Bài 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài \(1\). Bất phương trình bậc nhất hai ẩn trang \(20\) SGK Toán \(10\) Tập \(1\) Cánh diều. Các em hãy cùng Bumbii giải các bài tập sau đây nhé:

Bài \(1\). Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình \(2x \ – \ 3y < 3\)?
\(a)\) \((0; \ – \ 1)\);
\(b)\) \((2; 1)\);
\(c)\) \((3; 1)\).

Trả lời:

Lần lượt thay từng cặp số vào bất phương trình đã cho ta được:

\(2. 0 \ – \ 3. (\ – \ 1) = 3\)

Vậy cặp số \((0; \ – \ 1)\) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

\(2. 2 \ – \ 3. 1 = 1 < 3\) thỏa mãn

Vậy cặp số \((2; 1)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

\(2. 3 \ – \ 3. 1 = 3\)

Vậy cặp số \((3; 1)\) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

\(\)

Bài \(2\). Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
\(a)\) \(x + 2y < 3\);
\(b)\) \(3x \ – \ 4y \geq \ – \ 3\);
\(c)\) \(y \geq \ – \ 2x + 4\);
\(d)\) \(y < 1 \ – \ 2x\).

Trả lời:

\(a)\) \(x + 2y < 3\)

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(d: x + 2y = 3\)

\(+)\) Lấy điểm \(O(0; 0)\). Ta thấy \(0 + 2. 0 = 0 < 3\)

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(x + 2y < 3\) là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo chứa điểm \(O(0; 0)\) không kể bờ \(d\).

\(b)\) \(3x \ – \ 4y \geq \ – \ 3\)

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(d: 3x \ – \ 4y = \ – \ 3\)

\(+)\) Lấy điểm \(O(0; 0)\). Ta thấy \(3. 0 \ – \ 4. 0 = 0 > \ – \ 3\)

Vậy miền nghiệm của bất phương trình \(3x \ – \ 4y \geq \ – \ 3\) là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo chứa gốc tọa độ \(O\) kể cả bờ \(d\).

\(c)\) \(y \geq \ – \ 2x + 4\)

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(d: y = \ – \ 2x + 4\)

\(+)\) Lấy điểm \(O(0; 0)\). Ta thấy \(0 = \ – \ 2. 0 + 4\) vô lý.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo không chứa gốc tọa độ \(O\) kể cả bờ \(d\).

\(d)\) \(y < 1 \ – \ 2x\)

\(+)\) Vẽ đường thẳng \(y = 1 \ – \ 2x\)

\(+)\) Lấy điểm \(O(0; 0)\). Ta thấy \(0 < 1 \ – \ 2. 0\) thỏa mãn.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo chứa gốc tọa độ \(O\) không kể bờ \(d\).

\(\)

Bài \(3\). Phần không gạch (không kể \(d\)) ở mỗi Hình \(7a, 7b, 7c\) là miền nghiệm của bất phương trình nào?

Trả lời:

\(a)\) Gọi phương trình đường thẳng \(d\) là \(y = ax + b (a \neq 0)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((2; 0)\) và \((0; \ – \ 2)\) nên ta có hệ sau:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II}0 = a. 2 + b\\\ – \ 2 = a. 0 + b \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = 1 \\b = \ – \ 2 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Rightarrow d: y = x \ – \ 2\)

Xét điểm \(A(3; 0)\) thuộc miền nghiệm của bất phương trình \(0 < 3 \ – \ 2 = 1\)

Vậy bất phương trình cần tìm là \(y < x \ – \ 2\)

\(b)\) Gọi phương trình đường thẳng \(d\) là \(y = ax + b (a \neq 0)\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \((0; 1)\) và \((2; 0)\) nên ta có:

\(\begin{equation} \left\{\begin{array}{II} 1 = a. 0 + b \\0 = a. 2 + b \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}a = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\\b = 1 \end{array} \right. \end{equation}\)

\(\Rightarrow d: y = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x + 1\)

Xét điểm \(B(3; 0)\) thuộc miền nghiệm, ta có:

\(0 > \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}. 3 + 1 = \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}\)

Vậy bất phương trình cần tìm là \(y > \ – \ \displaystyle \frac{1}{2}x + 1\).

\(c)\) Phương trình đường thẳng \(d: y = x\).

Xét điểm \((\ – \ 1; 0)\) thuộc miền nghiệm ta có:

\(0 > \ – \ 1\)

Vậy bất phương trình cần tìm là \(y > x\)

\(\)

Bài \(4\). Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng \(60 m^2\). Diện tích để kê một chiếc ghế là \(0,5 m^2\), một chiếc bàn là \(1,2 m^2\). Gọi \(x\) là số chiếc ghế, \(y\) là số chiếc bàn được kê.
\(a)\) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) cho phần mặt sàn để kê bàn và ghế, biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu là \(12 m^2\).
\(b)\) Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên.

Trả lời:

\(a)\) Diện tích để kê \(x\) chiếc ghế, \(y\) chiếc bàn lần lượt là:

\(0,5x\) và \(1,2y\) (\(m^2\))

Khi đó, diện tích mặt sàn dành cho lưu thông là:

\(60 \ – \ 0,5x \ – \ 1,2y\) (\(m^2\))

Theo bài ra ta có bất phương trình:

\(60 \ – \ 0,5x \ – \ 1,2y \geq 12\)

\(\Leftrightarrow 0,5x + 1,2y \leq 48\)

\(b)\) Chọn \((x; y) = (10; 10)\) ta có:

\(0,5. 10 + 1,2. 10 = 5 + 12 = 17 \leq 48\) là mệnh đề đúng.

Vậy \((10; 10)\) là nghiệm của bất phương trình.

Chọn \((x; y) = (10; 20)\) ta có:

\(0,5. 10 + 1,2. 20 = 5 + 24 = 29 \leq 48\) là mệnh đề đúng.

Vậy \((10; 20)\) là nghiệm của bất phương trình.

Chọn \((x; y) = (20; 10)\) ta có:

\(0,5. 20 + 1,2. 10 = 10 + 12 = 22 \leq 48\) là mệnh đề đúng.

Vậy \((20; 10)\) là nghiệm của bất phương trình.

\(\)

Bài \(5\). Trong \(1\) lạng (\(100\) g) thịt bò chứa khoảng \(26\) g protein, \(1\) lạng cá rô phi chứa khoảng \(20\) g protein. Trung bình trong một ngày, một người phụ nữ cần tối thiểu \(46\) g protein. Gọi \(x, y\) lần lượt là số lạng thịt bò và số lạng cá rô phi mà một người phụ nữ nên ăn trong một ngày. Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x, y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết cho một người phụ nữ trong một ngày và chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình đó.

Trả lời:

Lượng protein chứa trong \(x\) lạng thịt bò và \(y\) lạng cá rô phi lần lượt là: \(26x\) và \(20y\) (g)\)

Khi đó, tổng lượng protein có trong \(x\) lạng thịt bò và \(y\) lạng cá rô phi là:

\(26x + 20y\) (g)

Vậy bất phương trình cần tìm là:

\(26x + 20y \geq 46\)

Chọn \((x; y) = (1; 1)\) ta có:

\(26. 1 + 20. 1 \geq 46\) là mệnh đề đúng.

Vậy \((1; 1)\) là nghiệm của bất phương trình.

Chọn \((x; y) = (1; 2)\) ta có:

\(26. 1 + 20. 2 = 66 \geq 46\) là mệnh đề đúng.

Vậy \((1; 2)\) là nghiệm của bất phương trình.