Chương 7 – Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác trang 48 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo.
1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) cắt BC tại D. Cho biết DB = 15 cm, DC = 20 cm. Tính độ dài AB, AC.
Giải
Ta có: \(BC = DC + DB = 35\ (cm).\)
Ta có AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) trong \(\Delta ABC\) suy ra: \(\displaystyle\frac{AB}{AC} = \displaystyle\frac{BD}{DC} = \displaystyle\frac{15}{20}\) hay \(\displaystyle\frac{AB}{15} = \displaystyle\frac{AC}{20}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{AB^2}{15^2} = \displaystyle\frac{AC^2}{20^2}=\displaystyle\frac{AB^2+AC^2}{225+400}\) \(=\displaystyle\frac{BC^2}{625}=\displaystyle\frac{35^2}{25^2}.\)
Vậy \(AB = \displaystyle\frac{15.35}{25} = 21\ (cm);\) \(AC = \displaystyle\frac{20.35}{25}=28\ (cm).\)
\(\)
2. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm, BC = 10 cm. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại D, tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A cắt BC tại E. Tính độ dài DB, DC, EB.
Giải
Vì AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) trong \(\Delta ABC\) suy ra: \(\displaystyle\frac{DB}{DC} = \displaystyle\frac{AB}{AC} = \displaystyle\frac{6}{9} = \displaystyle\frac{2}{3}\) nên \(\displaystyle\frac{DB}{2} = \displaystyle\frac{DC}{3}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{DB}{2} = \displaystyle\frac{DC}{3}=\displaystyle\frac{DB+DC}{2+3}\) \(=\displaystyle\frac{BC}{5}=\displaystyle\frac{10}{5}=2.\)
Do đó \(DB=2.2=4\ cm,\) \(DC=3.2=6\ cm.\)
Vì AE là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A của \(\Delta ABC\) suy ra: \(\displaystyle\frac{EB}{EC} = \displaystyle\frac{AB}{AC} =\displaystyle\frac{6}{9}= \displaystyle\frac{2}{3}\) nên \(\displaystyle\frac{EC}{2} = \displaystyle\frac{EB}{3}.\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{EC}{3} = \displaystyle\frac{EB}{2}=\displaystyle\frac{EC+EB}{3-2}\) \(=\displaystyle\frac{BC}{1}=10.\)
Do đó \(EB=2.10=20\ cm.\)
Vậy \(DB = 4\ cm,\) \(DC = 6\ cm,\) \(EB = 20\ cm.\)
\(\)
3. Cho tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB) cắt nhau tại I. Chứng minh:
a) \(\displaystyle\frac{DI}{DA} = \displaystyle\frac{BC}{AB + BC + CA};\)
b) \(\displaystyle\frac{DI}{DA} + \displaystyle\frac{EI}{EB} + \displaystyle\frac{FI}{FC} = 1.\)
Giải
a) Vì CI là tia phân giác của \(\widehat{ACD}\) suy ra: \(\displaystyle\frac{AI}{ID} = \displaystyle\frac{AC}{DC},\) suy ra \(\displaystyle\frac{AI}{AC} = \displaystyle\frac{ID}{DC} = \displaystyle\frac{AI + ID}{AC + DC} = \displaystyle\frac{DA}{AC + DC}.\)
Do đó, \(\displaystyle\frac{AD}{ID} = \displaystyle\frac{AC + DC}{DC}\) (1)
Vì BI là tia phân giác của \(\widehat{ABD}\) suy ra: \(\displaystyle\frac{AI}{ID} = \displaystyle\frac{AB}{DB},\) suy ra \(\displaystyle\frac{AI}{AB} = \displaystyle\frac{ID}{DB} = \displaystyle\frac{AI + ID}{AB + BD} = \displaystyle\frac{DA}{AB + BD}.\)
Do đó, \(\displaystyle\frac{AD}{ID} = \displaystyle\frac{AB + BD}{BD}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\displaystyle\frac{AD}{DI} = \displaystyle\frac{AB + BD}{BD} = \displaystyle\frac{AC + DC}{CD}\) \(= \displaystyle\frac{AB + BD + AC + DC}{BD + CD}\)
Do đó, \(\displaystyle\frac{AD}{DI} = \displaystyle\frac{AB + BC + CA}{BC},\)
suy ra: \(\displaystyle\frac{DI}{DA} = \displaystyle\frac{BC}{AB + BC + CA}.\)
b) Tương tự câu a) ta có:
\(\displaystyle\frac{EI}{EB} = \displaystyle\frac{AC}{AB + BC + CA};\) \(\displaystyle\frac{FI}{FC} = \displaystyle\frac{AB}{AB + BC + CA}.\)
Do đó, \(\displaystyle\frac{DI}{DA} + \displaystyle\frac{EI}{EB} + \displaystyle\frac{FI}{FC}\) \(= \displaystyle\frac{AB + BC + CA}{AB + BC + CA} = 1.\)
\(\)
4. Cho hình bình hành ABCD có tia phân giác của góc A cắt đường chéo BD tại M và tia phân giác của góc D cắt đường chéo AC tại N. Chứng minh MN // AD.
Giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD nên \(AC = 2AO,BD = 2DO.\)
Vì DN là phân giác của góc ADC trong tam giác ADC nên: \(\displaystyle\frac{NA}{NC} = \displaystyle\frac{AD}{DC}.\)
Vì AM là phân giác của góc DAB trong tam giác ADB nên: \(\displaystyle\frac{MD}{MB} = \displaystyle\frac{AD}{AB} = \displaystyle\frac{AD}{DC}.\)
Do đó, \(\displaystyle\frac{NA}{NC} = \displaystyle\frac{MD}{MB}.\)
Suy ra: \(\displaystyle\frac{NA}{MD} = \displaystyle\frac{NC}{MB} = \displaystyle\frac{NA + NC}{MD + MB} = \displaystyle\frac{AC}{BD} = \displaystyle\frac{AO}{DO}.\)
Do đó, \(\displaystyle\frac{AN}{AO} = \displaystyle\frac{MD}{DO}.\)
Tam giác ADO có: \(\displaystyle\frac{AN}{AO} = \displaystyle\frac{MD}{DO}\) nên \(MN\ //\ AD\) (định lí Thalès đảo).
\(\)
5. Cho tam giác ABC cân ở A. Tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Cho biết BC = 10 cm, AB = 15 cm. Tính DA, DC.
Giải
Vì BD là tia phân giác của góc ABC trong tam giác ABC suy ra: \(\displaystyle\frac{DA}{DC} = \displaystyle\frac{AB}{BC} = \displaystyle\frac{15}{10} = \displaystyle\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\displaystyle\frac{DA}{3} = \displaystyle\frac{DC}{2} = \displaystyle\frac{DA + DC}{5} = \displaystyle\frac{15}{5} = 3.\)
Do đó \(DA =3.3= 9\ cm,\) \(DC=2.3 = 6\ cm.\)
\(\)
6. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM (M ∈ BC). Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại D, tia phân giác của góc AMC cắt AC tại E.
a) Chứng minh DE // BC.
b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh I là trung điểm của DE.
Giải
a) Vì MD là phân giác góc AMB trong tam giác ABM nên: \(\displaystyle\frac{AM}{MB} = \displaystyle\frac{DA}{DB}.\)
Vì ME là phân giác góc AMC trong tam giác AMC nên: \(\displaystyle\frac{EA}{EC} = \displaystyle\frac{MA}{MC} = \displaystyle\frac{MA}{MB}.\)
Do đó, \(\displaystyle\frac{DA}{DB} = \displaystyle\frac{EA}{EC}.\)
Tam giác ABC có: \(\displaystyle\frac{DA}{DB} = \displaystyle\frac{EA}{EC},\) suy ra DE // BC (định lí Thalès đảo).
b) Tam giác ABM có DI // BM nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\displaystyle\frac{DI}{MB} = \displaystyle\frac{AI}{AM}.\)
Tam giác ACM có EI // CM nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\displaystyle\frac{EI}{MC} = \displaystyle\frac{AI}{AM}.\)
Do đó: \(\displaystyle\frac{ID}{MB} = \displaystyle\frac{IE}{MC}\)
Mà MB = MC nên ID = IE.
Vậy I là trung điểm của DE.
\(\)
Xem bài giải trước: Bài 2: Đường trung bình của tam giác
Xem bài giải tiếp theo: Bài tập cuối chương 7
Xem thêm các bài giải khác tại: Giải Bài Tập Toán Lớp 8 Chân Trời Sáng Tạo
Thông tin liên hệ & mạng xã hội:
Website: https://bumbii.com/
Facebook: https://www.facebook.com/bumbiiapp
Pinterest: https://www.pinterest.com/bumbiitech
