số \(f(x)\). Hãy viết biểu thức của \(f(x)\) để mô tả sự biến đổi đã tác động lên \(x\).

Trả lời: Sự biến đổi đã tác động lên \(x\) lần lượt như sau: