Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất

Chương 6 – Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất trang 29 sách bài tập toán lớp 8 tập 2 Chân Trời Sáng Tạo.

1. Năm nay, tuổi của mẹ gấp 3 lần tuổi của Hiền. Sau 8 năm nữa, tổng số tuổi của mẹ và của Hiền là 64 tuổi. Hỏi năm nay Hiền bao nhiêu tuổi?

Giải

Gọi số tuổi của Hiền năm nay là x (tuổi). Điều kiện: x ∈ ℕ*.

Tuổi của mẹ năm nay là: 3x (tuổi).

Tuổi của Hiền 8 năm sau là: x + 8 (tuổi).

Tuổi của mẹ 8 năm sau là: 3x + 8 (tuổi).

Vì sau 8 năm nữa, tổng số tuổi của mẹ và Hiền là 64 nên ta có phương trình:

3x + 8 + x + 8 = 64

4x = 48

x = 12 (thỏa mãn).

Vậy năm nay Hiền 12 tuổi.

\(\)

2. Cho biết một nửa đàn bò đang gặm cỏ trên cánh đồng, \(\displaystyle\frac{1}{3}\) đàn bò đang năm nghỉ gần đó, còn lại 4 con đang uống nước ở ao. Tính số bò hiện có trong đàn.

Giải

Gọi số bò có trong đàn là \(x\) (con). Điều kiện: \(x ∈ ℕ^*.\)

Phương trình: \(\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{1}{3}x + 4 = x.\)

\(-\displaystyle\frac{1}{6}x=-4\)

\(x = 24\) (thỏa mãn).

Vậy đàn bò có \(24\) con.

\(\)

3. Trong tháng 3, cả hai tổ A và B sản xuất được 400 sản phẩm. Trong tháng 4, tổ A làm vượt 10%, tổ B làm vượt 15% so với tháng 3 nên cả hai tổ sản xuất được 448 sản phẩm. Hỏi trong tháng 3 mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?

Giải

Gọi số sản phẩm tổ A sản xuất được trong tháng 3 là x (sản phẩm). Điều kiện: x ∈ ℕ, 0 < x < 400.

Số sản phẩm tổ B sản xuất được trong tháng 3 là: 400 – x (sản phẩm)

Số sản phẩm tổ A sản xuất được trong tháng 4 là: 110%.x (sản phẩm)

Số sản phẩm tổ B sản xuất được trong tháng 4 là: 115%.(400 – x) (sản phẩm)

Vì trong tháng 4 cả hai tổ sản xuất được 448 sản phẩm nên ta có phương trình:

110%.x + 115%(400 – x) = 448

1,1x + 460 – 1,15x = 448

–0, 05x = –12

x = 240 (thỏa mãn).

Vậy tháng 3 tổ A sản xuất được 240 sản phẩm, tổ B sản xuất được 400 – 240 = 160 sản phẩm.

\(\)

4. Tại một cửa hàng điện máy, số ti vi bán được trong tháng 8 nhiều hơn số ti vi bán được trong tháng 7 là 10 chiếc, số ti vi bán được trong tháng 9 nhiều hơn số ti vi bán được trong tháng 7 là 28 chiếc. Biết số ti vi bán được trong tháng 9 gấp 2,2 lần số ti vi bán trong tháng 8. Tính số ti vi bán được trong tháng 7.

Giải

Gọi số ti vi bán được trong tháng 7 là x (chiếc). Điều kiện: x ∈ ℕ*.

Số ti vi bán được trong tháng 8 là: x + 10 (chiếc).

Số ti vi bán được trong tháng 9 là: x + 28 (chiếc).

Vì số ti vi bán được trong tháng 9 gấp 2,2 lần số ti vi bán trong tháng 8 nên ta có phương trình:

x + 28 = 2,2(x + 10)

x + 28 = 2,2x + 22

1,2x = 6

x = 5 (thỏa mãn).

Vậy số ti vi bán được trong tháng 7 là 5 chiếc.

\(\)

5. Hai người đi xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai thành phố A và B cách nhau 123 km, đi ngược chiều nhau. Họ gặp nhau sau 1 giờ 30 phút. Tính tốc độ của mỗi người, biết tốc độ của người đi từ A nhỏ hơn tốc độ của người đi từ B là 2 km/h.

Giải

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.

Gọi tốc độ của người đi từ A là x (km/h). Điều kiện: x > 0.

Tốc độ của người đi từ B là: x + 2 (km/h).

Vì họ gặp nhau sau 1 giờ 30 phút nên ta có phương trình:

1,5x + 1,5(x + 2) = 123

1,5x + 1,5x + 3 = 123

3x = 120

x = 40 (thỏa mãn).

Vậy tốc độ của người đi từ A là 40 km/h, tốc độ của người đi từ B là 42 km/h.

\(\)

6. Trong học kì I, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng \(\displaystyle\frac{1}{8}\) số học sinh cả lớp. Sang học kì II, lớp có thêm 3 học sinh giỏi nữa, khi đó số học sinh giỏi trong học kì II bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học sinh?

Giải

Gọi số học sinh lớp 8A là \(x\) (học sinh). Điều kiện: \(x ∈ ℕ^*.\)

Số học sinh giỏi lớp 8A trong học kì I là: \(\displaystyle\frac{x}{8}\) (học sinh).

Số học sinh giỏi lớp 8A trong học kì II là: \(\displaystyle\frac{x}{8} + 3\) (học sinh).

Vì số học sinh giỏi lớp 8A trong học kì II bằng \(20\%\) số học sinh cả lớp nên ta có phương trình:

\(\displaystyle\frac{x}{8} + 3 = 20\%.x\)

\(\displaystyle\frac{x}{8}-\displaystyle\frac{x}{5} =-3\)

\(\displaystyle\frac{-3x}{40}=-3\)

\(x = 40\) (thỏa mãn).

Vậy lớp 8A có \(40\) học sinh.

\(\)

7. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5 m. Nếu giảm chiều dài 3 m và tăng chiều rộng 2 m thì diện tích giảm 16 m². Tính kích thước của khu vườn lúc đầu.

Giải

Gọi chiều rộng lúc đầu của khu vườn là x (m). Điều kiện: x > 0.

Chiều dài lúc đầu của khu vườn là: x + 5 (m).

Diện tích khu vườn lúc ban đầu là: x(x + 5) (m²).

Khi giảm chiều dài 3 m, tăng chiều rộng 2 m thì diện tích mới là: (x + 2) (x + 2) (m²).

Theo đề bài ta có phương trình:

x(x + 5) – (x + 2) (x + 2) = 16

x² + 5x − x² – 4x – 4 = 16

x – 4 = 16

x = 20 (thỏa mãn).

Vậy chiều rộng của khu vườn lúc đầu là 20 m, chiều dài của khu vườn lúc đầu là 25 m.

\(\)

8. Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ sản xuất 57 sản phẩm. Do đó, tổ đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Giải

Gọi số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là \(x\) (sản phẩm). Điều kiện: \(x ∈ ℕ^*.\)

Số sản phẩm thực tế sản xuất được là: \(x + 13\) (sản phẩm).

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là: \(\displaystyle\frac{x}{50}\) (ngày).

Thời gian hoàn thành công việc thực tế là: \(\displaystyle\frac{x+13}{57}\) (ngày).

Do tổ hoàn thành trước kế hoạch \(1\) ngày nên ta có phương trình:

\(\displaystyle\frac{x}{50}-\displaystyle\frac{x+13}{57} = 1\)

\(57x-50(x + 13) = 50.57\)

\(7x = 50.57 + 50.13\)

\(x = 500\) (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch tổ phải sản xuất \(500\) sản phẩm.

\(\)

9. Một lọ dung dịch chứa 14% muối. Nếu pha thêm 540 g nước vào lọ thì được một dung dịch 5% muối. Tính khối lượng dung dịch trong lọ lúc đầu.

Giải

Gọi khối lượng dung dịch trong lọ lúc đầu là \(x\) (g). Điều kiện: \(x > 0.\)

Khối lượng dung dịch lúc sau: \(x + 540\) (g).

Vì pha thêm 540g nước vào lọ thì được một dung dịch 5% muối nên ta có phương trình:

\(\displaystyle\frac{14\%.x}{x+540}.100\%= 5\%\)

\(0,14x = 0,05(x + 540)\)

\(0,09x = 27\)

\(x = 300\) (thỏa mãn).

Vậy khối lượng dung dịch trong lọ lúc đầu là \(300\) g.

\(\)

10. Bác Huy gửi tiết kiệm một số tiền tại một ngân hàng theo thể thức kì hạn một năm với lãi suất 6,5%/năm, tiền lãi sau mỗi năm gửi tiết kiệm sẽ được nhập vào tiền vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Sau hai năm gửi, bác Huy rút hết tiền về và nhận được cả vốn lẫn lãi là 283 556 250 đồng. Hỏi số tiền ban đầu bác Huy gửi tiết kiệm là bao nhiêu?

Giải

Gọi số tiền bác Huy gửi tiết kiệm là x (đồng). Điều kiện: 0 < x < 283 556 250.

Sau 1 năm, bác Huy nhận được số tiền là: x + 6,5%.x (đồng).

Sau 2 năm bác Huy nhận được số tiền là: (x + 6,5%.x) + 6,5%.(x + 6,5%.x) (đồng).

Sau hai năm gửi, bác Huy rút hết tiền về và nhận được cả vốn lẫn lãi là 283 556 250 đồng ta có phương trình:

(x + 6,5%x) + 6,5%.(x + 6,5%.x) = 283 556 250

x + 0,065x + 0,065x + 0,004225x = 283 556 250

1,134225x = 283 556 250

x = 250 000 000 (thỏa mãn).

Vậy bác Huy đã gửi tiết kiệm 250 000 000 đồng.

\(\)

11. Một xí nghiệp mộc kí hợp đồng đóng và giao một số bộ bàn ghế cho một trường học trong 20 ngày. Do nhà trường đã đặt thêm 24 bộ bàn ghế nữa nên xí nghiệp đã cải tiến kĩ thuật, nhờ đó năng suất của xí nghiệp đã tăng 20%. Bởi vậy, chỉ trong 18 ngày xí nghiệp đã hoàn thành hợp đồng. Tính số bộ bàn ghế mà xí nghiệp phải đóng theo hợp đồng lúc đầu.

Giải

Gọi số bộ bàn ghế mà xí nghiệp phải đóng theo hợp đồng là \(x\) (bộ). Điều kiện: \(x ∈ ℕ^*.\)

Số bộ bàn ghế đóng thực tế là: \(x + 24\) (bộ).

Theo dự định, mỗi ngày phải đóng số bộ bàn ghế là: \(\displaystyle\frac{x}{20}\) (ngày).

Thực tế, mỗi ngày phải đóng số bộ bàn ghế là: \(\displaystyle\frac{x+24}{18}\) (ngày).

Vì năng suất của xí nghiệp đã tăng \(20\%\) nên ta có phương trình:

\(\displaystyle\frac{x+24}{18}=120\%.\displaystyle\frac{x}{20}\)

\(\displaystyle\frac{x+24}{18}=\displaystyle\frac{1,2x}{20}\)

\(20(x + 24) = 1,2x. 18\)

\(20x + 480 = 21,6x\)

\(1,6x = 480\)

\(x = 300\) (thỏa mãn).