Bài 1. Dãy số

Bài \(1\). Dãy số trang \(43\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(1\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy có số hạng tổng quát \(u_n\) cho bởi công thức sau:
\(a)\) \(u_n = 2n^2 + 1\);
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^n}{2n \ – \ 1}\);
\(c)\) \(u_n = \displaystyle \frac{2^n}{n}\);
\(d)\) \(u_n = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{n}\right)^n\).

Trả lời:

Năm số hạng đầu của các dãy số là:

\(a)\) \(u_1 = 2. 1^2 + 1 = 3\)

\(u_2 = 2. 2^2 + 1 = 9\)

\(u_3 = 2. 3^2 + 1 = 19\)

\(u_4 = 2. 4^2 + 1 = 33\)

\(u_5 = 2. 5^2 + 1 = 51\)

\(b)\) \(u_1 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^1}{2. 1 \ – \ 1} = \ – \ 1\)

\(u_2 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^2}{2. 2 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

\(u_3 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^3}{2. 3 \ – \ 1} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{5}\)

\(u_4 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^4}{2. 4 \ – \ 1} = \displaystyle \frac{1}{7}\)

\(u_5 = \displaystyle \frac{(\ – \ 1)^5}{2. 5 \ – \ 1} = \ – \ \displaystyle \frac{1}{9}\)

\(c)\) \(u_1 = \displaystyle \frac{2^1}{1} = 2\)

\(u_2 = \displaystyle \frac{2^2}{2} = 2\)

\(u_3 = \displaystyle \frac{2^3}{3} = \displaystyle \frac{8}{3}\)

\(u_4 = \displaystyle \frac{2^4}{4} = 4\)

\(u_5 = \displaystyle \frac{2^5}{5} = \displaystyle \frac{32}{5}\)

\(d)\) \(u_1 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{1}\right)^1 = 2\)

\(u_2 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 = \displaystyle \frac{9}{4}\)

\(u_3 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{3}\right)^3 = \displaystyle \frac{64}{27}\)

\(u_4 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{4}\right)^4 = \displaystyle \frac{625}{256}\)

\(u_5 = \left(1 + \displaystyle \frac{1}{5}\right)^5 = \displaystyle \frac{7776}{3125}\)

\(\)

Bài \(2\). \(a)\) Gọi \(u_n\) là số chấm ở hàng thứ \(n\) trong Hình \(1\). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số \((u_n)\).
\(b)\) Gọi \(v_n\) là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ \(n\) trong Hình \(2\) (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số \((v_n)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có số chấm ở các hàng lần lượt là:

\(u_1 = 1, u_2 = 2, u_3 = 3, u_4 = 4\)

Vậy số chấm ở hàng thứ \(n\) là:

\(u_n = n\)

\(b)\) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là:

\(v_1 = 1 = 1^3\)

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là:

\(v_2 = 8 = 2^3\)

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là:

\(v_3 = 27 = 3^3\)

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là:

\(v_4 = 64 = 4^3\)

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ \(n\) là:

\(v_n = n^3\)

\(\)

Bài \(3\). Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \((u_n)\), biết:
\(a)\) \(u_n = \displaystyle \frac{n \ – \ 3}{n + 2}\);
\(b)\) \(u_n = \displaystyle \frac{3^n}{2^n. n!}\);
\(c)\) \(u_n = (\ – \ 1)^n. (2^n + 1)\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(u_{n + 1} = \displaystyle \frac{n + 1 \ – \ 3}{n + 1 + 2} = \displaystyle \frac{n \ – \ 2}{n + 3}\)

Xét \(u_{n + 1} \ – \ u_n = \displaystyle \frac{n \ – \ 2}{n + 3} \ – \ \displaystyle \frac{n \ – \ 3}{n + 2}\)

\(= \displaystyle \frac{n^2 \ – \ 4 \ – \ (n^2 \ – \ 9)}{(n + 3)(n + 2)} = \displaystyle \frac{5}{(n + 3)(n + 2)} > 0, \forall n \in \mathbb{N^*}\)

\(\Rightarrow u_{n + 1} > u_n\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

\(b)\) Ta có: \(u_{n + 1} = \displaystyle \frac{3^{n + 1}}{2^{n + 1}. (n + 1)!} \)

\(= \displaystyle \frac{3. 3^n}{2. (n + 1). 2^n. n!} = \displaystyle \frac{3}{2(n + 1)}. u_n\)

Với \(n \in \mathbb{N^*}\) thì \(\displaystyle \frac{3}{2(n + 1)} \leq \displaystyle \frac{3}{2(1 + 1)} = \displaystyle \frac{3}{4} < 1\)

Suy ra \(u_{n + 1} < u_n\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

\(c)\) Ta có: \(u_{n + 1} = (\ – \ 1)^{n + 1}. (2^{n + 1} + 1)\).

\(+)\) Với \(n\) chẵn:

\(u_{n + 1} = \ – \ (2. 2^n + 1)\)

\(u_n = 2^n + 1\)

Do đó \(u_{n + 1} < u_n\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm với \(n\) chẵn.

\(+)\) Với \(n\) lẻ:

\(u_{n + 1} = 2. 2^n + 1\)

\(u_n = \ – \ (2^n + 1)\)

Do đó \(u_{n + 1} > u_n\)

Dãy số đã cho là dãy số tăng với \(n\) lẻ.

\(\)

Bài \(4\). Trong các dãy số \((u_n)\) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
\(a)\) \(u_n = n^2 + 2\);
\(b)\) \(u_n = \ – \ 2n + 1\);
\(c)\) \(u_n = \displaystyle \frac{1}{n^2 + n}\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(n \in \mathbb{N^*}\) nên \(n \geq 1\)

\(\Rightarrow u_n = n^2 + 2 \geq 1^2 + 2 = 3\)

Vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới bởi \(3\).

\(b)\) Ta có: \(n \in \mathbb{N^*}\) nên \(n \geq 1\)

\(\Rightarrow u_n = \ – \ 2n + 1 \leq \ – \ 2. 1 + 2 = \ – \ 1\)

Vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn trên bởi \(\ – \ 1\).

\(c)\) Do \(n \in \mathbb{N^*}\) nên \(n \geq 1\)

\(\Rightarrow n^2 + n \geq 1^2 + 1 = 2 \forall n \in \mathbb{N^*}\)

\(\Rightarrow 0 < u_n = \displaystyle \frac{1}{n^2 + n} \leq \displaystyle \frac{1}{2} \forall n \in \mathbb{N^*}\)

Vậy dãy số bị chặn.

\(\)

Bài \(5\). Cho dãy số thực dương \((u_n)\). Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng khi và chỉ khi \(\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\).

Trả lời:

Ta có: \(\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1, \forall n \in \mathbb{N^*}\)

\(\Leftrightarrow u_{n + 1} > u_n , \forall n \in \mathbb{N^*}\) luôn đúng.

Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng khi và chỉ khi \(\displaystyle \frac{u_{n + 1}}{u_n} > 1\) với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\)

\(\)

Bài \(6\). Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi \(100\) triệu đồng. Sau đó, cứ hết \(1\) tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng \(6\) triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là \(0,5 \%\) một tháng. Gọi \(P(n)\) (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau \(n\) tháng.
\(a)\) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau \(1\) tháng.
\(b)\) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau \(3\) tháng.
\(c)\) Dự đoán công thức của \(P_n\) tính theo \(n\).

Trả lời:

\(a)\) Số tiền chị có trong ngân hàng sau \(1\) tháng là:

\(P_1 = 100 + 100. 0,5\% = 100 (1 + 0,005) + 6\) (triệu đồng)

\(b)\) Số tiền chị có trong ngân hàng sau \(2\) tháng là:

\(P_2 = 100 (1 + 0,005) + 6 + [100 (1 + 0,005) + 6]. 0,5\% + 6\)

\(= [100. (1 + 0,005) + 6]( 1 + 0,005) + 6\)

\(= 100. (1 + 0,005)^2 + 6. (1 + 0,005) + 6\) (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau \(3\) tháng là:
\(P_3 = 100 (1 + 0,005)^2 + 6. (1 + 0,005) + 6 +\)

\([100 (1 + 0,005)^2 + 6. (1 + 0,005) + 6]. 0,5\% + 6\)

\(= [ 100 (1 + 0,005)^2 + 6. (1 + 0,005) + 6 ] (1 + 0,005) + 6\)

\(= 100( 1 + 0,005)^3 + 6. (1 + 0,005)^2 + 6 (1 + 0,005) + 6\)(triệu đồng)

\(c)\) Dự đoán công thức \(P_n\):