Bài 1. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm

Bài \(1\). Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm trang \(3\) SGK Toán lớp \(11\) tập \(II\) Cánh diều. Các em cùng Bumbii giải các bài tập sau:
Bài \(1\). Mẫu số liệu dưới đây ghi lại tốc độ của \(40\) ôtô khi đi qua một trạm đo tốc độ (đơn vị: km/h):

\(a)\) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng:
\([40; 45), [45; 50), [50; 55), [55; 60), [60; 65), [65; 70)\).
\(b)\) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(c)\) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Trả lời:

\(a)\) Bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có sáu nhóm ứng với sáu nửa khoảng, bao gồm cả giá trị đại diện là:

\(b)\) Số trung bình cộng là:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1}{40}. [42,5. 4 + 47,5. 11 + 52,5. 7 + 57,5. 8\)

\(+ 62,5. 8 + 67,5. 2] = 53,875\)

Trung vị là:

Ta có bảng ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ là:

Ta có: Số phần tử của mẫu là \(n = 40\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{n}{2} = \displaystyle \frac{40}{2} = 20\)

Suy ra nhóm \(3\) là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(20\).

Xét nhóm \(3: [50; 55)\) có:

\(r = 50, d = 5, n_3 = 7\) và nhóm \(2: [45; 50)\) có \(cf_2 = 15\).

Khi đó ta có trung vị của mẫu là:

\(M_e = 50 + \displaystyle \frac{20 \ – \ 15}{7}. 5 \approx 53,6\) (km/h)

Ta lại có: \(\displaystyle \frac{n}{4} = \displaystyle \frac{40}{4} = 10\)

Suy ra nhóm \(2\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(10\).

Xét nhóm \(2: [45; 50)\) ta có:

\(r = 45; d = 5; n_2 = 11\) và nhóm \(1: [40; 45)\) có tần số tích lũy \(cf_{1} = 4\)

Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:

\(Q_1 = 45 + \displaystyle \frac{10 \ – \ 4}{11}. 5 \approx 47,7\)

\(Q_2 = M_e \approx 53,6\) (km/h)

Ta có: \(\displaystyle \frac{3n}{4} = 30\)

Suy ra nhóm \(4\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(30\).

Xét nhóm \(4: [55; 60)\) có:

\(r = 55; d = 5; n_4 = 8\) và nhóm \(3\) là nhóm \([50; 55)\) có tần số tích lũy \(cf_3 = 22\)

Vậy tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:

\(Q_3 = 55 + \displaystyle \frac{30 \ – \ 22}{8}. 5 = 60\) (km/h)

\(c)\) Nhóm \(2\) là nhóm có tần số lớn nhất bằng \(11\).

Vậy mốt của mẫu số liệu là:

\(M_0 = 45 + \displaystyle \frac{11 \ – \ 4}{2. 11 \ – \ 4 \ – \ 7}. 5 \approx 43,2\).

\(\)

Bài \(2\). Mẫu số liệu sau ghi lại cân nặng của \(30\) bạn học sinh (đơn vị: kilôgam):

\(a)\) Lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:
\([15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35), [35; 40), [40; 45),\)
\([45; 50), [50; 55)\).
\(b)\) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(c)\) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?

Trả lời:

\(a)\) Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả giá trị đại diện là:

\(b)\) Số trung bình cộng là:

\(\overline{x} = \displaystyle \frac{1}{30}. [17,5. 1 + 32,5. 1 + 37,5. 10 + 42,5. 17 + 52,5. 1\)

\(= 40\)

Trung vị là:

Ta có bảng ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ là:

Ta có: Số phần tử của mẫu là \(n = 30\)

\(\Rightarrow \displaystyle \frac{n}{2} = \displaystyle \frac{30}{2} = 15\)

Suy ra nhóm \(6\) là nhóm có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(15\).

Xét nhóm \(6: [40; 45)\) có:

\(r = 40, d = 5, n_6 = 17\) và nhóm \(5: [35; 40)\) có \(cf_5 = 12\).

Khi đó ta có trung vị của mẫu là:

\(M_e = 40 + \displaystyle \frac{15 \ – \ 12}{17}. 5 \approx 40,9\) (kg)

Ta lại có: \(\displaystyle \frac{n}{4} = \displaystyle \frac{30}{4} = 7,5\)

Suy ra nhóm \(5\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(7,5\).

Xét nhóm \(5: [35; 40)\) ta có:

\(r = 35; d = 5; n_5 = 10\) và nhóm \(4: [30; 35)\) có tần số tích lũy \(cf_{4} = 2\)

Vậy tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là:

\(Q_1 = 35 + \displaystyle \frac{7,5 \ – \ 2}{10}. 5 \approx 37,75\) (kg)

\(Q_2 = M_e \approx 40,9\) (kg)

Ta có: \(\displaystyle \frac{3n}{4} = 22,5\)

Suy ra nhóm \(6\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(22,5\).

Xét nhóm \(6: [40; 45)\) có:

\(r = 40; d = 5; n_6 = 17\) và nhóm \(5\) là nhóm \([35; 40)\) có tần số tích lũy \(cf_5 = 12\)

Vậy tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:

\(Q_3 = 40 + \displaystyle \frac{22,5 \ – \ 12}{17}. 5 = 43,1\) (kg)

\(c)\) Nhóm \(6\) là nhóm có tần số lớn nhất bằng \(17\).

Vậy mốt của mẫu số liệu là:

\(M_0 = 40 + \displaystyle \frac{17 \ – \ 4}{2. 17 \ – \ 10}. 5 \approx 41,46\).

\(\)

Bài \(3\). Bảng \(15\) cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê chiều cao của \(40\) mẫu cây ở một vườn thực vật (đơn vị: centimét):
\(a)\) Xác định số trung bình cộng, trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
\(b)\) Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là bao nhiêu?