Bài 1. Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài \(1\). Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác trang \(5\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Gọi \(M, N, P\) là các điểm trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác \((OA, 0M), (OA, ON), (OA, OP)\) lần lượt bằng \(\displaystyle \frac{\pi}{2}; \displaystyle \frac{7\pi}{6}; \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\). Chứng minh rằng tam giác \(MNP\) là tam giác đều.

Trả lời:

Ta có: \((OA, OM) = \displaystyle \frac{\pi}{2}\) là góc lượng giác có tia đầu là \(OA\), tia cuối là \(OM\) và quay theo chiều dương góc \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\).

Khi đó điểm \(M\) được biểu diễn trùng với điểm \(B\).

\((OA, ON) = \displaystyle \frac{7\pi}{6} = \pi + \displaystyle \frac{\pi}{6}\) là góc lượng giác có tia đầu \(OA\), tia cuối \(ON\) và quay theo chiều dương góc \(\displaystyle \frac{7\pi}{6}\).

\((OA, OP) = \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{6}\) là góc lượng giác có tia đầu \(OA\), tia cuối \(OP\) và quay theo chiều âm góc \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\).

Ta được biểu diễn \(3\) điểm \(M, N, P\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ.

Khi đó ta có \(\widehat{MOP} = \widehat{MON} = \widehat{NOP} = 120^o\)

\(\Rightarrow MP = MN = NP\)

Hay tam giác \(MNP\) là tam giác đều.

\(\)

Bài \(2\). Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: \(225^o; \ – \ 225^o; \ – \ 1035^o; \displaystyle \frac{5\pi}{3}; \displaystyle \frac{19\pi}{2}; \ – \ \displaystyle \frac{159\pi}{4}\).

Trả lời:

\(+)\) \(\cos{225^o} = \cos{(180^o + 45^o)} = \ – \ \cos{45^o} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin{225^o} = \sin{(180^o + 45^o)} = \ – \ \sin{45^o} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan{225^o} = \displaystyle \frac{\sin{225^o}}{\cos{225^o}} = 1\)

\(\cot{225^o} = \displaystyle \frac{\cos{225^o}}{\sin{225^o}} = 1\)

\(+)\) \(\cos{(\ – \ 225^o)} = \cos{225^o} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin{(\ – \ 225^o)} = \ – \ \sin{225^o} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan{(\ – \ 225^o)} = \displaystyle \frac{\sin{(\ – \ 225^o)}}{\cos{(\ – \ 225^o)}} = \ – \ 1\)

\(\cot{(\ – \ 225^o)} = \displaystyle \frac{1}{\tan{(\ – \ 225^o)}} = \ – \ 1\)

\(+)\) \(\cos{(\ – \ 1035^o)} = \cos{(1035^o)} = \cos{(6. 360^o \ – \ 45^o)}\)

\(= \cos{(\ – \ 45^o)} = \cos{45^o} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin{(\ – \ 1035^o)} = \ – \ \sin{1035^o} = \ – \ \sin{(6. 360^o \ – \ 45^o)}\)

\(= \ – \ \sin{(\ – \ 45^o)} = \sin{45^o} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan{(\ – \ 1035^o)} = \displaystyle \frac{\sin{(\ – \ 1035)}}{\cos{(\ – \ 1035^o)}} = 1\)

\(\cot{(\ – \ 1035^o)} = \displaystyle \frac{1}{\tan{(\ – \ 1035^o)}} = 1\)

\(+)\) \(\cos{\left(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)} = \cos{\left(\pi + \displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)} = \ – \ cos{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\sin{\left(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)} = \sin{\left(\pi + \displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)} = \ – \ \sin{\left(\displaystyle \frac{2\pi}{3}\right)}\)

\( = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan{\left(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)} = \displaystyle \frac{\sin{\left(\frac{5\pi}{3}\right)}}{\cos{\left(\frac{5\pi}{3}\right)}} = \ – \ \sqrt{3}\)

\(\cot{\left(\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\left(\frac{5\pi}{3}\right)}} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(+)\) \(\cos{\left(\displaystyle \frac{19\pi}{2}\right)} = \cos{\left(8\pi + \pi + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)

\( = \ – \ \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = 0\)

\(\sin{\left(\displaystyle \frac{19\pi}{2}\right)} = \sin{\left(8 \pi + \pi + \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)

\(= \ – \ \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = \ – \ 1\)

Do \(\cos{\left(\displaystyle \frac{19\pi}{2}\right)} = 0\) nên không xác định \(\tan{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}\)

\(\cot{\left(\displaystyle \frac{19\pi}{2}\right)} = \displaystyle \frac{\cos{\left(\frac{19\pi}{2}\right)}}{\sin{\left(\frac{19\pi}{2}\right)}} = 0\)

\(+)\) \(\cos{\left(\ – \ \displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)} = \cos{\left(\displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)} = \cos{\left(40\pi \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\)

\(= \cos{\left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin{\left(\ – \ \displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)} = \ – \ \sin{\left(\displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)} = \ – \ sin{\left(40\pi \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)}\)

\(= \ – \ \sin{\left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan{\left(\ – \ \displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\sin{\left(\ – \ \displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)}}{\cos{\left(\ – \ \displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)}} = 1\)

\(\cot{\left(\ – \ \displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{1}{\tan\left(\ – \ \displaystyle \frac{159\pi}{4}\right)} = 1\).

\(\)

Bài \(3\). Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:
\(a)\) \(\displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\);
\(b)\) \(k\pi (k \in \mathbb{Z})\);
\(c)\) \(\displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\);
\(d)\) \(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Trả lời:

\(a)\) \(\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\right)} = \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3} + k2pi\right)} = \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\right)} = \displaystyle \frac{\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\right)}}{\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\right)}} = \sqrt{3}\)

\(\cot{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\right)} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\left(\displaystyle \frac{\pi}{3} + k2\pi\right)}} = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\).

\(b)\) \(\cos{(k\pi)} = \begin{equation} \left[\begin{array}{II}\ – \ 1 \text{ nếu } k = 2n + 1\\1 \text{ nếu } k = 2n \end{array} \right.\end{equation}\)

\(\sin{(k\pi)} = 0\)

\(\tan{(k\pi)} = 0\)

Không xác định \(\cot{(k\pi)}\)

\(c)\) \(\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi\right)} = 0\)

\(\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi\right)} = \begin{equation} \left[\begin{array}{II} \sin{\displaystyle \frac{\pi}{2}} = 1 \text{ khi } k = 2n\\ \sin{\left(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} = \ – \ 1 \text{ khi } k = 2n + 1\end{array} \right. \end{equation}\)

Không xác định \(\tan{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi\right)}\)

\(\cot{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2} + k\pi\right)} = 0\)

\(d)\) Xét với \(k = 2n + 1\):

\(\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi\right)} = \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + (2n + 1)\pi\right)}\)

\(= \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + 2n\pi + \pi\right)} = \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + \pi\right)}\)

\(= \ – \ \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + 2n\pi + \pi\right)} = \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + \pi\right)}\)

\(= \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + 2n\pi + \pi\right)} = \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + \pi\right)}\)

\(= \ – \ \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow \tan{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi\right)} = 1\)

\(\cot{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi\right)} = 1\)

Xét với \(k = 2n\):

\(\cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi\right)} = \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + 2n\pi\right)}\)

\( = \cos{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi\right)} = \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4}\right)} = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow \tan{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi\right)} = 1\)

\(\cot{\left(\displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi\right)} = 1\)

\(\)

Bài \(4\). Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(\sin{\alpha} = \displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}\) với \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\);
\(b)\) \(\cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\) với \(\ – \ \pi < \alpha < 0\);
\(b)\) \(\tan{\alpha} = 3\) với \(\ – \ \pi < \alpha < 0\);
\(d)\) \(\cot{\alpha} = \ – \ 2\) với \(0 < \alpha < \pi\).

Trả lời:

\(a)\) Vì \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nên \(\cos{\alpha} < 0\)

Suy ra \(\cos{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \sin^2{\alpha}} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \left(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2}\)

\(= \ – \ \sqrt{\displaystyle \frac{1}{16}} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{4}\)

Khi đó \(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \ – \ \sqrt{15}\)

\(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{15}}\)

\(b)\) Vì \(\ – \ \pi < \alpha < 0\) nên \(\sin{\alpha} < 0\)

Suy ra \(\sin{\alpha} = \ – \ \sqrt{1 \ – \ \cos^2{\alpha}}\)

\(= \ – \ \sqrt{1 \ – \ \left(\ – \ \displaystyle \frac{2}{3}\right)^2} = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}\)

Khi đó \(\tan{\alpha} = \displaystyle \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(c)\) Ta có: \(\tan{\alpha} = 3\) nên \(\cot{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\tan{\alpha}} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

\(1 + \tan^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\cos^2{\alpha}} = 1 + 3^2 = 10\)

\(\Rightarrow \cos^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{10}\)

Lại có \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\)

\(\Rightarrow \sin^2{\alpha} = \displaystyle \frac{9}{10}\)

Do \(\ – \ \pi < \alpha < 0\) nên \(\sin{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\)

Với \(\ – \ \pi < \alpha < \ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2}\) thì \(\cos{\alpha} < 0\)

\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \ – \ \sqrt{\displaystyle \frac{1}{10}}\)

Với \(\ – \ \displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < 0 \) thì \(\cos{\alpha} > 0\)

\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \sqrt{\displaystyle \frac{1}{10}}\)

\(d)\) Ta có: \(\tan{\alpha} . \cot{\alpha} = 1\)

\(\Rightarrow \tan{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\cot{\alpha}} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)

Lại có: \(\displaystyle \frac{1}{\sin^2{\alpha}} = 1 + \cot^2{\alpha} = 1 + (\ – \ 2)^2 = 5\)

\(\Rightarrow sin^2{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{5}\)

\(\Rightarrow \cos^{\alpha} = 1 \ – \ \sin^2{\alpha} = \displaystyle \frac{4}{5}\)

Với \(0 < \alpha < \pi\) thì \(\sin{\alpha} > 0 \Rightarrow \sin{\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\)

Với \(0 < \alpha < \displaystyle \frac{\pi}{2}\) thì \(\cos{\alpha} > 0 \Rightarrow \cos{\alpha} = \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\)

Với \(\displaystyle \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) thì \(\cos{\alpha} < 0\)

\(\Rightarrow \cos{\alpha} = \ – \ \displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\)

Bài \(5\). Tính:
\(a)\) \(A = \sin^2{5^o} + \sin^2{10^o} + \sin^2{15^o} + … + \sin^2{85^o}\) (\(17\) số hạng);
\(b)\) \(B = \cos{5^o} + \cos{10^o} + \cos{15^o} + … + \cos{175^o}\) (\(35\) số hạng).

Trả lời:

\(a)\) \(A = \sin^2{5^o} + \sin^2{10^o} + \sin^2{15^o} + … + \sin^2{85^o}\)

\(= (\sin^2{5^o} + \sin^2{85^o}) + (\sin^2{10^o} + \sin^2{80^o}) + … \)

\(+ (\sin^2{40^o} + \sin^2{50^o}) +\sin^2{45^o}\)

\(= (\sin^2{5^o} + \cos^2{5^o}) + (\sin^2{10^o} + \cos^2{10^o}) + … \)

\(+ (\sin^2{40^o} + \cos^2{40^o}) + \sin^2{45^o}\)

\(= \underbrace{1 + 1 + … + 1}_{8 \text{ số } 1} + \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(= 8 + \displaystyle \frac{1}{2} = \displaystyle \frac{17}{2}\)

\(b)\) \(B = \cos{5^o} + \cos{10^o} + \cos{15^o} + … + \cos{185^o}\)

\(= (\cos{5^o} + \cos{175^o}) + (\cos{10^o} + \cos{170^o}) + … \)

\(+ (\cos{85^o} + \cos{95^o}) + \cos{90^o}\)

\(= (\cos{5^o} \ – \ \cos{5^o}) + (\cos{10^o} \ – \ \cos{10^o}) + … \)

\(+ (\cos{85^o} \ – \ \cos{85^o}) + \cos{90^o}\)

\(= \underbrace{0 + 0 + … + 0}_{17 \text{ số } 0} + 0 = 0\)

\(\)

Bài \(6\). Một vệ tinh được định vị tại vị trí \(A\) trong không gian. Từ vị trí \(A\), vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm \(O\) của Trái Đất, bán kính \(9000\) km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong \(2\) giờ.
\(a)\) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được \(1h, 3h, 5h\).
\(b)\) Vệ tinh chuyển động được quãng đường \(200000\) km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trả lời: