Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai

Bài \(1\). Dấu của tam thức bậc hai trang \(6\) SGK toán lớp \(10\) tập \(2\) Nhà xuất bản Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau.

Bài \(1\). Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
\(a)\) \(4x^2 + 3x + 1\);
\(b)\) \( x^3 + 3x^2 \ – \ 1\);
\(c)\) \(2x^2 + 4x \ – \ 1\).

Trả lời:

\(a)\) Đa thức \(4x^2 + 3x + 1\) là tam thức bậc hai với \(a = 4; b = 3; c = 1\).

\(b)\) Đa thức \(x^3 + 3x^2 \ – \ 1\) không phải là tam thức bậc hai vì bậc của đa thức là bậc ba.

\(c)\) Đa thức \(2x^2 + 4x \ – \ 1\) là tam thức bậc hai với \(a = 2; b = 4; c = \ – \ 1\).

\(\)

Bài \(2\). Xác định giá trị của \(m\) để các đa thức sau là tam thức bậc hai.
\(a)\) \((m + 1)x^2 + 2x + m\);
\(b)\) \(mx^3 + 2x^2 \ – \ x + m\);
\(c)\) \(\ – \ 5x^2 + 2x \ – \ m + 1\).

Trả lời:

\(a)\) Đa thức \((m + 1)x^2 + 2x + m\) là tam thức bậc hai khi và chỉ khi hệ số của \(x^2\) phải khác \(0\)

\(\Leftrightarrow m + 1 \neq 0\)

\(\Leftrightarrow m \neq \ – \ 1\)

Vậy với \(m \neq \ – \ 1\) thì đa thức \((m + 1)x^2 + 2x + m\) là tam thức bậc hai.

\(b)\) Để đa thức \(mx^3 + 2x^2 \ – \ x + m\) là tam thức bậc hai thì bậc cao nhất của đa thức phải là bậc hai.

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) phải bằng \(0\)

\(\Leftrightarrow m = 0\)

Vậy với \(m = 0\) thì đa thức \(mx^3 + 2x^2 \ – \ x + m\) là tam thức bậc hai.

\(c)\) Đa thức \(\ – \ 5x^2 + 2x \ – \ m + 1\) là tam thức bậc hai với mọi \(m\).

\(\)

Bài \(3\). Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Trả lời:

\(a)\) Dựa vào đồ thị ta thấy: Đồ thị hàm số cắt trục hoành \(Ox\) tại \(2\) điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x_1 = \ – \ 2\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\)

Do đó \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = \ – \ 2, x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\) và có \( a = 1 > 0\)

\(\Rightarrow\) Với \(x \in (\ – \ \infty; \ – \ 2)\) và \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}; +\infty \right)\) thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành hay \(f(x) > 0\)

Với \(x \in \left(\ – \ 2; \displaystyle \frac{1}{2}\right)\) thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành hay \(f(x) < 0\).

Ta có bảng xét dấu sau:

\(b)\) Ta thấy: Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Do đó \(g(x)\) vô nghiệm và \(a = 1 > 0\)

Toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên ta có \(g(x) > 0\) \(\forall x\).

Ta có bảng xét dấu sau:

\(c)\) Ta thấy: Đồ thị hàm số \(h(x)\) cắt trục hoành tại \(1\) điểm duy nhất có hoành độ \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3}\). Do đó \(h(x)\) có nghiệm duy nhất \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3}\) và \(a = \ – \ 9 < 0\)

Với \(x = \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3}\) thì \(h(x) = 0\);

Với \( x \neq \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3}\) thì đồ thị hàm số nằm hoàn toàn dưới trục hoành nên \(h(x) < 0\) \(\forall x \neq \displaystyle \frac{\ – \ 2}{3}\).

Khi đó ta có bảng xét dấu:

\(d)\) Ta thấy: Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Do đó \(f(x)\) vô nghiệm và \(a = \ – \ 5 < 0\)

Hơn nữa toàn bộ đồ thị hàm số \(f(x)\) nằm phía dưới trục hoành với mọi \(x\) nên \(f(x) < 0\) \(\forall x\).

Ta có bảng xét dấu sau:

\(e)\) Ta thấy: Đồ thị hàm số \(g(x)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x_1 = \ – \ 2\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{3}{2}\). Do đó \(g(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 2\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{3}{2}\) và \(a = 1 > 0\)

Với \(x \in (\ – \ \infty; \ – \ 2)\) và \(\left(\displaystyle \frac{3}{2}; + \infty \right)\) thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành tương ứng với \(g(x) > 0\)

Với \(x \in \left(\ – \ 2; \displaystyle \frac{3}{2}\right)\) thì đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành hay \(g(x) < 0\).

Ta có bảng xét dấu sau:

\(g)\) Ta thấy: Đồ thị hàm số \(h(x)\) cắt trục hoành tại \(1\) điểm duy nhất có hoành độ là \(x = \ – \ \sqrt{2}\). Do đó \(h(x)\) có nghiệm duy nhất \(x = \ – \ \sqrt{2}\) và \(a = 1 > 0\).

Với \(x = \ – \ \sqrt{2}\) thì \(h(x) = 0\)

Với \(x \neq \ – \ \sqrt{2}\) thì đồ thị hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành tương ứng \(h(x) > 0\).

Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

\(\)

Bài \(4\). Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:
\(a)\) \(f(x) = 2x^2 + 4x + 2\);
\(b)\) \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 2x + 21\);
\(c)\) \(f(x) = \ – \ 2x^2 + x \ – \ 2\);
\(d)\) \(f(x) = \ – \ 4x(x + 3) \ – \ 9\);
\(e)\) \(f(x) = (2x + 5)(x \ – \ 3)\).

Trả lời:

\(a)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = 2x^2 + 4x + 2\) có \(\Delta = 4^2 \ – \ 4. 2. 2 = 16 \ – \ 16 = 0\)

Do đó \(f(x)\) có nghiệm duy nhất \(x_1 = x_2 = \ – \ 1\) và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy với \(x \neq \ – \ 1\) thì \(f(x)\) mang dấu dương.

\(b)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 3x^2 + 2x + 21\) có \(\Delta = 2^2 \ – \ 4. (\ – \ 3). 21 = 256 > 0\)

Do đó \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 3\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 7}{3}\) và \(a = \ – \ 3 < 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy \(f(x)\) dương khi \(x \in \left(\displaystyle \frac{\ – \ 7}{3}; 3 \right)\) và \(f(x)\) âm khi \(x \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 7}{3} \right)\) và \((3; + \infty)\).

\(c)\) Tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 2x^2 + x \ – \ 2\) có \(\Delta = 1^2 \ – \ 4. (\ – \ 2). (\ – \ 2) = 1 \ – \ 16 = \ – \ 15 < 0\). Do đó hàm số vô nghiệm và \(a = \ – \ 2 < 0\).

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy \(f(x)\) âm với mọi giá trị thực của \(x\).

\(d)\) Ta có \(f(x) = \ – \ 4x(x + 3) \ – \ 9 = \ – \ 4x^2 \ – \ 12x \ – \ 9\)

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = \ – \ 4x^2 \ – \ 12x \ – \ 9\) có \(\Delta = (\ – \ 12)^2 \ – \ 4. (\ – \ 4). (\ – \ 9)\)

\( = 144 \ – \ 144 = 0\)

Do đó \(f(x)\) có nghiệm kép \(x_1 = x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}\) và \(a = \ – \ 4 < 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy \(f(x)\) mang dấu âm khi \(x \neq \displaystyle \frac{\ – \ 3}{2}\).

\(e)\) Ta có \(f(x) = (2x + 5)(x \ – \ 3) = 2x^2 \ – \ x \ – \ 15\).

Tam thức \(f(x) = 2x^2 \ – \ x \ – \ 15\) có \(\Delta = (\ – \ 1)^2 \ – \ 4. 2. (\ – \ 15) = 121 > 0\)

Suy ra \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 3\) và \(x_2 = \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}\) và \(a = 2 > 0\).

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy \(f(x)\) âm khi \(x \in \left(\displaystyle \frac{\ – \ 5}{2}; 3 \right)\) và \(f(x)\) dương khi \(x \in \left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{\ – \ 5}{2} \right)\) và \((3; +\infty)\).

\(\)

Bài \(5\). Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được \(x\) mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số \(h(x) = \ – \ 0,1x^2 + x \ – \ 1\). Trong các khoảng nào của \(x\) thì bóng nằm: cao hơn vành rổ, thấp hơn vành rổ và ngang vành rổ. Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười.

Trả lời:

Ta có: \(h(x) = \ – \ 0,1 x^2 + x \ – \ 1\) là tam thức bậc hai với \(a = \ – \ 0,1; b = 1; c = \ – \ 1\) và có \(\Delta = 1^2 \ – \ 4. (\ – \ 0,1). (\ – \ 1) = 0,6 > 0\)

Do đó \(h(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 5 + \sqrt{15}; x_2 = 5 \ – \ \sqrt{15}\) và \(a = \ – \ 0,1 < 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Ta thấy \(h(x)\) dương khi \(x \in (5 \ – \ \sqrt{5}; 5 + \sqrt{5})\) và \(h(x)\) âm khi \(x \in (\ – \ \infty; 5 \ – \ \sqrt{5}) \cup (5 + \sqrt{5}; + \infty)\).

Nhìn vào hình vẽ ta cũng thấy trục \(Ox\) chính là vành rổ.

Lại có: \(5 \ – \ \sqrt{15} \approx 1,13; 5 + \sqrt{15} = 8,87\)

Suy ra: \(x \in (1,13; 8,87)\) thì bóng nằm trên vành rổ.

\(x \in (\ – \ \infty; 1,13) \cup (8,87; + \infty)\) thì bóng nằm dưới vành rổ.

\(x \simeq (1,13; 8,87)\) thì bóng nằm ngang vành rổ.

\(\)

Bài \(6\). Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài \(20 cm\) và chiều rộng \(15 cm\) được uốn lại thành khung hình chữ nhật mới có kích thước \((20 + x) cm\) và \((15 \ – \ x) cm\). Với \(x\) nằm trong các khoảng nào thì diện tích của khung sau khi uốn: tăng lên, không thay đổi, giảm đi?

Trả lời:

Diện tích khung dây thép ban đầu là:

\(20. 15 = 300 (cm^2)\)

Diện tích khung dây thép mới sau khi được uốn là:

\((20 + x) (15 \ – \ x) = 300 + 5x \ – \ x^2 (cm^2)\)

Xét hiệu giữa hai diện tích, ta có:

\(f(x) = 300 \ – \ (300 + 5x \ – \ x^2) = x^2 \ – \ 5x\)

Ta có \(f(x)\) là tam thức bậc hai có \(\Delta = (\ – \ 5)^2 \ – \ 4.(\ – \ 5).0 = 25 > 0\)

\(\Rightarrow\) \(f(x)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1 = 0; x_2 = 5\) và \(a = 1 > 0\)

Do \(x\) là độ dài nên \(x \geq 0\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy khi \(x \in (0; 5)\) thì diện tích sau khi uốn tăng lên; khi \(x > 5\) thì diện tích giảm đi và diện tích không đổi khi \(x = 0 \text{ và } x = 5\).

\(\)

Bài \(7\). Chứng minh rằng với mọi số thực \(m\) ta luôn có \(9m^2 + 2m > \ – \ 3\).

Trả lời:

Ta chứng minh: \(f(m) = 9m^2 + 2m \ – \ 3\) với mọi \(m\)

\(\Leftrightarrow f(m) = 9m^2 + 2m + 3 > 0\) với mọi \(m\)

Xét tam thức bậc hai \(f(m)\) có \(\Delta = 2^2 \ – \ 4. 9. 3 = \ – \ 104 < 0\) và \(a = 9 > 0\)

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta có:

\(\Delta < 0\) và \(a > 0\) nên \(f(m)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(m\)

Vậy \(f(m) = 9m^2 + 2m + 3 > 0\) với mọi \(m\)

Hay \(9m^2 + 2m > \ – \ 3\) với mọi \(m\) (đpcm).

\(\)

Bài \(8\). Tìm giá trị của \(m\) để:
\(a)\) \(2x^2 + 3x + m + 1 > 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}\);
\(b)\) \(mx^2 + 5x \ – \ 3 \leq 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}\).

Trả lời:

\(a)\) Tam thức bậc hai \(2x^2 + 3x + m + 1\) có

\(\Delta = 3^2 \ – \ 4. 2. (m + 1) = 1 \ – \ 8m\)

Vì \(a = 2 > 0\) nên để \(2x^2 + 3x + m + 1 > 0\) ( cùng dấu với \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta < 0\)

\(\Leftrightarrow 1 \ – \ 8m < 0\)

\(\Leftrightarrow m > \displaystyle \frac{1}{8}\).

Vậy với \(m > \displaystyle \frac{1}{8}\) thì \(2x^2 + 3x + m + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

\(b)\) Xét tam thức bậc hai \(mx^2 + 5x \ – \ 3\) có:

\(\Delta = 5^2 \ – \ 4. m. (\ – \ 3) = 25 + 12m\)

Để \(mx^2 + 5x \ – \ 3 \leq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì:

\(\left \{\begin{matrix} m < 0\\ \Delta \leq 0 \end{matrix} \right.\)

\(\Leftrightarrow m \leq \displaystyle \frac{\ – \ 25}{12}\).