Bài 1. Dãy số

Bài \(1\) trang \(45\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Tìm \(u_2, u_3\) và dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số:
\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} u_1 = 1\\u_{n + 1} = \displaystyle \frac{u_n}{1 + u_n} \end{array} \right. (n \geq 1) \end{equation}\)

Trả lời:

Ta có:

\(u_2 = \displaystyle \frac{1}{1 + 1} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(u_3 = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{1 + \displaystyle \frac{1}{2}} = \displaystyle \frac{1}{3}\).

Suy ra \(u_n = \displaystyle \frac{1}{n}\)

\(\)

Bài \(2\). Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \displaystyle \frac{1}{1.2} + \displaystyle \frac{1}{2.3} + … + \displaystyle \frac{1}{n(n + 1)}\). Tìm \(u_1, u_2, u_3\) và dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\).

Trả lời:

Ta có: \(u_1 = \displaystyle \frac{1}{1.2} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

\(u_2 = \displaystyle \frac{1}{1.2} + \displaystyle \frac{1}{2.3} = \displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{6} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

\(u_3 = \displaystyle \frac{1}{1.2} + \displaystyle \frac{1}{2.3} + \displaystyle \frac{1}{3.4} = \displaystyle \frac{3}{4}\)

Suy ra \(u_n = \displaystyle \frac{n}{n + 1}\).

\(\)

Bài \(3\). Xét tính tăng, giảm của dãy số \((y_n)\) với \(y_n = \sqrt{n + 1} \ – \ \sqrt{n}\).

Trả lời:

Ta có: \(y_n = \sqrt{n + 1} \ – \ \sqrt{n}\)

\( = \displaystyle \frac{(\sqrt{n + 1} \ – \ \sqrt{n}). (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\)

\(= \displaystyle \frac{n + 1 \ – \ n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}\)

Suy ra \(y_{n + 1} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n + 2} + \sqrt{n + 1}}\)

Ta thấy, với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) thì \(y_{n + 1} < y_n\)

Vậy dãy số \(y_n\) là dãy số giảm.

\(\)

Bài \(4\). Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
\(a)\) \((a_n)\) với \(a_n = \sin^2{\displaystyle \frac{n\pi}{3}} + \cos{\displaystyle \frac{n\pi}{4}}\)
\(b)\) \((u_n)\) với \(u_n = \displaystyle \frac{6n \ – \ 4}{n + 2}\)

Trả lời:

\(a)\) Với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) ta có:

\( 0 \leq \sin^2 {\displaystyle \frac{n\pi}{3}}\leq 1\)

\(\ – \ 1 \leq \cos{\displaystyle \frac{n\pi}{4}} \leq 1\).

Suy ra: \(0 + (\ – \ 1) \leq \sin^2{\displaystyle \frac{n\pi}{3}} + \cos{\displaystyle \frac{n\pi}{4}} \leq 1 + 1\)

Hay \(\ – \ 1 \leq a_n \leq 2\)

Vậy dãy số \((a_n)\) bị chặn.

\(b)\) Ta có: \(u_n = \displaystyle \frac{6n \ – \ 4}{n + 2} = \displaystyle \frac{6(n + 2) \ – \ 16}{n + 2} = 6 \ – \ \displaystyle \frac{16}{n + 2}\)

Ta thấy \(u_n < 6 \text{ với mọi } n \in \mathbb{N^*}\)

Suy ra \(u_n\) bị chặn trên.

Với \(n \in \mathbb{N^*}\) thì \(n + 2 > 0\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{16}{n + 2} < \displaystyle \frac{16}{2} = 8\)

\(\Rightarrow u_n = 6 \ – \ \displaystyle \frac{16}{n + 2} > 6 \ – \ 8 = \ – \ 2\) Hay \((u_n)\) bị chặn dưới.

Vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn.

\(\)

Bài \(5\). Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \displaystyle \frac{2n \ – \ 1}{n + 1}\)
Chứng minh \((u_n)\) là dãy số tăng và bị chặn.

Trả lời:

Ta có: \(u_n = \displaystyle \frac{2n \ – \ 1}{n + 1} = \displaystyle \frac{2(n + 1) \ – \ 3}{n + 1} = 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{n + 1}\)

\(\Rightarrow u_{n + 1} = 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{n + 2}\)

Ta thấy, với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\) thì \(\displaystyle \frac{3}{n + 1} > \displaystyle \frac{3}{n + 2}\)

\(\Rightarrow 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{n + 1} < 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{n + 2}\)

\(\Rightarrow u_n < u_{n + 1}\) hay dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng.

\(u_n = 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{n + 1} > 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{0 + 1} = \ – \ 1\)

\(u_n = 2 \ – \ \displaystyle \frac{3}{n + 1} < 2\)

\(\Rightarrow\) Dãy số \((u_n)\) bị chặn

Vậy \((u_n)\) là dãy số tăng và bị chặn (đpcm)

\(\)

Bài \(6\). Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \displaystyle \frac{na + 2}{n + 1}\). Tìm giá trị của \(a\) để:
\(a)\) \((u_n)\) là dãy số tăng.
\(b)\) \((u_n)\) là dãy số giảm.

Trả lời:

Ta có: \(u_n = \displaystyle \frac{na + 2}{n + 1} = \displaystyle \frac{a(n + 1) + 2 \ – \ a}{n+ 1}\)

\(= a + \displaystyle \frac{2 \ – \ a}{n + 1}\)

Suy ra \(u_{n + 1} = a + \displaystyle \frac{2 \ – \ a}{n + 2}\).

Xét \(u_{n + 1} \ – \ u_n = \left(a + \displaystyle \frac{2 \ – \ a}{n + 2}\right) \ – \ \left(a + \displaystyle \frac{2 \ – \ a}{n + 1}\right)\)

\(= \displaystyle \frac{2 \ – \ a}{n + 2} \ – \ \displaystyle \frac{2 \ – \ a}{n + 1} = (2 \ – \ a). \left(\displaystyle \frac{1}{n + 2} \ – \ \displaystyle \frac{1}{n + 1}\right)\)

\(= \displaystyle \frac{a \ – \ 2}{(n + 1)(n + 2)}\)

\(a)\) Với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\), \(u_n\) là dãy số tăng khi và chỉ khi:

\(u_{n + 1} \ – \ u_n > 0\)

\(\Leftrightarrow a \ – \ 2 > 0\)

\(\Leftrightarrow a < 2\)

\(b)\) Với mọi \(n \in \mathbb{N^*}\), \(u_n\) là dãy số giảm khi và chỉ khi:

\(u_{n + 1} \ – \ u_n < 0\)

\(\Leftrightarrow a > 2\)

\(\)

Bài \(7\). Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh \(1\) đơn vị, người ta vẽ \(8\) hình vuông và tô màu khác nhau như Hình \(3\). Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của \(8\) hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?