Bài 1. Đạo hàm

Bài \(1\). Đạo hàm trang \(37\) Sách giáo khoa Toán lớp \(11\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:

Bài \(1\). Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
\(a)\) \(f(x) = \ – \ x^2\);
\(b)\) \(f(x) = x^3 \ – \ 2x\);
\(c)\) \(f(x) = \displaystyle \frac{4}{x}\).

Trả lời:

\(a)\) Với bất kì \(x_0\) ta có:

\(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) \ – \ f(x_0)}{x \ – \ x_0} = \lim_{x \to x_0} \displaystyle \frac{\ – \ x^2 + x_0^2}{x \ – \ x_0}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{(x_0 \ – \ x)(x_0 + x)}{x \ – \ x_0} = \lim_{x \to x_0} [\ – \ (x + x_0)]\)

\( = \ – \ 2x_0\)

\(b)\) Với bất kì \(x_0\) ta có:

\(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) \ – \ f(x_0)}{x \ – \ x_0}\)

\(= \lim\limits_{x \to x_0} \displaystyle \frac{(x^3 \ – \ 2x) \ – \ (x_0^3 \ – \ 2x_0)}{x \ – \ x_0}\)

\( = \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{(x^3 \ – \ x_0^3) \ – \ 2(x \ – \ x_0)}{x \ – \ x_0}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{(x \ – \ x_0)(x^2 + x. x_0 + x_0^2) \ – \ 2(x \ – \ x_0)}{x \ – \ x_0}\)

\(= \lim\limits_{x \to x_0} (x^2 + x. x_0 + x_0^2) \ – \ \lim\limits_{x \to x_0} 2\)

\(= \lim\limits_{x \to x_0} 3x_0^2 \ – \ 2\)

\(c)\) Với bất kì \(x_0 \neq 0\) ta có:

\(f'(x_0) = \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{\displaystyle \frac{4}{x} \ – \ \displaystyle \frac{4}{x_0}}{x \ – \ x_0}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{4(x_0 \ – \ x)}{xx_0 (x \ – \ x_0)}\)

\(= \displaystyle \lim_{x \to x_0} \frac{\ – \ 4}{xx_0} = \ – \ \displaystyle \frac{4}{x_0^2}\)

\(\)

Bài \(2\). Cho hàm số \(f(x) = \ – \ 2x^2\) có đồ thị \((C)\) và điểm \(A(1; \ – \ 2) \in (C)\). Tính hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(A\).

Trả lời:

Ta có: \((\ – \ 2x^2)’ = \ – \ 4x\) nên tiếp tuyến của \((C)\) tại \(A(1; \ – \ 2)\) có hệ số góc là \(f'(1) = \ – \ 4. 1 = \ – \ 4\)

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với \((C)\) tại điểm \(A(1; \ – \ 2)\) là \(\ – \ 4\).

\(\)

Bài \(3\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3\)
\(a)\) Tại điểm \((\ – \ 1; \ – \ 1)\);
\(b)\) Tại điểm có hoành độ bằng \(2\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \((x^3)’ = 3x^2\) nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3\) tại điểm \((\ – \ 1; \ – \ 1)\) có hệ số góc là \(y'(\ – \ 1) = 3. (\ – \ 1)^2 = 3\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \((\ – \ 1; \ – \ 1)\) là:

\(y \ – \ (\ – \ 1) = 3 (x + 1)\)

\(\Leftrightarrow y = 3x + 2\)

\(b)\) Điểm có hoành độ \(2\) thuộc đồ thị hàm số \(y = x^3\) nên có tung độ bằng \(y_0 = 2^3 = 8\)

Ta có: \((x^3)’ = 3x^2\) nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^3\) tại điểm \((2; 8)\) có hệ số góc là \(y'(2) = 3. 2^2 = 12\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \((2; 8)\) là:

\(y \ – \ 8 = 12 (x \ – \ 2)\)

\(\Leftrightarrow y = 12x \ – \ 16\)

\(\)

Bài \(4\). Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s(t) = 4t^3 + 6t + 2\), trong đó \(s\) tính bằng mét và \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại \(t = 2\).

Trả lời:

Ta có: \(s'(t) = 4. 3t^2 + 6 = 12t^2 + 6\)

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại \(t = 2\) là:

\(v(2) = s'(2) = 12. 2^2 + 6 = 54\) (m/s)

\(\)

Bài \(5\). Một người gửi tiết kiệm khoản tiền \(10\) triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất \(5 \%/\)năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức
\(a)\) lãi kép với kì hạn \(6\) tháng;
\(b)\) lãi kép liên tục.

Trả lời:

\(a)\) Thể thức lãi kép với kì hạn \(6\) tháng nên ta có tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là:

\(T = 10 \left(1 + \displaystyle \frac{5 \%}{2}\right)^2 = 10,506\) (triệu đồng)

\(b)\) Thể thức lãi kép liên tục thì tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau một năm là:

\(T = 10e^{0,05. 1} = 10,513\) (triệu đồng)

\(\)

Bài \(6\). Trên mặt trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức \(h(t) = 0,81t^2\), với \(t\) được tính bằng giây và \(h\) tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt trăng tại thời điểm \(t = 2\).