Bài 1. Hàm số và đồ thị

Bài \(1\). Hàm số và đồ thị trang \(42\) Sách bài tập Toán lớp \(10\) tập \(1\) Chân trời sáng tạo.

Bài \(1\). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
\(a)\) \(f(x) = \displaystyle \frac{4x \ – \ 1}{\sqrt{2x \ – \ 5}}\);
\(b)\) \(f(x) = \displaystyle \frac{2 \ – \ x}{(x + 3)(x \ – \ 7)}\);
|(c)\) \(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\displaystyle \frac{1}{x \ – \ 3} \text{ với } x \geq 0\\ 1 \text{ với } x < 0 \end{array} \right. \end{equation}\).

Trả lời:

\(a)\) Biểu thức \(\displaystyle \frac{4x \ – \ 1}{\sqrt{2x \ – \ 5}}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(2x \ – \ 5 > 0 \Leftrightarrow x > \displaystyle \frac{5}{2}\)

Vậy tập xác định của hàm số \(D\) là \(D = \left(\displaystyle \frac{5}{2}; +\infty\right)\).

\(b)\) Biểu thức \(\displaystyle \frac{2 \ – \ x}{(x + 3)(x \ – \ 7)}\) có nghĩa khi \((x + 3)(x \ – \ 7) \neq 0\)

\(\Leftrightarrow \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x \neq \ – \ 3\\x \neq 7 \end{array} \right. \end{equation}\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{\ – \ 3; 7\}\).

\(c)\) Hàm số đạt giá trị bằng \(1\) khi \(x < 0\) nên hàm số xác định với mọi \(x < 0\).

Khi \(x \geq 0\), hàm số xác định khi và chỉ khi \(x – 3 \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 3\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

\(\)

Bài \(2\). Vẽ đồ thị các hàm số sau:
\(a)\) \(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x^2 \text{ với } x \geq 2\\ x + 2 \text{ với } x > 2 \end{array} \right. \end{equation}\).
\(b)\) \(f(x) = |x + 3| \ – \ 2\).

Trả lời:

\(a)\) \(+)\) Vẽ đồ thị hàm số \(g(x) = x^2\) và giữ lại phần đồ thị ứng với \(x \leq 2\):

Đồ thị hàm số \(g(x) = x^2\) là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ \(O\), trục đối xứng là trục \(Oy\), đồ thị có bề lõm hướng lên trên, đi qua các điểm \((1; 1), (\ – \ 1; 1), (2; 4), (\ – \ 2; 4)\).

Ta giữ lại phần đồ thị nằm bên trái đường thẳng \(x = 2\).

\(+)\) Vẽ đồ thị hàm số \(h(x) = x + 2\) và giữ lại phần đồ thị ứng với \(x > 2\).

Đồ thị hàm số \(h(x) = x + 2\) là một đường thẳng đi qua hai điểm \((0; 2)\) và \((\ – \ 2; 0)\).

Ta giữ lại phần đường thẳng nằm bên phải đường thẳng \(x = 2\).

Ta được đồ thị cần vẽ như hình sau:

\(b)\) Với \(x + 3 ≥ 0 \Leftrightarrow x \geq \ – \ 3\), ta có: \(|x + 3| \ – \ 2 = x + 3 \ – \ 2 = x + 1\).

Với \(x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < \ – \ 3\), ta có: \(|x + 3| \ – \ 2 = \ – \ (x + 3) \ – \ 2 = \ – \ x \ – \ 5\).

Khi đó ta có:

\(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}x + 1 \text{ với } x \geq \ – \ 3\\ \ – \ x \ – \ 5 \text{ với } x < \ – \ 3 \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta vẽ đồ thị hàm số \(g(x) = x + 1\) và giữ lại phần đồ thị ứng với \(x \geq \ – \ 3\):

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua hai điểm \((0; 1)\) và \((\ – \ 1; 0)\).

Ta vẽ đồ thị hàm số \(h(x) = \ – \ x \ – \ 5\) và giữ lại phần đồ thị ứng với \(x < \ – \ 3\):

Đồ thị hàm số \(y = \ – \ x \ – \ 5\) là đường thẳng đi qua hai điểm \((\ – \ 5; 0)\) và \((\ – \ 3; \ – \ 2)\).

Ta được đồ thị của hàm số cần vẽ như hình sau:

\(\)

Bài \(3\). Trong kinh tế thị trường, lượng cầu và lượng cung là hai khái niệm quan trọng. Lượng cầu chỉ khả năng về số lượng sản phẩm cần mua của bên mua (người tiêu dùng), tuỳ theo đơn giá bán sản phẩm; còn lượng cung chỉ khả năng cung cấp số lượng sản phẩm này cho thị trường của bên bán (nhà sản xuất) cũng phụ thuộc vào đơn giá bán sản phẩm.
Người ta khảo sát nhu cầu của thị trường đối với sản phẩm \(A\) theo đơn giá của sản phẩm này và thu được bảng sau:

\(a)\) Hãy cho biết tại sao bảng giá trị trên xác định một hàm số? Hãy tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số đó (gọi là hàm cầu).
\(b)\) Giả sử lượng cung của sản phẩm \(A\) tuân theo công thức \(y = f(x) = \displaystyle \frac{x^2}{50}\), trong đó \(x\) là đơn giá sản phẩm \(A\) và \(y\) là lượng cung ứng với đơn giá này. Hãy điền các giá trị của hàm số \(f(x)\) (gọi là hàm cung) vào bảng sau:

\(c)\) Ta nói thị trường của một sản phẩm là cân bằng khi lượng cung và lượng cầu bằng nhau. Hãy tìm đơn giá \(x\) của sản phẩm \(A\) khi thị trường cân bằng.

Trả lời:

\(a)\) Từ bảng đã cho ta thấy, ứng với mỗi mức đơn giá đều có duy nhất một giá trị về lượng cầu.

Do đó, bảng giá trị đã cho ở đề bài xác định một hàm số.

Hàm số này có tập xác định \(D = \{10; 20; 40; 70; 90\}\) và có tập giá trị \(T = \{338; 288; 200; 98; 50\}\).

\(b)\) Hàm cung \(y = f(x) = \displaystyle \frac{x^2}{50}\)

Với \(x = 10\) ta có \(y = f(10) = \displaystyle \frac{10^2}{50} = 2\)

Tương tự: \(x = 20\) ta có \(y = f(20) = \displaystyle \frac{20^2}{50} = 8\).

\(x = 40\) ta có \(y = f(40) = \displaystyle \frac{40^2}{50} = 32\).

\(x = 70\) ta có \(y = f(70) = \displaystyle \frac{70^2}{50} = 98\).

\(x = 90\) ta có \(y = f(90) = \displaystyle \frac{90^2}{50} = 162\).

Ta được bảng sau:

\(c)\) Dựa vào hai bảng giá trị của lượng cung và lượng cầu, ta thấy tại \(x = 70\) thì lượng cung và lượng cầu bằng nhau và bằng \(98\).

Vậy thị trường của sản phẩm \(A\) cân bằng khi đơn giá của sản phẩm \(A\) là \(70000\) (đồng).

\(\)

Bài \(4\). Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
\(a)\) \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{\ – \ x \ – \ 5}\);
\(b)\) \(f(x) = |3x \ – \ 1|\).

Trả lời:

\(a)\) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R} \setminus \{\ – \ 5\}\)

\(+)\) Xét khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 5)\):

Lấy hai số \(x_1, x_2\) tùy ý thuộc \((\ – \ \infty; \ – \ 5)\) sao cho \(x_1 < x_2\) ta có:

\(f(x_1) \ – \ f(x_2) = \displaystyle \frac{1}{\ – \ x_1 \ – \ 5} \ – \ \displaystyle \frac{1}{\ – \ x_2 \ – \ 5} = \displaystyle \frac{\ – \ x_2 \ – \ 5 \ – \ (\ – \ x_1 \ – \ 5)}{(\ – \ x_1 \ – \ 5)(\ – \ x_2 \ – \ 5)}\)

\(= \displaystyle \frac{x_1 \ – \ x_2}{(x_1 + 5)(x_2 + 5)}\)

Do \(x_1, x_2 \in (\ – \ \infty; \ – \ 5)\) nên \(x_1 + 5 < 0, x_2 + 5 < 0\)

Mà \(x_1 < x_2 \Rightarrow x_1 \ – \ x_2 < 0\)

Suy ra: \(f(x_1) \ – \ f(x_2) = \displaystyle \frac{x_1 \ – \ x_2}{(x_1 + 5)(x_2 + 5)} < 0\) hay \(f(x_1) < f(x_2)\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 5)\).

\(+)\) Xét khoảng \((\ – \ 5; +\infty)\):

Lấy hai số \(x_3, x_4\) tùy ý thuộc \((\ – \ 5; +\infty)\) sao cho \(x_3 < x_4\) ta có:

\(f(x_3) \ – \ f(x_4) = \displaystyle \frac{1}{\ – \ x_3 \ – \ 5} \ – \ \displaystyle \frac{1}{\ – \ x_4 \ – \ 5} = \displaystyle \frac{\ – \ x_4 \ – \ 5 \ – \ (\ – \ x_3 \ – \ 5)}{(\ – \ x_3 \ – \ 5)(\ – \ x_4 \ – \ 5)}\)

\(= \displaystyle \frac{x_3 \ – \ x_4}{(x_3 + 5)(x_4 + 5)}\)

Do \(x_3, x_4 \in (\ – \ 5; +\infty)\) nên \(x_3 + 5 > 0, x_2 + 5 > 0\)

Mà \(x_3 < x_4 \Rightarrow x_3 \ – \ x_4 < 0\)

Suy ra: \(f(x_3) \ – \ f(x_4) = \displaystyle \frac{x_3 \ – \ x_4}{(x_3 + 5)(x_4 + 5)} < 0\) hay \(f(x_1) < f(x_2)\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ 5; +\infty)\).

Từ đó suy ra hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 5)\) và \(\ – \ 5; +\infty)\).

\(b)\) Ta có: \(y = f(x) = |3x \ – \ 1| = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}3x \ – \ 1 \text{ khi } x \geq \displaystyle \frac{1}{3}\\\ – \ 3x + 1 \text{ khi } x < \displaystyle \frac{1}{3} \end{array} \right. \end{equation}\)

Ta xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số \(g(x) = 3x \ – \ 1\) trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{1}{3}; +\infty\right)\) và của hàm số \(h(x) = \ – \ 3x + 1\) trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{3}\right)\).

\(+)\) Lấy hai số \(x_1, x_2\) tùy ý thuộc khoảng \(\left(\displaystyle \frac{1}{3}; +\infty\right)\) sao cho \(x_1 < x_2\). Ta có:

\(f(x_1) \ – \ f(x_2) = 3x_1 \ – \ 1 \ – \ (3x_2 \ – \ 1) = 3(x_1 \ – \ x_2) < 0 \) (do \(x_1 < x_2\))

Suy ra \(f(x_1) < f(x_2)\)

Vậy hàm số \(g(x)\) đồng biến trên \(\left(\displaystyle \frac{1}{3}; +\infty\right)\).

\(+)\) Lấy hai số \(x_3, x_4\) tùy ý thuộc khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{3}\right)\) sao cho \(x_3 < x_4\). Ta có:

\(f(x_3) \ – \ f(x_4) = (\ – \ 3x_3 + 1) \ – \ (\ – \ 3x_4 + 1) = 3 (x_4 \ – \ x_3) > 0\) (do \(x_3 < x_4\))

Suy ra \(f(x_3) > f(x_4)\)

Vậy hàm số \(h(x)\) nghịch biến trên \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{3}\right)\).

Từ đó suy ra hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(\left(\ – \ \infty; \displaystyle \frac{1}{3}\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(\displaystyle \frac{1}{3}; +\infty\right)\).

\(\)

Bài \(5\). Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số có đồ thị như sau:

Trả lời:

Quan sát Hình \(3\) ta thấy:

\(+)\) Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ điểm có tọa độ \((\ – \ 1; 1)\) đến điểm có tọa độ \((1; 4)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((\ – \ 1; 1)\).

\(+)\) Đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ điểm có tọa độ \((1; 4)\) đến điểm có tọa độ \((5; \ – \ 2)\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \((1; 5)\).

\(+)\) Đồ thị hàm số có dạng đi lên từ điểm có tọa độ \((5; \ – \ 2)\) đến điểm có tọa độ \((9; 6)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \((5; 9)\).

Vậy hàm số có đồ thị ở Hình \(3\) đồng biến trên các khoảng \((\ – \ 1; 1)\) và \((5; 9)\), nghịch biến trên khoảng \((1; 5)\).

\(\)

Bài \(6\). Vẽ đồ thị hàm số sau:
\(f(x) = \begin{equation} \left\{\begin{array}{II}\ – \ x + 1 \text{ với } x < \ – \ 1\\ 1 \text{ với } \ – \ 1 \leq x < 1\\x^2 \text{ với } x \geq 1 \end{array} \right. \end{equation}\).

Trả lời:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \ – \ x + 1\) trên khoảng \((\ – \ \infty; \ – \ 1)\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = 1\) trên nửa khoảng \([\ – \ 1; 1)\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = x^2\) trên nửa khoảng \([1; +\infty)\).

Khi đó ta có đồ thị hàm số \(f(x)\) như sau:

\(\)

Bài \(7\). Trong các đường biểu diễn được cho trong Hình \(4\), chỉ ra trường hợp không phải là đồ thị hàm số và giải thích tại sao?

Trả lời:

Hai đường biểu diễn ở Hình \(b\) và Hình \(c\) không phải là đồ thị hàm số vì ứng với một giá trị của \(x\), tương ứng có đến hai (hoặc nhiều) giá trị khác nhau của \(y\).

Ví dụ được nêu ra ở hình sau: