Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác

Chương 8 – Bài 1: Định lí Thalès trong tam giác trang 59 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Cánh Diều.

1. Cho các đoạn thẳng AB = 6 cm, CD = 4 cm, PQ = 8 cm, EF = 10 cm, MN = 25 cm, RS = 15 cm. Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

a) Hai đoạn thẳng AB và PQ tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và RS.

b) Hai đoạn thẳng AB và RS tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và MN.

c) Hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng PQ và EF.

Giải

\(\displaystyle\frac{AB}{PQ}=\displaystyle\frac{4}{6}=\displaystyle\frac{3}{4};\) \(\displaystyle\frac{EF}{RS}=\displaystyle\frac{10}{15}=\displaystyle\frac{2}{3}.\)

Do đó hai đoạn thẳng AB và PQ không tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và RS.

\(\displaystyle\frac{AB}{RS}=\displaystyle\frac{6}{15}=\displaystyle\frac{2}{5};\) \(\displaystyle\frac{EF}{MN}=\displaystyle\frac{10}{25}=\displaystyle\frac{2}{5}.\)

Do đó hai đoạn thẳng AB và RS tỉ lệ với hai đoạn thẳng EF và MN.

\(\displaystyle\frac{AB}{CD}=\displaystyle\frac{6}{4}=\displaystyle\frac{3}{2};\) \(\displaystyle\frac{PQ}{EF}=\displaystyle\frac{8}{10}=\displaystyle\frac{4}{5}.\)

Do đó hai đoạn thẳng AB và CD không tỉ lệ với hai đoạn thẳng PQ và EF.

Vậy phát biểu b là đúng.

\(\)

2. Cho các đoạn thẳng EF = 6 cm, GH = 3 cm, IK = 5 cm, MN = x cm. Tìm x để hai đoạn thẳng EF và GH tỉ lệ với hai đoạn thẳng IK và MN.

Giải

Do hai đoạn thẳng EF và GH tỉ lệ với hai đoạn thẳng IK và MN.

Suy ra \(\displaystyle\frac{EF}{GH}=\displaystyle\frac{IK}{MN}\) hay \(\displaystyle\frac{6}{3}=\displaystyle\frac{5}{x}\)

Vậy \(x=\displaystyle\frac{3.5}{6}=2,5\ cm.\)

\(\)

3. Cho tam giác ABC. Một đường thẳng d song song với BC và cắt các cạnh AB, AC của tam giác đó lần lượt tại M, N với \(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{1}{3}\) và AN + AC = 16 cm. Tính AN.

Giải

Do MN // BC nên theo định lí Thalès, ta có: \(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{AN}{AB}=\displaystyle\frac{1}{3}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AN}{1}=\displaystyle\frac{AC}{1}=\displaystyle\frac{AN+AC}{1+3}=\displaystyle\frac{16}{4}=4.\)

Vậy \(AN = 4\ cm.\)

\(\)

4. Toà nhà Bitexco Financial (hay tháp tài chính Bitexco) được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Toà nhà có 68 tầng (không kể các tầng hầm). Biết rằng khi toà nhà có bóng MP in trên mặt đất dài 47,5 m, thì cùng thời điểm đó một cột cờ AB cao 12 m có bóng AP in trên mặt đất dài 2,12 m (Hình 8). Tính chiều cao MN của toà nhà theo đon vị mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải

Do MN // AB nên theo hệ quả của định lí Thalès:

\(\displaystyle\frac{AB}{MN}=\displaystyle\frac{AP}{MP}\) hay \(\displaystyle\frac{12}{MN}=\displaystyle\frac{2,12}{47,5}.\)

Suy ra \(MN=\displaystyle\frac{12.47,5}{2,12}=269.\)

Vậy chiều cao MN của tòa nhà là \(269\ m.\)

\(\)

5. Cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(A.\) Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác \(BAD\) vuông cân ở \(B,\) \(ACF\) vuông cân ở \(C.\) Gọi \(H\) là giao điểm của \(AB\) và \(DC,\) \(K\) là giao điểm của \(AC\) và \(BF\) (Hình 9). Chứng minh:

a) \(AH = AK;\)

b) \(AH^2 = AK^2 = HB.KC.\)

Giải

a) Đặt \(AB = c,\ AC = b.\) Vì \(BD // AC\) (cùng vuông góc với \(AB\)) và \(BD = AB\) nên \(\displaystyle\frac{AH}{HB} = \displaystyle\frac{AC}{BD} = \displaystyle\frac{AC}{AB} = \displaystyle\frac{b}{c}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AH}{AH + HB} = \displaystyle\frac{b}{b + c}\) hay \(\displaystyle\frac{AH}{AB} = \displaystyle\frac{b}{b + c}.\)

Do đó \(AH = \displaystyle\frac{bc}{b + c}\) (1).

Tương tự, ta có \(AB // CF\) (cùng vuông góc với \(AC\)) và \(CF = AC\) nên \(\displaystyle\frac{AK}{KC} = \displaystyle\frac{AB}{CF} = \displaystyle\frac{AB}{AC} = \displaystyle\frac{c}{b}.\)

Suy ra \(\displaystyle\frac{AK}{KC + AK} = \displaystyle\frac{c}{b + c}\) hay \(\displaystyle\frac{AK}{AC} = \displaystyle\frac{c}{b + c}.\)

Do đó \(AK = \displaystyle\frac{bc}{b + c}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(AH = AK.\)

b) Từ \(\displaystyle\frac{AH}{HB} = \displaystyle\frac{AC}{BD} = \displaystyle\frac{b}{c}\) và \(\displaystyle\frac{AK}{KC} = \displaystyle\frac{AB}{CF} = \displaystyle\frac{c}{b}.\)

Ta có \(\displaystyle\frac{AH}{HB} = \displaystyle\frac{KC}{AK}.\)

Mà \(AK = AH\) nên \(\displaystyle\frac{AH}{HB} = \displaystyle\frac{KC}{AH}.\)

Do đó \(AH^2 = AK^2 = BH.KC.\)

\(\)

6. Trong Hình 10, cho biết ABCD là hình thang, AB // CD (AB < CD); M là trung điểm của DC; AM cắt BD ở I; BM cắt AC ở K; IK cắt AD, BC lần lượt ở E, F. Chứng minh:

a) IK // AB;

b) EI = IK = KF.

Giải

a) Do DM // AB nên \(\displaystyle\frac{IM}{IA}=\displaystyle\frac{DM}{AB}=\displaystyle\frac{MC}{AB}\) (1) (do DM = MC).

Mặt khác, do MC // AB nên \(\displaystyle\frac{MK}{KB}=\displaystyle\frac{MC}{AB}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle\frac{IM}{IA}=\displaystyle\frac{MK}{KB}.\)

Vì thế IK // AB (định lí Thalès đảo).

b) Áp dụng định lí Thalès lần lượt cho các tam giác ADM với EI // DM, tam giác MAB với IK // AB và tam giác BMC với KF // MC, ta có:

\(\displaystyle\frac{EI}{DM}=\displaystyle\frac{AI}{AM}=\displaystyle\frac{BK}{BM}=\displaystyle\frac{KF}{MC}.\)

Suy ra EI = KF (do DM = MC). Mặt khác, áp dụng định lí Thalès lần lượt cho các tam giác ADM với EI // DM và tam giác AMC với IK // MC, ta có:

\(\displaystyle\frac{EI}{DM}=\displaystyle\frac{AI}{AM}=\displaystyle\frac{IK}{MC}\)

Suy ra EI = IK (do DM = MC). Do EI = KF và EI = IK nên EI = IK = KF.

\(\)

7. Cho \(ABCD\) là hình bình hành. Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt \(BD,BC,DC\) lần lượt tại \(E,K,G\) (Hình 11). Chứng minh:

a) \(A{E^2} = EK.EG;\)

b) \(\displaystyle\frac{1}{AE} = \displaystyle\frac{1}{AK} + \displaystyle\frac{1}{AG}.\)

Giải

a) Do AD // BK, AB // DG nên theo hệ quả của định lí Thales, ta có:

\(\displaystyle\frac{EK}{AE} = \displaystyle\frac{EB}{ED} = \displaystyle\frac{AE}{EG}\) hay \(\displaystyle\frac{EK}{AE} = \displaystyle\frac{AE}{EG}.\)

Suy ra \(AE^2 = EK.EG.\)

b) Ta có: \(\displaystyle\frac{AE}{AK} = \displaystyle\frac{DE}{DB};\ \displaystyle\frac{AE}{AG} = \displaystyle\frac{BE}{BD}\) nên \(\displaystyle\frac{AE}{AK} + \displaystyle\frac{AE}{AG} = \displaystyle\frac{DE}{DB} + \displaystyle\frac{BE}{BD} = \displaystyle\frac{BD}{BD} = 1.\)

Suy ra \(AE.\left(\displaystyle\frac{1}{AK} + \displaystyle\frac{1}{AG}\right) = 1.\)

Vậy \(\displaystyle\frac{1}{AE} = \displaystyle\frac{1}{AK} = \displaystyle\frac{1}{AG}.\)

\(\)

8. An có một mảnh bìa có dạng hình tam giác ABC nhưng bị rách. An muốn cắt bỏ phần bị rách với vết cắt là đoạn thẳng MN. Tính diện tích tứ giác MNCB theo diện tích tam giác ABC, biết \(\displaystyle\frac{AM}{MB}=\displaystyle\frac{2}{3}\) và \(\displaystyle\frac{NC}{NA}=\displaystyle\frac{1}{5}\) (Hình 12).

Giải

Kẻ đường cao MH của tam giác AMN và đường cao BK của tam giác ABC.

Do MH // BK nên \(\displaystyle\frac{MH}{BK}=\displaystyle\frac{AM}{AB}.\)

Ta có \(\displaystyle\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}=\displaystyle\frac{(AN.MH):2}{(AC.BK):2}=\displaystyle\frac{AN}{AC}.\displaystyle\frac{AM}{AB}\) (1).

Do \(\displaystyle\frac{AM}{MB}=\displaystyle\frac{2}{3},\ \displaystyle\frac{NC}{NA}=\displaystyle\frac{1}{5}\) nên \(\displaystyle\frac{AM}{AB}=\displaystyle\frac{2}{5},\ \displaystyle\frac{AN}{AC}=\displaystyle\frac{5}{6}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle\frac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}=\displaystyle\frac{AM}{AB}.\displaystyle\frac{AN}{AC}=\displaystyle\frac{2}{5}.\displaystyle\frac{5}{6}=\displaystyle\frac{1}{3}\) hay \(S_{\Delta ABC} = 3S_{\Delta AMN}.\)

Từ đó dễ thấy diện tích phần bị cắt bỏ bằng \(\displaystyle\frac{2}{3}S_{\Delta ABC}.\)

\(\)

9*. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho \(\widehat{EDC}=\widehat{FDB}=90^o.\) Chứng minh: EF // BC.

Giải