Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài \(1\). Bất phương trình bậc nhất hai ẩn trang \(24\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(2x \ – \ 5y + 10 > 0\).
\(a)\) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình trên mặt phẳng \(Oxy\).
\(b)\) \((1; 3)\) có phải là nghiệm của bất phương trình trên không?
\(c)\) Chỉ ra hai cặp số \((x; y)\) thoả mãn bất phương trình trên.

Trả lời:

\(a)\) Vẽ đường thẳng \(d: 2x \ – \ 5y + 10 = 0 \Leftrightarrow 2x \ – \ 5y = \ – \ 10\) đi qua hai điểm \((0; 2)\) và \((\ – \ 5; 0)\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\). Ta thấy \(O \notin d\) và \(2. 0 \ – \ 5. 0 + 10 = 10 > 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d\) chứa gốc toạ độ \(O\) (miền không bị tô màu như hình sau):

\(b)\) Thay toạ độ điểm \((1; 3)\) vào bất phương trình trên ta có:

\(2. 1 \ – \ 5. 3 + 10 = \ – \ 3 < 0\)

Vậy \((1; 3)\) không là nghiệm của bất phương trình trên.

\(c)\) Chọn \(x = 0\) thay vào bất phương trình ta được:

\(2. 0 \ – \ 5y + 10 > 0 \Leftrightarrow y < 2\)

Vậy hai cặp số thoả mãn bất phương trình trên là \((0; 1); (0; 2)\).

\(\)

Bài \(2\). Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\):
\(a)\) \(x + y \ – \ 1 > 0\);
\(b)\) \(x \ – \ 1 \geq 0\);
\(c)\) \(\ – \ y + 2 \leq 0\).

Trả lời:

\(a)\) Vẽ đường thẳng \(d: x + y \ – \ 1 = 0\) đi qua hai điểm \((0; 1)\) và \((1; 0)\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\). Ta thấy \(O \notin d\) và \(0 + 0 \ – \ 1= \ – \ 1 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d\) và không chứa gốc toạ độ \(O\) (miền không bị tô màu như hình sau):

\(b)\) Vẽ đường thẳng \(d: x \ – \ 1 = 0\) song song với trục \(Oy\) và đi qua điểm \((1; 0)\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\). Ta thấy \(O \notin d\) và \(0 \ – \ 1= \ – \ 1 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng chứa bờ \(d\) và không chứa gốc toạ độ \(O\) (miền không bị tô màu như hình sau):

\(c)\) Vẽ đường thẳng \(d: \ – \ y + 2 = 0\) song song với trục \(Ox\) và đi qua điểm \((0; 2)\).

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\). Ta thấy \(O \notin d\) và \(\ – \ 0 + 2 = 2 > 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng chứa bờ \(d\) và không chứa gốc toạ độ \(O\) (miền không bị tô màu như hình sau):

\(\)

Bài \(3\). Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\):
\(a)\) \(3x + 2y < x \ – \ y + 8\);
\(b)\) \(2(x \ – \ 1) + 3(y \ – \ 2) > 2\).

Trả lời:

\(a)\) Ta có: \(3x + 2y < x \ – \ y + 8 \Leftrightarrow 2x + 3y \ – \ 8 < 0\)

Vẽ đường thẳng \(d: 2x + 3y \ – \ 8 = 0\) đi qua hai điểm \(A(1; 2)\) và \(B(4; 0)\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\). Ta thấy \(O \notin d\) và \(2. 0 + 3. 0 \ – \ 8 = \ – \ 8 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d\) và chứa gốc toạ độ \(O\) (miền không bị tô màu như hình sau):

\(b)\) Ta có: \(2(x \ – \ 1) + 3(y \ – \ 2) > 2 \Leftrightarrow 2x + 3y \ – \ 10 > 0\)

Vẽ đường thẳng \(d: 2x + 3y \ – \ 10 = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y = 10\) đi qua hai điểm \(A\left(0; \displaystyle \frac{10}{3}\right)\) và \(B(5; 0)\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\). Ta thấy \(O \notin d\) và \(2. 0 + 3. 0 \ – \ 10 = \ – \ 10 < 0\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng không kể bờ \(d\) và không chứa gốc toạ độ \(O\) (miền không bị tô màu như hình sau):

\(\)

Bài \(4\). Bạn Nga muốn pha hai loại nước rửa xe. Để pha một lít loại \(I\) cần \(600 ml\) dung dịch chất tẩy rửa, còn loại \(II\) chỉ cần \(400 ml\). Gọi \(x\) và \(y\) lần lượt là số lít nước rửa xe loại \(I\) và \(II\) pha chế được và biết rằng Nga chỉ còn \(2400 ml\) chất tẩy rửa, hãy lập các bất phương trình mô tả số lít nước rửa xe loại \(I\) và \(II\) mà bạn Nga có thể pha chế được và biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình đó trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).

Trả lời:

Do \(x, y\) lần lượt là số lít nước rửa xe loại \(I\) và \(II\) pha chế được nên \(x \geq 0, y \geq 0\)

Để pha chế \(x\) lít nước rửa xe loại \(I\), Nga cần số ml dung dịch chất tẩy rửa là: \(600x\) (ml).

Để pha chế \(y\) lít nước rửa xe loại \(II\), Nga cần số ml dung dịch chất tẩy rửa là: \(400y\) (ml).

Vậy để pha chế được \(x\) lít nước rửa xe loại \(I\) và \(y\) lít nước rửa xe loại \(II\), bạn Nga cần dùng số ml dung dịch chất tẩy rửa là \(600x + 400y\) (ml)

Mặt khác, Nga chỉ có \(2400\) ml chất tẩy rửa nên \(600x + 400y \leq 2400\)

\(\Leftrightarrow 3x + 2y \leq 12\)

Vậy các bất phương trình mô tả số lít nước rửa xe loại \(I\) và loại \(II\) mà bạn Nga có thể pha chế được là:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x \geq 0\\y \geq 0\\3x + 2y \leq 12 \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình trên như sau:

\(+)\) \(x \geq 0\)

Vẽ đường thẳng \(x = 0\). Miền nghiệm của bất phương trình \(x \geq 0\) là nửa mặt phẳng có bờ là trục \(Oy\), nằm bên phải \(Oy\) và chứa cả \(Oy\) (miền không bị tô màu như hình sau):

\(+)\) \(y \geq 0\)

Vẽ đường thẳng \(y = 0\). Miền nghiệm của bất phương trình \(y \geq 0\) là nửa mặt phẳng có bờ là trục \(Ox\), nằm phía trên \(Ox\) và chứa cả \(Ox\) (miền không bị tô màu như hình sau):

\(+)\) \(3x + 2y \leq 12\)

Vẽ đường thẳng \(d: 3x + 2y = 12\) đi qua hai điểm \(A(0; 6)\) và \(B(4; 0)\)

Xét gốc toạ độ \(O(0; 0)\). Ta thấy \(O \notin d\) và \(3. 0 + 2. 0 = 0 < 12\)

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y \leq 12\) là nửa mặt phẳng kể cả bờ \(d\) và chứa gốc toạ độ \(O\) (miền không bị tô màu như hình sau):