Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài \(1\). Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm trang \(59\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = 3x^3 \ – \ 1\) tại điểm \(x_0 = 1\) bằng định nghĩa.

Trả lời:

Ta có: \(\Delta_x = x \ – \ x_0 = x \ – \ 1\)

\(\Delta_y = f(x_0 + \Delta) \ – \ f(x_0) = f(x) \ – \ f(1)\)

Suy ra \(\lim \limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{\Delta_y}{\Delta_x} = \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{3x^3 \ – \ 1 \ – \ (3. 1^3 \ – \ 1)}{x \ – \ 1} = \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{3x^3 \ – \ 3}{x \ – \ 1}\)

\(= \lim \limits_{x \to 1} \displaystyle \frac{3. (x \ – \ 1). (x^2 + x + 1)}{x \ – \ 1} = \lim \limits_{x \to 1} [3. (x^2 + x + 1)] = 9\)

Vậy \(f'(1) = 9\)

\(\)

Bài \(2\). Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = |x|\) không có đạo hàm tại điểm \(x_0 = 0\), những có đạo hàm tại mọi điểm \(x \neq 0\).

Trả lời:

Xét \(y = |x| = \begin{equation} \left[\begin{array}{II}x \text{ nếu } x \geq 0\\ \ – \ x \text{ nếu } x < 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

Suy ra \(y'(x) = \begin{equation} \left[\begin{array}{II}1 \text{ nếu } x \geq 0\\ \ – \ 1 \text{ nếu } x < 0 \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta có: \(\lim \limits_{x \to 0^+} y’ = 1\)

\(\lim \limits_{x \to 0^-} y’ = \ – \ 1\)

Ta thấy \(\lim \limits_{x \to 0^+} y’ \neq \lim \limits_{x \to 0^-} y’\)

Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 0\).

\(\)

Bài \(3\). Cho hàm số \(y = \ – \ 2x^2 + x\) có đồ thị \((C)\).
\(a)\) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\).
\(b)\) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M(2; \ – \ 6)\).

Trả lời:

\(a)\) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm có hoành độ \(x = 2\) là:

\(k = f'(x_0) = \lim \limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{f(x) \ – \ f(2)}{x \ – \ 2} = \displaystyle \frac{\ – \ 2x^2 + x \ – \ (\ – \ 2. 2^2 + 2)}{x \ – \ 2}\)

\(= \lim \limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{\ – \ 2x^2 + x + 6}{x \ – \ 2} = \lim \limits_{x \to 2} \displaystyle \frac{\ – \ (x \ – \ 2). (2x + 3)}{x \ – \ 3}\)

\(= \lim \limits_{x \to 2} (\ – \ 2x \ – \ 3) = (\ – \ 2). 2 \ – \ 3 = \ – \ 7\).

\(b)\) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M(2; \ – \ 6)\) là:

\(y = k. (x \ – \ x_0) + y_0 = (\ – \ 7). (x \ – \ 2) \ – \ 6 = \ – \ 7x + 8\)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = \ – \ 7x + 8\)

\(\)

Bài \(4\). Giả sử chi phí \(C\) (USD) để sản xuất \(Q\) máy vô tuyến \(C(Q) = Q^2 + 80Q + 3500\).
\(a)\) Ta gọi chi phí biên là chi phí gia tăng để sản xuất thêm \(1\) sản phẩm từ \(Q\) sản phẩm lên \(Q + 1\) sản phẩm. Giả sử chi phí biên được xác định bởi hàm số \(C'(Q)\). Tìm hàm chi phí biên.
\(b)\) Tìm \(C'(90)\) và giải thích kết quả tìm được.
\(c)\) Hãy tính chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ \(100\).

Trả lời:

\(a)\) Hàm chi phí biên là:

\(C'(Q) = \lim \limits_{Q \to Q + 1} \displaystyle \frac{(Q^2 + 80Q + 3500) \ – \ [(Q + 1)^2 + 80. (Q + 1) + 3500]}{Q \ – \ (Q + 1)}\)

\(= \lim \limits_{Q \to Q + 1} \displaystyle \frac{(Q^2 + 80Q + 3500) \ – \ (Q^2 + 2Q + 1 + 80Q + 80 + 3500)}{\ – \ 1}\)

\(= \lim \limits_{Q \to Q + 1} (2Q + 80) = 2Q + 80\)

\(b)\) Ta có: \(C'(90) = 2. 90 + 80 = 260 (USD)\)

Giải thích: Chi phí gia tăng để sản xuất thêm \(1\) sản phẩm từ \(89\) sản phẩm lên \(90\) sản phẩm là \(260 (USD)\).

\(c)\) Chi phí sản xuất máy vô tuyến thứ \(100\) là:

\(C(100) = 100^2 + 80. 100 + 3500 = 143000 (USD)\).

Bài 1. Định nghĩa đạo hàm Bài 1. Định nghĩa đạo hàm Bài 1. Định nghĩa đạo hàm

Xem bài giải trước: Bài tập cuối chương VI
Xem bài giải tiếp theo: Các quy tắc tính đạo hàm
Xem các bài giải khác: Giải bài tập SGK Toán Lớp 11 Cánh Diều

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech