Bài 1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài \(1\). Giá trị lượng giác của một góc từ \(0^o\) đến \(180^o\) trang \(61\) SGK toán lớp \(10\) tập \(1\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Cho biết \(\sin 30^o = \displaystyle \frac{1}{2}\); \(\sin 60^o = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(tan 45^o = 1\). Sử dụng mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, phụ nhau để tính giá trị của \(E = 2\cos 30^o + \sin 150^o + \tan 135^o\).

Trả lời:

Ta có: \(\cos30^o = \sin(90^o \ – \ 30^o) = \sin60^o = \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\);

\(\sin150^o = \sin(180^o \ – \ 150^o) = \sin30^o = \displaystyle \frac{1}{2}\);

\(\tan135^o = \ – \ \tan(180^o \ – \ 135^o) = \ – \ \tan45^o\)

\(= \ – \ 1\)

\(\Rightarrow E = 2\cos 30^o + \sin 150^o + \tan 135^o\)

\( = 2. \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle \frac{1}{2} \ – \ 1 = \sqrt{3} \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(\)

Bài \(2\). Chứng minh rằng:
\(a)\) \(\sin 20^o = \sin 160^o\);
\(b)\) \(\cos 50^o = \ – \ \cos 130^o\).

Trả lời: Với \(0^o \leq \alpha \leq 180^o\) ta có:

\(\sin\alpha = \sin(180^o \ – \ \alpha)\)

\(\cos \alpha = \ – \ \cos(180^o \ – \ \alpha)\)

Suy ra:

\(\sin20^o = \sin(180^o \ – \ 20^o) = \sin160^o\)

\(\cos50^o = \ – \ \cos(180^o \ – \ 50^o) = \ – \ \cos130^o\)

\(\)

Bài \(3\). Tìm góc \(\alpha (0^o \leq \alpha \leq 180^o)\) trong mỗi trường hợp sau:
\(a)\) \(\cos\alpha = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\);
\(b)\) \(\sin\alpha = 0\);
\(c)\) \(\tan\alpha = 1\);
\(d)\) \(\cot\alpha\) không xác định.

Trả lời:

\(a)\) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có:

\(\cos\alpha = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) với \(\alpha = 135^o\).

\(b)\) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có:

\(\sin\alpha = 0\) với \(\alpha = 0^o\) hoặc \(\alpha = 180^o\).

\(c)\) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có:

\(\tan\alpha = 1\) với \(\alpha = 45^o\).

\(d)\) Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, ta có:

\(\cot\alpha\) không xác định với \(\alpha = 0^o\) hoặc \(\alpha = 180^o\).

\(\)

Bài \(4\). Cho tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng :
\(a)\) \(\sin A = \sin(B + C)\);
\(b)\) \(\cos A = \ – \ \cos(B + C)\).

Trả lời:

Xét tam giác \(ABC\) ta có: \(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\).

Suy ra:

\(a)\) \(\sin A = \sin(180^o \ – \ A) = \sin(A + B + C \ – \ A)\)

\(= \sin(B + C)\)

Vậy \(\sin A = \sin (B + C)\).

\(b)\) \(\cos A = \ – \ cos (180^o \ – \ A)\)

\(= \ – \ \cos (A + B + C \ – \ A) = \ – \ \cos (B + C)\).

\(\)

Bài \(5\). Chứng minh rằng với mọi góc \(\alpha ( 0^o \leq \alpha \leq 180^o)\), ta đều có:
\(a)\) \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\);
\(b)\) \(\tan\alpha. \cot\alpha = 1 (0^o < \alpha < 180^o)\).
\(c)\) \(1 + \tan^2\alpha = \displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha} ( \alpha \neq 90^o)\);
\(d)\) \(1 + \cot^2\alpha = \displaystyle \frac{1}{\sin^2\alpha} (0^o < \alpha < 180^o)\).

Trả lời:

Trên nửa đường tròn đơn vị, lấy điểm \(M(x_0; y_0)\) sao cho \(\widehat{xOM} = \alpha\).

Gọi \(H; K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) lên các trục toạ độ \(Ox; Oy\).

\(\Rightarrow OH = MK = x_0; OK = MH = y_0\)

Bán kính đường tròn \(OM = 1\).

\(a)\) Ta có: \(\sin\alpha = \displaystyle \frac{MH}{OM} = \displaystyle \frac{y_0}{1}\);

\(\cos\alpha = \displaystyle \frac{OH}{OM} = \displaystyle \frac{x_0}{1}\).

\(\Rightarrow \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = (\displaystyle \frac{y_0}{1}^2)+ (\displaystyle \frac{x_0}{1})^2\)

\(= y_0^2 + x_0^2 = 1^2 = 1\) (Theo định lý Py-ta-go).

\(\Rightarrow \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).

\(b)\) Với mỗi góc \((0^o < \alpha < 180^o; \alpha \neq 90^o)\). Ta có:

\(\tan\alpha = \displaystyle \frac{y_0}{x_0}; \cot\alpha = \displaystyle \frac{x_0}{y_0}\).

Suy ra \(\tan\alpha . \cot\alpha = \displaystyle \frac{y_0}{x_0} . \displaystyle \frac{x_0}{y_0} = 1\).

Vậy \(\tan\alpha . \cot\alpha = 1 ( 0^o < \alpha < 180^o; \alpha \neq 90^o)\).

\(c)\) Với \(\alpha \neq 90^o\) ta có:

\( 1 + \tan^2\alpha = 1 + (\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})^2\)

\(= 1 + \displaystyle \frac{sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \displaystyle \frac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}\)

Suy ra \(1 + \tan^2\alpha = \displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}\)

\(d)\) Với \(0^o < \alpha < 180^o\) ta có:

\(1 + \cot^2\alpha = 1 + (\displaystyle \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha})^2\)

\(= 1 + \displaystyle \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \displaystyle \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \displaystyle \frac{1}{\sin^2\alpha}\).

Suy ra: \(1 + \cot^2\alpha = \displaystyle \frac{1}{\sin^2\alpha}\).

\(\)

Bài \(6\). Cho góc \(\alpha\) với \(\cos\alpha = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(A = 2\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha.\).

Trả lời:

Ta có: \(A = 2\sin^2\alpha + 5\cos^2\alpha\)

\( = 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 3\cos^2\alpha\)

Lại có: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1; \cos\alpha = \ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Suy ra: \(A = 2(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 3\cos^2\alpha = 2.1 + 3.(\ – \ \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2})^2\)

\( = 2 + 3. \displaystyle \frac{1}{2} = \displaystyle \frac{7}{2}\)

Vậy \(A = \displaystyle \frac{7}{2}\)

\(\)

Bài \(7\). Dùng máy tính cầm tay, hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây:
\(a)\) Tính \(\sin168^o45’33”; \cos17^o22’35”\);
\(\tan156^o26’39”; \cot56^o36’42”\).
\(b)\) Tìm \(\alpha (0^o \leq \alpha \leq 180^o)\) trong các trường hợp sau:
\(i)\)\(\sin\alpha = 0,862\);
\(ii)\) \(\cos\alpha = \ – \ 0,567\);
\(iii)\) \(\tan\alpha = 0,334\).

Trả lời: Dùng máy tính cầm tay ta tính được các giá trị như sau:

\(a)\)