Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài \(2\). Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp trang \(41\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(2\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Sau khi biên soạn \(9\) câu hỏi trắc nghiệm, cô giáo có thể tạo ra bao nhiêu đề kiểm tra khác nhau bằng cách đảo thứ tự các câu hỏi đó?

Trả lời:

Mỗi cách sắp xếp thứ tự câu hỏi để được một đề là một hoán vị của \(9\) câu hỏi đó.

Do đó số đề khác nhau có thể tạo ra là \(9! = 362880\) đề.

\(\)

Bài \(2\). Cô giáo đã biên soạn \(10\) câu hỏi trắc nghiệm. Từ \(10\) câu hỏi này, cô giáo chọn ra \(6\) câu hỏi và sắp xếp theo thứ tự để tạo nên một đề trắc nghiệm. Cô giáo có thể tạo bao nhiêu đề kiểm tra trắc nghiệm khác nhau?

Trả lời:

Mỗi đề kiểm tra trắc nghiệm là \(1\) cách sắp xếp \(6\) câu hỏi được chọn từ \(10\) câu hỏi đã biên soạn.

Suy ra mỗi đề được tạo ra là một chỉnh hợp chập \(6\) của \(10\).

Vậy tổng số đề có thể tạo ra là: 

\(A_{10}^6 = \displaystyle \frac{10!}{4!} = 151200\) (đề).

\(\)

Bài \(3\). Một giải đấu có bốn đội bóng \(A, B, C\) và \(D\) tham gia. Các đội đấu vòng tròn một lượt để tính điểm và xếp hạng.
\(a)\) Có tất cả bao nhiêu trận đấu?
\(b)\) Có tất cả bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về đội vô địch và á quân?
\(c)\) Có bao nhiêu khả năng về bảng xếp hạng sau khi giải đấu kết thúc? Biết rằng không có hai đội nào đồng hạng.

Trả lời:

\(a)\) Cứ \(2\) đội bất kì là có một trận đấu.

Suy ra số trận đấu là số cách chọn \(2\) đội từ \(4\) đội đó, bằng số tổ hợp chập \(2\) của \(4\): 

\(C_4^2 = \displaystyle \frac{4!}{2!. 2!} = 6\) trận đấu.

\(b)\) Chọn \(2\) đội trong \(4\) đội, sắp xếp thứ tự cho \(2\) vị trí vô địch và á quân.

Khi đó, số khả năng có thể xảy ra về đội vô địch và á quân là chỉnh hợp chập \(2\) của \(4\) phần tử và bằng:

\(A_4^2 = \displaystyle \frac{4!}{2!} = 4. 3 = 12\)

\(c)\) Do không có đội nào cùng hạng nên các vị trí xếp hạng là khác nhau hay \(4\) đội tương ứng với \(4\) vị trí xếp hạng.

Mỗi kết quả về bảng xếp hạng là một hoán vị của \(4\) đội.

Số kết quả của bảng xếp hạng sau khi giải đấu kết thúc là:

\(4! = 24\)

\(\)

Bài \(4\). Cho \(7\) điểm trong mặt phẳng.
\(a)\) Có bao nhiêu đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là \(2\) trong \(7\) điểm đã cho?
\(b)\) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối là \(2\) trong \(7\) điểm đã cho?

Trả lời:

\(a)\) Chọn \(2\) điểm bất kì trong số \(7\) điểm ta được một đoạn thẳng.

Vậy số đoạn thẳng có hai điểm đầu mút là \(2\) trong \(7\) điểm đã cho là số tổ hợp chập \(2\) của \(7\) phần tử và bằng:

\(C_7^2 = \displaystyle \frac{7!}{2!. 5!} = 21\) đoạn thẳng.

\(b)\) Chọn \(2\) trong số \(7\) điểm, có sắp xếp điểm đầu điểm cuối ta được một vectơ.

Vậy số vectơ có điểm đầu và điểm cuối là \(2\) trong \(7\) điểm đã cho là số chỉnh hợp chập \(2\) của \(7\) phần tử và bằng:

\(A_7^2 = \displaystyle \frac{7!}{5!} = 42\) vectơ.

\(\)

Bài \(5\). Chọn \(4\) trong \(6\) giống hoa khác nhau và trồng trên \(4\) mảnh đất khác nhau để thử nghiệm. Có bao nhiêu cách thực hiện khác nhau?

Trả lời:

Mỗi cách chọn \(4\) trong \(6\) giống hoa khác nhau và trồng trên \(4\) mảnh đất khác nhau là một chỉnh hợp chập \(4\) của \(6\) giống hoa.

Do đó, số cách thực hiện là \(A_6^4 = \displaystyle \frac{6!}{2!} = 360\).

\(\)

Bài \(6\). Một tổ công nhân \(9\) người làm vệ sinh cho một toà nhà lớn. Cần phân công \(3\) người lau cửa sổ, \(4\) người lau sàn và \(2\) người lau cầu thang. Tổ có bao nhiêu cách phân công?

Trả lời:

Để phân công công việc vệ sinh, cần thực hiện \(3\) công đoạn:

\(+)\) Chọn \(3\) người lau cửa sổ: \(C_9^3 = \displaystyle \frac{9!}{3!}{6!} = 84\) cách.

\(+)\) Chọn \(4\) người lau sàn trong \(9 \ – \ 3 = 6\) người còn lại, ta có số cách là: 

\(C_6^4 = \displaystyle \frac{6!}{4!. 2!} = 15\) cách.

\(+)\) Còn lại \(9 \ – \ 3 \ – \ 4 = 2\) người lau cầu thang nên có \(1\) cách.

Vậy có tất cả \(84. 15. 1 = 1260\) cách phân công.

\(\)

Bài \(7\). Chọn \(4\) trong số \(3\) học sinh nam và \(5\) học sinh nữ tham gia một cuộc thi.
\(a)\) Nếu chọn \(2\) nam và \(2\) nữ thì có bao nhiêu cách chọn?
\(b)\) Nếu trong số học sinh được chọn nhất thiết phải có học sinh nam \(A\) và học sinh nữ \(B\) thì có bao nhiêu cách chọn?
\(c)\) Nếu phải có ít nhất một trong hai học sinh \(A\) và \(B\) được chọn thì có bao nhiêu cách chọn?
\(d)\) Nếu trong \(4\) học sinh được chọn phải có cả học sinh nam và học sinh nữ thì có bao nhiêu cách chọn?

Trả lời:

\(a)\) Chọn \(2\) bạn nam và \(2\) bạn nữ có \(2\) công đoạn:

\(+)\) Chọn \(2\) bạn nam trong \(3\) bạn nam, ta có số cách là: 

\(C_3^2 = 3\) cách chọn.

\(+)\) Chọn \(2\) bạn nữ trong \(5\) bạn nữ, ta có số cách là: 

\(C_5^2 = 10\) cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có tổng số cách chọn \(2\) nam và \(2\) nữ là:

\(3. 10 = 20\) cách chọn

\(b)\) Cần chọn \(4\) người, trong đó có \(A\) và \(B\).

Do đó, ta chỉ cần chọn thêm \(2\) trong số \(3 + 5 \ – \ 2 = 6\) học sinh còn lại.

Để chọn \(2\) học sinh trong \(6\) học sinh còn lại ta có số cách là: \(C_6^2 = 15\) cách chọn

Vậy có \(15\) cách chọn.

\(c)\) Chia thành \(3\) phương án: chỉ có \(A\), chỉ có \(B\), có cả \(A\) và \(B\).

Phương án \(1\): Trong \(4\) học sinh chỉ có \(A\), không có \(B\).

Có \(1\) cách chọn \(A\).

Sau khi chọn \(A\), ta chọn tiếp \(3\) trong \(6\) học sinh còn lại không có học sinh \(B\)

Có tất cả \(C_6^3 = 20\) cách chọn.

Phương án \(2\): Trong \(4\) học sinh chỉ có \(B\), không có \(A\).

Có \(1\) cách chọn \(B\).

Sau khi chọn \(B\), ta chọn tiếp \(3\) trong \(6\) học sinh còn lại không có học sinh \(A\)

Có tất cả \(C_6^3 = 20\) cách chọn.

Phương án \(3\): Trong \(4\) học sinh có cả \(A\) và \(B\).

Theo câu \(b)\) ta có \(15\) cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có \(20 + 20 + 15 = 55\) cách chọn \(4\) học sinh trong đó có ít nhất một trong hai học sinh \(A\) và \(B\) được chọn.

\(d)\) Cần chọn \(4\) học sinh, mà chỉ có \(3\) nam nên chắc chắn có thêm học sinh nữ được chọn.

Các phương án có thể xảy ra: Có \(1\) học sinh nam; có \(2\) học sinh nam; có \(3\) học sinh nam.

\(+)\) Phương án \(1\): Trong \(4\) học sinh có \(1\) học sinh nam.

Có \(3\) cách chọn \(1\) trong \(3\) học sinh nam.

Ứng với mỗi cách chọn học sinh nam, ta chọn \(3\) trong \(5\) học sinh nữ. 

Suy ra tổng số cách chọn là: \(3. C_5^3 = 3. 10 = 30\) cách chọn.

\(+)\) Phương án \(2\): Trong \(4\) học sinh có \(2\) học sinh nam.

Chọn \(2\) trong \(3\) học sinh nam, ta có \(C_3^2 = 3\) cách chọn.

Chọn \(2\) học sinh trong \(5\) học sinh nữ, có \(C_5^2 =  10\) cách chọn.

Khi đó tổng số cách chọn là \(3. 10 = 30\) cách chọn.

\(+)\) Phương án \(3\): Trong \(4\) học sinh có \(3\) học sinh nam.

Có \(1\) cách chọn \(3\) học sinh nam.

Có \(C_5^1 = 5\) cách chọn \(1\) học sinh nữ.

Khi đó số cách chọn là \(1. 5 = 5\) cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng, ta có:

\(30 + 30 + 5 = 65\) cách chọn có cả học sinh nam và học sinh nữ trong \(4\) học sinh được chọn.

\(\)

Bài \(8\). Lấy hai số bất kì từ \(1; 3; 5; 7; 9\) và lấy hai số bất kì từ \(2; 4; 6; 8\) để lập các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau.
\(a)\) Lập được bao nhiêu số như vậy?
\(b)\) Trong số đó, có bao nhiêu số có chữ số hàng nghìn và hàng đơn vị là chữ số lẻ?

Trả lời:

\(a)\) Để lập được các số thoả mãn ta gồm các công đoạn sau:

Công đoạn \(1\): Chọn \(2\) số trong \(5\) số lẻ, có \(C_5^2 = 10\) cách chọn.

Công đoạn \(2\): Chọn \(2\) số trong \(4\) số chẵn, có \(C_4^2 = 6\) cách chọn.

Công đoạn \(3\): Sắp xếp \(4\) chữ số đã chọn, có \(4! = 24\) cách.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có

\(10. 6. 24 = 1440\) số thoả mãn yêu cầu.

\(b)\) Gồm \(2\) công đoạn.

Công đoạn \(1\): Chọn \(2\) chữ số lẻ và sắp xếp vào hai vị trí hàng nghìn và hàng đơn vị, có \(A_5^2 = 20\) cách.

Công đoạn \(2\): Chọn \(2\) chữ số chẵn và sắp xếp vào hai vị trí hàng trăm và hàng chục, có \(A_4^2 = 12\) cách.

Áp dụng quy tắc nhân, ta có: \(20. 12 = 240\) số thoả mãn yêu cầu.

\(\)

Bài \(9\). Cần sắp xếp thứ tự \(8\) tiết mục văn nghệ cho buổi biểu diễn văn nghệ của trường. Ban tổ chức dự kiến xếp \(4\) tiết mục ca nhạc ở vị trí thứ \(1\), thứ \(2\),thứ \(5\) và thứ \(8\); \(2\) tiết mục múa ở vị trí thứ \(3\) và \(6\); \(2\) tiết mục hài ở vị trí thứ \(4\) và thứ \(7\). Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

Trả lời:

Để sắp xếp \(8\) tiết mục, cần thực hiện \(3\) công đoạn:

Công đoạn \(1\): Sắp xếp \(4\) tiết mục ca nhạc vào \(4\) vị trí (\(1, 2, 5\) và \(8\))

Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của \(4\) tiết mục ca nhạc.

Khi đó ta có \(4! = 24\) cách sắp xếp.

Công đoạn \(2\): Sắp xếp \(2\) tiết mục múa vào \(2\) vị trí (\(3\) và \(6\))

Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của \(2\) tiết mục múa nên có \(2! = 2\) cách sắp xếp.

Công đoạn \(3\): Sắp xếp \(2\) tiết mục hài vào \(2\) vị trí (\(4\) và \(7\))

Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của \(2\) tiết mục hài nên có: \(2! = 2\) cách sắp xếp.

Áp dụng quy tắc nhân, tổng số cách sắp xếp là:

\(24. 2. 2 = 96\) cách sắp xếp.

Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp Bài 2. Hoán vị chỉnh hợp

Xem bài giải trước: Bài 1 – Quy tắc cộng và quy tắc nhân
Xem bài giải tiếp theo: Bài 3 – Nhị thức Newton
Xem các bài giải khác: Giải Bài Tập Toán Lớp 10 Chân Trời Sáng Tạo

Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech